Первозданная математика для блондинок, не ворованная. Математикой должны заниматься блондинки - они врать не умеют. Математика, геометрия, тригонометрия без фанатизма и стереотипов.
Все простые числа вида Р находятся в начале числовых лучей на всех числовых спиралях, за исключением простого числа а, расположенного на главной оси а-спирали. Взаимное расположение простых чисел будет меняться в зависимости от числа а, которое лежит в основе построения спирали. Расположение простых чисел на разных числовых спиралях показано на рисунках ниже.
Простые числа на 2-спирали
Простые числа на 3-спирали
Простые числа на 4-спирали
Простые числа на 5-спирали
Составные числа находятся на лучах спиралей, построенных на числах, являющихся делителями этих чисел. На остальных спиралях они расположены в начале числовых лучей. Например, число 6 находится на продолжении 3-луча 2-спирали и является результатом умножения числа 3 на число 2. Это же число 6 находится на продолжении 2-луча 3-спирали и является результатом умножения числа 2 на число 3.
Рассмотрение числовых спиралей будет продолжено в последующих публикациях.
Числа на числовых спиралях могут быть представлены в разных системах счисления. Для примера рассмотрим числа на главной оси некоторых спиралей в разных системах счисления. Таблица 1 показывает числа на главной оси 2-спирали в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления.
Главная ось 2-спирали
В таблице 2 представлены числа на главной оси 10-спирали в тех же системах счисления.
Главная ось 10-спирали
Аналогично, в таблице 3 представлены числа на главной оси 16-спирали.
Главная ось 16-спирали
Как видно из таблиц выше, каждая а-спираль в системе счисления с основанием а будет состоять из отдельных витков с числами, имеющими одинаковое количество разрядов в позиционной системе счисления. Каждый следующий виток числовой спирали для числа а в системе счисления с основанием а добавляет один разряд в позиционной системе записи чисел. Каждый n-виток состоит из чисел, записываемых при помощи n+1 количества разрядов.
Если ввести правило, что единичные дуги на одном витке должны быть одинаковой длины, тогда числовая спираль превратится в набор концентрических окружностей. Каждая окружность будет содержать числа с одинаковым количеством разрядов. Введение подобного правила нарушает визуальную непрерывность натуральных чисел.
Таким образом, каждая а-спираль является графическим отображением натуральных чисел в системе счисления с основанием а, которая записана в выбранной нами системе счисления. По умолчанию мы применяем десятичную систему счисления.
Движение вдоль витков любой а-спирали является таблицей сложения с последовательным добавлением одной единицы к предыдущему числу, начиная с единицы. Движение вдоль лучей любой а-спирали является таблицей умножения с последовательным умножением числа, расположенного в начале луча, на число а. Эти два движения перпендикулярны, что свидетельствует о принципиальном различии сложения и умножения.
Если провести ось симметрии через главную ось любой а-спирали, тогда симметричные числа на витках образуют суммы разложения. Для любого a.n-витка эта сумма разложения равна an+an+1. Для примера суммы разложения показаны на 4.1-витке. Количество таких сумм, учитывая сумму чисел an и an+1 на главной оси, равно mn/2.
Суммы разложения
Данное свойство числовых спиралей позволяет вычислить сумму натуральных чисел, расположенных на одном а.n-витке. Для этого необходимо сумму разложения умножить на количество таких сумм, используя формулу (1), добавить число, расположенное на оси симметрии, которое равно половине суммы разложения и вычесть число an+1, которое относится к следующему витку:
Сумма чисел на витке
Формула (3) позволяет вывести уже давно известную формулу для определения от единицы до любого числа а. Для этого необходимо определить сумму чисел на нулевом витке а-спирали и добавить само число а:
Сумма натуральных чисел
Если построить числовую спираль для бесконечно большого числа (∞-спираль), начало этой спирали будет отличаться от числового луча только отсутствием нуля. Нулевой виток будет состоять из бесконечно большого количества единичных дуг, каждая единичная дуга будет ограничена лучами с бесконечно малым значением угла. Кривизна витка станет проявляться в районе очень больших чисел от начала спирали.
