Матрицы в математике

Матрицы в математике выполняют довольно видную роль. Скорую математическую помощь для решения матриц онлайн я уже оказал. С теорией матричной магии покуда разбирайтесь сами по учебникам. Я же хочу сейчас порассуждать о смысле матричного счисления. То, что матрицы применяют для решения систем линейных уравнений, знают многие и пользуются матрицами именно для этих целей. Я не буду повторять учебники, а предлагаю вам отправиться в детский садик и там поискать смысл математических операций с матрицами.

И так, придумаем самую простую детскую задачу про ваших любимых собачек и кошек: "В зоосалоне сейчас стригутся 2 кошечки и 3 собачки. В очереди к мастерам-грумерам (так называют этих парикмахеров животинок) сидят 4 кошечки и 5 собачек. Сколько кошечек и собачек хотят изменить свой имидж?". Не сложная детская задачка на два независимых математических действия: кошечек складываем с кошечками, к собачкам прибавляем собачек и получаем результат - два числа, одно из которых обозначает количество кошечек, второе - количество собачек. Вот как просто. А теперь эту же задачу решим с применением матричного счисления на калькуляторе матриц (ссылка в начале статьи).

Матрицы в математике

Вот что получилось. Поскольку создатели калькулятора считают, что операции с вектор-строками и вектор-столбцами слишком примитивны для математических знаний такого высокого уровня, мне пришлось пойти на хитрость. Недостающие элементы квадратной матрицы второго порядка (а это минимальный размер для калькулятора матриц) я заменил нулями.

Как вы можете видеть на картинке, эту задачу я решил двумя способами: сперва значения стояли в первом столбце матриц, потом я эти же значения подставил в первую строчку матриц. Оба варианта дали правильный результат. Из этого можно сделать вывод, что математические операции с матрицами по смыслу означают одновременное выполнение математического действия с величинами, имеющими разные единицы измерения.

При составлении матриц для решения системы линейных уравнений в качестве единиц измерения принимаются неизвестные. Например, единица десятичной системы счисления (просто число, свободный член уравнения), х, у, z, ХХL... Ой! Это не отсюда, эта единица измерения для измерения кофточек применяется. Кстати, если вы запишете в матрицу число своих кофточек, то матрица от этого нисколько не пострадает - ей безразлично, что и куда вы пишите. А вот правильно решить систему уравнений при помощи матрицы в кофточке у вас уже не получится.

Принцип составления матрицы для уравнений - вы берете числовые коэффициенты перед неизвестными и вписываете их каждый на свое место. Вот здесь уже имеет значение, что и куда именно вы в матрицу вписываете. Потом полученную матрицу решаете.

Где ещё применяется принцип математических действий с матрицами? Когда вы считаете целую кучу денег в бумажных купюрах и металлических монетах. Раскладываете купюры и монеты на кучки по достоинству и пересчитываете количество в каждой кучке. На этом матричный метод заканчивается, дальше вы приводите полученные результаты к одной единице измерения. Естественно, выполняя подобные действия в повседневной жизни, мы никогда не задумываемся над тем, как это можно описать математически.

Помните, мы с вами говорили о метрах и дециметрах? О бантиках и рюшках, о многоядерном процессоре? Там тоже можно применять матричные методы сложения и вычитания. Выполняете все действия с одной единицей измерения, потом все действия с другой единицей измерения. В самом конце, при необходимости, делаете преобразования одних единиц измерения в другие.

Этот метод очень хорошо применять в геодезии, когда нужно складывать или вычитать большое количество углов в градусах, минутах, секундах. Делаете все действия с градусами, потом с минутами, после этого с секундами. А потом все полученные секунды преобразовываете в минуты и секунды. К полученным в результате матричных вычислений минутам прибавляете или отнимаете те минуты, которые получились после преобразования секунд. Результат преобразуете в градусы и минуты. К общему количеству градусов прибавляете градусы от минут. Всё, у вас получился один угол в градусах, минутах, секундах.

Надеюсь, эта статья будет вам полезна и вы на практике будете применять методы матричных вычислений уже с полным осознанием того, что вы делаете и какой результат получите.

Решение матриц онлайн

Разбираться в решении матриц мы сейчас не будем. Я в них сам толком ничего не понимаю. Если вам нужно знать теорию решения матриц, то берите учебники и учите. Можете порыскать по Интернету, много есть разных страниц про матрицы.

И так, решение матриц онлайн можно найти на сайте Matesha.ru с одной особенностью. В начале страницы излагается теоретическая часть с примером, где вам в очередной раз рассказывают что и как нужно делать. И только в самом низу страницы есть строчка "Для нахождения бла-бла-бла матрицы необходимо указать размерность матрицы:". Вот именно здесь собака калькулятор и зарыт. Вводите размерность матрицы и нажимаете волшебную кнопочку "далее". Из ниоткуда вылезает калькулятор и предлагает вам ввести данные из вашей матрицы. Я даже складывал матрицы на этом калькуляторе онлайн, результат можете посмотреть на картинке. А пока покажу волшебную строчку, где прячется "сезам откройся".

