В статье «
Перестановка слагаемых в бесконечных суммах |
В первой строке представлена исходная бесконечная сумма, состоящая из шести скобок – по три слагаемых в каждой скобке. Общее количество слагаемых равно 18, итоговая сумма выражения равна нулю. Всё математическое выражение можно разделить на две группы: видимая часть выражения, представленная 18-тью слагаемыми и невидимая часть выражения, состоящая из бесконечного количества скобок, по три слагаемых в каждой скобке. Эти две части разделяет троеточие бесконечности. Обе части равняются нулю.
Во второй строке представлены те же 18 слагаемых после перестановки. Первые три пары слагаемых будут в дальнейшем представлены в видимой части выражения. Фигурными скобками выделена компенсирующая группа слагаемых.
В третьей строке шесть слагаемых видимой части остаются без изменений. Компенсирующая группа, после упрощения выражения, представлена тремя слагаемыми. Итоговый результат после перестановки слагаемых не изменился и по-прежнему равен нулю.
Четвертая строка не имеет к математике отношения. Это обычный фокус иллюзиониста, спрятавшего компенсирующую группу слагаемых в рукав бесконечности (невидимая часть выражения). Цель этого трюка – убедить доверчивых зрителей в «правдивости» ложного утверждения об изменении итоговой суммы после перестановки слагаемых. Да, так поступают карточные шулеры - прячут карту в рукав или достают её оттуда. В цырке подобный трюк называют фокусом иллюзиониста. На юридическом язые это называтся мошенничество.
Можно привести и более грубый пример перестановки слагаемых в данном выражении. Если в видимой части выражения показать слагаемые только с одним знаком, у зрителей неизбежно возникнет вопрос, куда подевались слагаемые с противоположными знаками, а это явно затруднит демонстрацию фокуса.
Перестановку слагаемых в бесконечных суммах наглядно демонстрирует принцип сообщающихся сосудов. Первый сосуд – это видимая часть выражения. Второй сосуд – это невидимая часть выражения, включающая компенсирующую группу слагаемых. Троеточие бесконечности – это соединительный патрубок между сосудами. Итоговая сумма выражения – это общий объем жидкости в двух сосудах. Поскольку в нашем математическом примере итоговая сумма равна нулю, то применительно к сообщающимся сосудам, мы рассматриваем первоначальный общий уровень жидкости в сосудах, как ноль относительной системы координат. Изменение количества или величины слагаемых в видимой части выражения будет приводить к изменению количества или величины слагаемых в компенсирующей группе.
Если последнее выражение рассматривать без невидимой компенсирующей группы слагаемых, тогда это будет не результат перестановки слагаемых, а совсем другая бесконечная сумма, содержащая только часть слагаемых из первоначального выражения и никак с ним не связанная. Доказательством этого факта является разная итоговая сумма двух выражений.
В продолжение начатой темы: "Математические действия с бесконечными рядами".