На 2-спирали главная ось образуется последовательными степенями числа 2. Все нечетные числа располагаются в начале числовых N-лучей, все четные числа расположены на N-лучах спирали.
На 2.0-витке находится одна единичная дуга размером 360°, в начале этого витка находится число 1. Это единственная числовая спираль, у которой на нулевом витке нет других чисел, кроме единицы. Количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (2).
2.1-виток разбивается на две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – 2 и 3. Здесь и на остальных витках количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (1).
Вычисления для 2-спирали
2.2-виток образуют четыре единичные дуги размером 90°, на котором располагаются числа 4, 5, 6, 7. Число 6 расположено на продолжении 3-луча.
2.3-виток образуют 8 единичных дуг размером 45°. На этом витке распложены числа с 8 по 15 включительно. Числа 10, 12 и 14 расположены на продолжении 5-луча, 3-луча и 7-луча соответственно.
Дальнейшее расположение натуральных чисел на 2-спирали можно проследить на рисунке выше.
3-спираль
3-спираль
Главную ось 3-спирали образуют последовательные степени числа 3. На 3.0-витке находится две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – это 1 и 2. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (2).
3.1-виток разбивается на шесть единичных дуг размером 60°, на нем располагаются числа 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (1). Число 6 находится на продолжении 2-луча и является результатом умножения числа 2 на число 3.
Вычисления для 3-спирали
3.2-виток образуют восемнадцать единичных дуг размером 20°, на нем располагаются числа с 9 по 26.
4-спираль
4-спираль
Главную ось 4-спирали образуют последовательные степени числа 4. На 4.0-витке находится три единичные дуги размером 120° и на нем расположено три числа – 1, 2 и 3.
4.1-виток разбивается на двенадцать единичных дуг размером 30°.
Вычисления для 4-спирали
4.2-виток разбивается на сорок восемь единичных дуг размером 7,5°.
Каждый виток 4-спирали содержит в себе два сжатых витка 2-спирали. Сжатие происходит неравномерно и задается структурой нулевого витка 4-спирали. Нулевой и четные витки 2-спирали сжимаются до 1/3 витка 4-спирали, первый и нечетные витки – до 2/3. Такое неравномерное сжатие обеспечивает равенство единичных угловых сегментов всех витков в структуре 4-спирали.
Подобное неравномерное сжатие происходит и на остальных спиралях, построенных на числах, равных степени числа а, больше первой степени. Так, для 8-спирали (а=23), каждый виток которой содержит три витка 2-спирали, пропорции равны: 1/7, 2/7, 4/7.
5-спираль
5-спираль
Главную ось 5-спирали образуют последовательные степени числа 5. На 5.0-витке находится четыре единичные дуги размером 90° и на нем расположено четыре числа – 1, 2, 3 и 4.
5.1-виток разбивается на двадцать единичных дуг размером 18°.
Вычисления для 5-спирали
5.2-виток разбивается на сто единичных дуг размером 3,6°.
Подобным образом можно построить числовую спираль для любого натурального числа.
Если для визуального отображения натуральных чисел использовать произвольную спираль и единицы измерения углов, тогда все числа можно упорядочить по следующим правилам:
1. На главной оси а-спирали располагаются числа вида an в порядке возрастания, где а>1, n≥0.
2. Главная ось совпадает с нулевым лучом единиц измерения углов и имеет следующий вид:
Главная ось числовой спирали
3. Главная ось делит спираль на отдельные витки размером в 360°, которые целесообразно нумеровать по показателю степени числа а, расположенного в начале каждого витка. Например, а.0-виток, а.1-виток, а.n-виток. Расстояние между витками спирали произвольное.
4. Каждый виток а-спирали разбивается лучами на равное количество единичных угловых секторов, которые делят виток на единичные дуги. Каждая единичная дуга имеет произвольную длину и соответствует одной числовой единице. Единичные дуги разделяют два соседних натуральных числа, которые располагаются на пересечениях лучей и витков спирали.
5. Количество единичных секторов и количество натуральных чисел mn для каждого а.n-витка определяется по формуле (1).
6. Для нулевых витков всех а-спиралей количество единичных секторов и натуральных чисел определяется по формуле (2).
Формулы числовых спиралей
7. Каждая единичная дуга из витка mn на следующем витке mn+1 делится на а единичных дуг новыми лучами.
8. В начале каждого луча (N-луч), на пересечении с витком, расположено натуральное число N вида Pa, простое по отношению к числу а.
9. На продолжении N-лучей, в точках пересечения с последующими витками, располагаются натуральные числа, кратные числу а, образующему главную ось а-спирали.
Числовые спирали – это представление натуральных чисел на спирали в единицах измерения углов. Соблюдение определенных правил размещения чисел позволяет получить бесконечную спиральную таблицу умножения для любого натурального числа а>1. Внешний вид и структура конкретной а-спирали будут одинаковыми для любых единиц измерения углов в любых системах счисления натуральных чисел.
Введение
Визуальное изображение натуральных чисел известно давно и имеет вид числового луча.
Числовой луч
Для визуализации чисел на используются единицы измерения длины. Числовой луч начинается с нуля, поскольку иначе невозможно изобразить единичный отрезок как единицу измерения. Расстояния между числами одинаковые и равны единичному отрезку.
В 1963 году Станислав Улам предложил изображение натуральных чисел в виде спирали. Сегодня это визуальное представление натуральных чисел известно как .
Скатерть Улама
Двумерная плоскость разбита на квадраты одинакового размера. В центре спирали находится единица, вокруг неё в каждый квадрат вписывается одно натуральное число по спирали. Данная спираль построена без применения каких-либо единиц измерения, ноль отсутствует.
В 1994 году Роберт Сакс расположил натуральные числа по Архимедовой спирали и получил спираль, известную сегодня как спираль Сакса (в Википедии описана в разделе "Вариации скатерти Улама").
Спираль Сакса
Для построения спирали Сакс использовал единицы измерения углов для поворота и единицы измерения длины для определения расстояния от центра спирали до каждого натурального числа. В центре спирали расположен ноль единиц измерения длины, на нулевом луче единиц измерения углов Сакс расположил квадраты натуральных чисел.
Я не стану вам рассказывать рецепты приготовления борща, я буду говорить о математике. Что такое ? Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщового" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.
Тригонометрия борща
Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.
В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.
Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.
Тригонометрия сложения
Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.
Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или другие единицы измерения.
Закон сложения
На рисунке показаны два уровня различий для математических величин. Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a, b, c. Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U. Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.
Закон сложения для борща
Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.
И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.
Первый вариант. Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.
Второй вариант. Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.
Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.
Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.
Угол равен нулю
Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).
Что это было?
Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что ноль не является числом. Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.
Угол больше нуля, но меньше прямого угла
Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.
Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).
Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.
Прямой угол
Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))
Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.
Проценты.
Проценты
Деление клетки.
Деление клетки
Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.
Общий бизнес
Появление математики на нашей планете.
Появление математики
Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.
Если рассматривать конечные тригонометрические функции как координаты точек единичной окружности в декартовой системе координат, тогда линейные угловые функции – это координаты точек хорды, соединяющей точки пересечения окружности с осями координат. Сумма координат любой точки этой хорды всегда равна единице.
Линейные угловые функции
В математике понятия, аналогичные линейным угловым функциям, используются с древних времен – это деление целого на части. В современном мире аналогом являются проценты.
Пояснение для читателей этого сайта. Для себя я называл линейные угловые функции "линос" и "лосес". Как я придумал эти названия? Взял обозначение синуса и косинуса. Визуально они довольно хорошо различаются. В каждом обозначении я заменил первую букву на латинскую букву "l" от слова "line" - линия. Получилось довольно симпатично. Но решать вам. Приживутся ли эти функции в математике и как они будут называться - время покажет. Я просто предлагаю ещё один математический инструмент для описания реальности.
Опубликовано 7 июля 2016 года
"Доклады независимых авторов"
Выпуск 36, стр. 43-45
Аннотация
Плоские углы необходимо разделять на тригонометрические углы и углы вращения.
Измерение углов в стереометрии
В стереометрии «углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией (ортогональной) на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается (курсив мой – Н.Г.Хижняк) равным 90°, а между параллельными прямой и плоскостью – равным 0°». [1, стр. 308].
Как следует из определения, угол между прямой и плоскостью не может быть больше 90°. Углы больше 90° относятся к углам вращения [2, стр. 81], а в стереометрии не принято при помощи углов описывать вращение прямой вокруг точки её пересечения с плоскостью.
Если прямая параллельна плоскости (или принадлежит плоскости), то считается, что величина угла имеет нулевое значение. Фактически отсутствует вершина угла – точка пересечения прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекция линии превращается в точку, которая совпадает с точкой пересечения прямой и плоскости. Фактически отсутствует второй луч, образующий угол. В этом случае угол считается прямым.
Измерение углов в планиметрии
По аналогии со стереометрией, плоский угол между двумя прямыми (лучами, отрезками) должен измеряться как угол между точкой на одной прямой и её проекцией на другой прямой с вершиной угла в точке пересечения этих прямых.
Данное правило позволяет разделить плоские углы на тригонометрические углы (величиной от 0° до 90°) и углы вращения. Принципиальное отличие между этими углами заключается в количестве объектов на двухмерной плоскости, образующих угол. Тригонометрический угол измеряется между двумя разными объектами, угол вращения измеряется между двумя положениями (начальным и конечным) одного объекта. Для тригонометрических углов фактор времени отсутствует, для углов вращения фактор времени обязателен: первоначальное положение, время вращения, конечное положение.
При измерении углов между двумя параллельными прямыми угол определить невозможно, поскольку отсутствует точка пересечения прямых. При измерении угла между двумя перпендикулярными прямыми угол так же невозможно определить, поскольку проекция точки совпадает с точкой пересечения этих прямых.
Вывод: нулевой и прямой углы не могут иметь точно такие же математические свойства, как остальные углы. Подробнее эти различия будут описаны при рассмотрении тригонометрических функций.
Углы и расстояния
Тригонометрический угол по своим свойствам аналогичен расстоянию между двумя точками, угол вращения аналогичен пройденному пути между этими же точками. Если движение осуществляется по прямой линии, тогда пройденный путь равен расстоянию между начальной и конечной точками пути. Если вращение осуществляется на угол до 90° градусов, тогда угол вращения равен тригонометрическому углу. Угол вращения не может быть меньше тригонометрического угла, пройденный путь не может быть меньше расстояния между точками начала и конца этого пути. Расстояние между двумя точками может быть в числовом диапазоне от нуля до бесконечности. Соответствие между углами от 0° до 90° и числами от нуля до бесконечности устанавливается тригонометрической функцией тангенса этих углов.
Пройденный путь так же выражается в числовом диапазоне от нуля до бесконечности, даже если расстояние между начальной и конечной точкой пройденного пути равно нулю. Точно так же угол вращения может достигать бесконечно больших значений, при этом тригонометрический угол между началом и окончанием вращения может быть равным нулю. В этом случае можно установить прямую аналогию между числом и величиной угла, как это принято в математическом анализе.
Для вычисления расстояния между начальной и конечной точками пройденного пути применяются различные математические инструменты, например, теорема Пифагора. Для определения угла между началом и окончанием вращения применяются формулы приведения углов.
Заключение: плоские углы по своим свойствам аналогичны расстояниям на плоскости.
P.S. Эта статья опубликована для разогрева. Хедлайнером новой работы является статья о тригонометрических функциях в прямоугольнике. Надеюсь, из неё вы узнаете очень много нового и интересного.
Рассмотрим очень простенькую задачу про два угла треугольника, которые известны. Звучит эта задача так:
Два угла треугольника равны 53 градуса и 57 градусов. Найдите его третий угол треугольника.
У любого треугольника всего три угла. Именно поэтому треугольник так и называется. Величина двух углов из трех нам известна. Теперь я задам вам всего пару вопросов, которые помогут решить эту задачу.
Вопрос первый. Чему равна сумма углов треугольника? Это сакральное знание математики дразнят "Теорема о сумме углов треугольника". Как бы они не называли этот закон природы, суть его не изменится. Кстати, сумма углов треугольника относится к разряду тех математических знаний, которые запоминаются легко и надолго, но которыми вы никогда больше пользоваться не будите в своей повседневной жизни. Бесполезное знание? Нет, но пользуются им люди весьма ограниченного круга профессий, например, геодезисты.
Сумма углов треугольника
Вопрос второй. Если вы знаете, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, с арифметикой сами справитесь? Здесь всё просто. От суммы углов треугольника в 180 градусов отнимаем два известных угла и получаем значение третьего угла треугольника.
180 - 53 - 57 = 70 градусов
Не хотел приводить здесь готовое решение, но... Во-первых, у калькулятора много разных кнопочек и их случайно можно перепутать. В подобных случаях у ученых исчезают спутники на Марсе, а великая космическая держава рассея свои космические аппараты тупо разбивает об Луну. Так что готовое решение, для контроля, не помешает. Просто проверите себя.
Во-вторых, это очень удобный случай проделать то, что математики настоятельно нам делать не рекомендуют. Нас учат выполнять задания с минимальными затратами времени, и по возможности без записи промежуточных результатов. Собственно, я так и сделал. С одной стороны, это правильно. С другой стороны, это не дает нам возможности понять, а что же мы, собственно, делаем?
Лично мне очень нравится рассматривать решения математических задач под микроскопом в замедленной съемке. Иногда впечатление такое, что наблюдаешь за фокусом в исполнении иллюзиониста и все секреты фокуса тут же вылезают наружу. Давайте рассмотрим подробное решение этой задачи о двух известных углах треугольника и одном неизвестном. Вот как это выглядит.
Задача про два угла треугольника
И так. Кто-то измерял углы в каком-то реальном треугольнике. Измерения выполнили только для двух углов. Человек учился в школе и знает, что третий угол можно просто вычислить. Это и есть условие задачи. Теперь подробное решение и описание смысла выполняемых нами действий.
1. Записываем закон, который устанавливает связь между углами треугольника, в алгебраической форме. Я уже говорил, что в математике он называется "Теорема о сумме углов треугольника". Геометрическая форма этого закона представлена на первой картинке.
2. Преобразуем алгебраическую форму закона об углах треугольника под решение нашей конкретной задачи.
3. Вводим в полученную формулу данные из поставленной перед нами задачи. Переходим от алгебраической формы к физической.
4.Анализируем физическую модель решения задачи. Математический аппарат представлен десятичной системой счисления чисел, другие системы счисления отсутствуют. Физический аппарат представлен градусной мерой углов, другие единицы измерения углов отсутствуют. Только при этих условиях мы можем выполнять сложение и вычитание.
5. Переходим к математической модели физической задачи и выполняем математические действия с числами при помощи калькулятора, листа бумаги или в уме.
6. Получаем готовое решение задачи в физической форме.
Вот такой роман почти в стихах у меня получился для одной очень простой задачи. На точность описания сей литературный опус не претендует, поскольку в школе меня такому не учили, выдумывать пришлось на ходу. Все описанные действия мы выполняем автоматически, не вдаваясь в подробные объяснения. Я согласен с математиками в том, что глупо каждое решение задачи расписывать так подробно. Но ещё глупее тупо выполнять те действия, которым тебя учат. В этом случае образование превращается в обычную дрессировку животных.
Сегодня мы посмотрим на крысиные бега в математике. Где на окружности находится 7пи/2? Очень интересный вопрос. Подобные вопросы любят задавать злобные математики. Точнее, их это заставляет делать учебная программа, составленная по сочинениям безмозглых математиков. Почему безмозглых? Измерять вращение математиков никто не научил, а собственные мозги у них отсутствуют. Вот математики и носятся со своими "пи", как дурни со ступой.
Один полный оборот математики обозначают как 2 пи. Что это значит? Вот вы стоите перед входом в школу. Поворачиваетесь на минус 90 градусов (что равно минус пи/2), то есть по часовой стрелке, и бежите вокруг школы в положительном направлении (против часовой стрелки). Когда вы снова окажетесь напротив школьного входа, значит вы пробежали угол величиной в 2 пи. Если вы повернетесь на плюс 90 градусов (что равно плюс пи/2) и побежите в противоположном направлении, вы пробежите угол в минус 2 пи. Сколько бы кругов вы не наматывали вокруг школы, вы всегда будете попадать в ту же точку, с которой начинались ваши крысиные бега. Почему бега называют крысиными? Наверное потому, что сколько не бегай, а никуда не убежишь.
План эвакуации
Приблизительно так будет выглядеть план эвакуации, разработанный и утвержденный математиками. И так, бег по кругу - это самое бессмысленное занятие, которое можно придумать. Естественно, если этот бег по кругу не связан со спортом или укреплением собственного здоровья. Здесь у кругового бега одно существенное преимущество - бегая, вы всегда остаетесь практически на месте, не зависимо от того, какое расстояние пробежали. Попробуйте пробежать назад 10 километров, если вы только что закончили забег на 10 километров вперед. А по кругу - пробежал 10 километров и хватит.
Но вернемся к нашей задаче. Как узнать, где на окружности находится 7 пи, деленное пополам? Для начала, нужно выбросить всю дурь не только с головы, но и со значения угла. Если размер дури в других науках определить довольно проблематично, то в математике она имеет вполне конкретное выражение - два пи или 360 градусов. Вот их и нужно выбросить из наших 7пи/2. Вспоминаем вычитание дробей. Чтобы зловредная буква пи нам не мешала, вынесем её за скобки.
Вычисление угла
Про сокращение дробей помните? Точно так же мы выполнили сокращение угла. Сколько бы дури размером в 2 пи (360 градусов) не содержалось в наших углах, всю её необходимо выбросить. Это обычный математический мусор, который, как святыню, хранят церковно-приходские математики.
После сокращения угла можно взять окружность и показать на ней точку, соответствующую углу в 3/2 пи.
Окружность градусов и радиан
Как видно из картинки, угол в 3/2 пи или 270 градусов находится на границе третьей и четвертой четвертей окружности. Хотя, благодаря Интернету и путину, понятие "граница" сегодня весьма размыто.
Не следует забывать, что "пи" - это не единица измерения радиан, а загадочное число 3,1415... Угол в 3/2 пи равен 4,7122... радиан. По умолчанию, математики не пишут возле значения угла единицу измерения "радиан". Чем всех нас запутывают и сами путаются.
Кстати, на сокращении дробей построены пропорции. На сокращении углов такой фокус не возможен - на идиотизме пропорцию не построишь.
В треугольнике АВС АС=ВС. Внешний угол при вершине В равен 122 градуса. Найдите угол. Ответ дайте в градусах. Можно мне все подробно?
Постараюсь объяснить как можно подробнее. Почему я сразу сказал, что задача про равнобедренный треугольник? У обычных треугольников все стороны разной длинны. Их даже так и называют - разносторонние. Берем картинку со страницы про виды треугольников, отрезаем ненужное и начинаем разукрашивать. Геометрия - это та же детская разукрашка, только проще. В задаче обычно всегда говорится, что именно и как вы должны разукрашивать. Разукрасим нашу картинку с видами треугольников по размерам сторон синенькими буквами вершин равнобедренного треугольника.
Виды треугольников
Теперь нужно разобраться, что такое внешний угол при вершине треугольника. По моему глубокому убеждению, это мусор, которым математики засоряют вам мозги. Ведь чем больше всякого мусора в учебнике, тем больше часов нужно на его изучение и тем больше сможет заработать учитель. Чем запутаннее предмет, тем легче репетиторам найти работу. Это похоже на продажу овощей на вес - чем больше в них грязи, тем больше денег заработает продавец.
И так, открываем "умную" книжку и начинаем копаться в математической грязи. В книжке написано буквально следующее:
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
По умолчанию предполагается, что мы уже должны знать, что такое смежный угол. Не знаю, как вы, а я уже давно забыл, что это за фигня такая - "смежный угол". Ведь все нормальные люди пользуются нормальными углами. Хорошо, что к определению внешнего угла треугольника картинка прилагается, которая проясняет, как именно он выглядит.
Внешний угол
Я никогда не пойму, зачем к треугольнику лепить внешний угол, если у него уже есть обычные, внутренние, углы. Я так понимаю, что одни дураки когда-то учили других, а те тупо повторяют действия учителей. Своими мозгами пользоваться их так никто и не научил. Кстати, величайшим достижением современного образования можно считать отсутствие в учебной программе научной теории о трех китах и Земле, которая на них держится. И это только потому, что данная теория не относится к математике. А ведь если в учебной программе что-то записано, то учить это обязательно для получения хорошей оценки.
Ладно, по возмущался и хватит. Вернемся к наше задаче. Читаем внимательно: Внешний угол при вершине В равен 122 градуса. Собственно, картинка внешнего угла - это то, что доктор прописал. Обычный угол треугольника получается путем вычитания из 180 градусов внешнего угла. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Рисуем картинку и сразу решение.
Внешний угол при вершине
Кажется, я догадываюсь, откуда в математике могли появиться внешние углы. Когда европейцы увидели пирамиды древнего Египта, они были потрясены увиденным. Им захотелось измерить эти грандиозные сооружения. Вот только внутренний угол пирамиды измерить не представляется возможным. Можно измерить внешний угол и высчитать внутренний. Математики увидели, что делают другие, и записали в свою Математическую Библию определение внешнего угла треугольника. Вот с тех пор это Священное Писание переписывается из учебника в учебник.
Как хорошо быть дилетантом и ничего не знать. На мир смотришь совершенно иными глазами. Вот из такого моего незнания появилась загадка вавилонской таблички. Лишний раз пришлось убедиться, что когда имеешь дело с математикой, результат может получиться самым неожиданным.
И так, в Википедии я наткнулся на одну интересную картинку, где изображена древняя вавилонская глиняная табличка с изображением квадрата и клинописью. Надпись под табличкой уверяет нас, что здесь приводится значение корня из двух, вычисленное древними вавилонянами почти четыре тысячи лет назад. Вот эта картинка.
Вавилонская табличка корень из двух
Найдена эта табличка была давно и математики провели её исследование. Вот официальная версия, которую я раскопал на просторах Интернета буквально только что. По диагонали представлено значение корня из двух в шестидесятеричной системе счисления. Напоминаю, что составлена она была почти четыре тысячи лет назад. Точность для того времени потрясающая - пять знаков после запятой! Здесь уместно напомнить, что популярные в двадцатом веке нашей эры таблицы Брадиса имели только четыре знака после запятой.
Дальше идет предположение наших математиков, что на табличке изображены три числа. Поскольку нуля и запятой после целой части числа у древних вавилонян не было, то первое число можно трактовать двояко: и как целое число 30, и как дробь 30/60=0,5. Математики предположи, что вавилонская табличка показывает пример вычисления диагонали квадрата со стороной, равной 30. То есть, 30 умножается на корень из двух и получается результат - третье число. Берем в руки калькулятор и проверяем.
Вычисление диагонали квадрата со стороной 30
В принципе, всё логично и вычисления древними математиками выполнены правильно. Но ведь я этого не знал. Я видел только значение квадратного корня из двух и у меня возник естественный вопрос: что означают два других числа?
Предположив, что 42 25 35 - это дробь без целой части, я взял в руки калькулятор и произвел вычисления. Результат показался мне до боли знакомым. Это число пи, деленное на 4? Очень грубое сравнение. Что ещё? Диагональ квадрата связана не только с корнем квадратным, но и с тригонометрическими функциями угла в 45 градусов. Набираю на калькуляторе пи/4, нажимаю кнопочку синуса и... Увиденное меня мня слегка шокировало - синус и косинус угла в 45 градусов представлен с точностью до шести знаков после запятой!
Вавилонская табличка синус и косинус
Вау! Тригонометрические функции в два раза старше, чем принято считать. Два - ноль в пользу древних математиков! Как быть с числом 30? Если это дробь, то читать её следует как 0,5. Я знаю другой класс тригонометрических функций, значение которых для угла 45 градусов равняется 0,5. Получается, что древние математики знали больше нас? Другим классом тригонометрических функций мы пользуемся и сегодня, причем очень широко, но... Мы их называем по-другому, у нас они имеют другие числовые значения и с углами мы их никак не связываем. Оба класса тригонометрических функций можно использовать при решении двух похожих математических задач, которые мы еще не решаем. Или уже не решаем?
Кстати, математика древнего мира мне нравится гораздо больше современной. Я так полагаю, что наших математиков в древнем Вавилоне даже на порог школы не пустили бы. Ответ звучал бы приблизительно так: "Стройте собственные храмы и там проповедуйте свою веру в Определения, Множества и Функции".
И вот, после всех этих размышлений я ознакомился с официальной версией расшифровки вавилонской таблички. Это что - случайное совпадение? Лично я не верю в случайные совпадения. Но и с математикой не поспоришь - оба решения верны.
Какие недостатки у версии с умножением? Почему в качестве первого сомножителя выступает именно число 30, а не любое другое, например, 2? Почему квадратный корень из двух в шестидесятеричной системе счисления представлен с точностью до трех знаков после запятой, а результат вычисления имеет только два знака после запятой? Не хватило места для третьего знака? Не верю.
Какие достоинства у версии с тригонометрическими функциями? Два числа представлены с одинаковой точностью - три знака после запятой. Древняя вавилонская табличка является не примером умножения, а математическим справочником по свойствам квадрата.
Для того, чтобы разгадать загадку вавилонской таблички, нужно проанализировать и другие математические таблички того же периода.
P.S. 04.08.19г. Я не буду настаивать на том, что в древнем Вавилоне были известны понятия синуса и косинуса угла. Значения синуса и косинуса угла в 45 градусов совпадают с числом, равным единице, деленной на корень из двух. Обратные числа били известны в древнем Вавилоне и широко применялись. И так, скорее всего, на табличке, являющейся одним из элементов древнего математического справочника, указаны такие математические сведения для квадрата со стороной, равной единице:
1. Число - корень из двух (длина диагонали).
2. Обратное число - единица, деленная на корень из двух.
3. Число одна вторая (число "30" в шестидесятиричной системе счисления).
Поскольку в древнем Вавилоне вряд ли знали проценты, можно предположить, что третье число на табличке является линейной угловой функцией угла в 45 градусов. Геометрически, линейные угловые функции являются пропорциями деления полупериметра прямоугольника в зависимости от значения угла между его стороной и диагональю.
Были ли известны линейные угловые функции древним вавилонянам? Этот вопрос требует специального изучения, поскольку этот вид тригонометрических функций неизвестен современным математикам. А изучать то, чего не знаешь, очень даже проблематично.
Лично я очень хотел бы посмотреть на подобную справочную табличку древних вавилонян для прямоугольника с углами в 30 и 60 градусов или с другими значениями углов.