Решение матриц онлайн

Ссылки я вам рассортировал и по полочкам разложил. Для решения матриц онлайн бесплатно нам предлагают калькулятор матриц с подробным описанием решения, на котором вы можете выполнить следующие действия:

вычислить ранг матрицы
найти определитель матрицы онлайн
выполнить транспонирование матрицы
умножить матрицу на число
выполнить сложение и вычитание матриц
выполнить умножение матриц
найти обратную матрицу онлайн бесплатно
найти обратную матрицу простым способом и так же бесплатно
решить систему линейных уравнений матричным методом
применить метод Гаусса матрицы для решения системы линейных уравнений
решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Как видите, на предлагаемом сайте есть целое море матричных извращений удовольствий для беззаботной жизни при решении матриц. Но и это ещё не всё. Для полного счастья предлагаю другой сайт IntegraloFF.NET (P.S. 24.03.23г. Вот здесь калькулятор матриц есть и, для начала, предлагает ввести размер матрицы от 2 до 8), где кроме решения матриц онлайн вы можете посмотреть примеры решения матриц. Под формой ввода данных в калькулятор матриц расположена ссылка, на которую вы можете нажать, когда вам лень заполнять матричные формы, а так хочется посмотреть пример решения матрицы. На этом калькуляторе матриц вы можете:

выполнить вычисление определителя квадратной матрицы онлайн
выполнить умножение двух квадратных матриц
решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Думаю, для начала решения матриц онлайн вам этого вполне достаточно. Если мне попадутся другие сервисы для решения матриц, обязательно дам ссылки.

Комплексные числа

Комплексные числа мы с вами сейчас рассматривать не будем. Если вам нужно разобраться в комплексных числах, берите учебники, ройтесь в Интернете - там информации достаточно. Я сейчас не хочу заниматься комплексными числами.

Если вы хотите знать мое личное мнение о комплексных числах, то я скажу, что ерунда всё это. На одном форуме ботаников я прочел крик души какого-то физика. Там он пишет, что ему удалось решить какие-то уравнения в восьмимерном комплексном пространстве. Теперь у него возник вопрос, как полученное решение из восьмимерного комплексного пространства перевести в обычное четырехмерное. Так и хотелось ему сказать: "А какой дурак заставляет тебя решать это в комплексном пространстве? Не влезай в комплексные пространства и тебе не придется возвращаться обратно!"

Самым веским аргументом в пользу мифичности комплексных чисел для меня является тот факт, что за всю историю существования комплексных чисел ещё ни один математик не получал свою зарплату в комплексных числах.

Я считаю, что комплексные числа - это самая первая виртуальная игра для взрослых. Игра эта всем так понравилась, что в неё увлеченно играют до сих пор. Если смотреть на комплексные числа с точки зрения Уголовно-Процессуального Кодекса, то это будет обыкновенное мошенничество. Комплексные числа можно назвать самым масштабным мошенничеством в истории науки. Заметьте, мы сами придумали правило о том, что незнание закона не освобождает от ответственности. Добавлю от себя, что законы математики я не считаю исключением. Закон один для всех - это математика. Закон один для всех, кроме меня и я скажу, кого ещё - это уже всё остальное.

Благодаря существованию комплексных чисел, в которых никто ничего не понимает, математики сегодня занимают такое же положение, какое в древние времена занимали жрецы. Только математикам известны все тайны комплексных чисел и только математики знают, что с этими комплексными числами нужно делать.

Не последнюю роль в развитии комплексных чисел сыграла бюрократическая система. Когда никто из простых смертных ничего не понимает, им можно говорить всё, что угодно. Так появились гиперкомплесные числа и тому подобные навороты на комплексные числа. Если вы хотите преуспеть в бюрократической системе, то комплексные числа для вас - настоящий клад. Ведь вы легко можете придумать какое-нибудь суперпупербумтрахплюс гиперкомплесное число (кстати, именно по этому пути пошел Сергей Манулов в своей теории деления на ноль, придумав число ё). При этом каждая новая приставка к комплексному числу дает возможность написать практически бесконечное количество никому не понятных диссертаций и получать за это реальные, а не комплексные, деньги. Потом до пенсии будете учить других тому, в чем сами ничего не понимаете. Всё очень просто. Даже говорящего попугая можно научить произносить математические определения. Любое дрессированное животное умеет выполнять определенные действия в определенной последовательности. Люди поддаются дрессировке гораздо лучше любого животного, поэтому они так ловко управляются с комплексными числами.

Комплексные числа являются примером того, что может получиться, если задачу решить не правильно. Те задачи, которые математики решают в относительной стеме координат с применением комплексных чисел, должны решаться в абсолютной системе координат, где комплексные числа в принципе возникнуть не могут, поскольку там нет отрицательных чисел, из которых можно было бы выковырять корень квадратный и получить комплексное число. Ищите эти решения и вы их обязательно найдете. Транспортные компании прекрасно справились с решением подобной задачи, в отличии от математиков. В каком бы направлении вы не ехали, в прямом или обратном, всегда платите вы и никогда не платят вам, даже если вы возвращаетесь назад. Я думаю, что в будущем выражение "комплексные числа" будет применяться приблизительно в том же смысле, в каком мы сегодня применяем выражение "три кита". Например, если ученик выйдет к доске и заявит "Я не могу это решить", учитель ему посоветует "А ты введи комплексные числа".

Теперь давайте посмотрим, откуда появились комплексные числа. Например, из решения первого уравнения, показанного на картинке.

Комплексные числа

Вот здесь я воспользуюсь случаем и задам тот же вопрос, который мне задали в комментариях к статье "Решение нерешаемых уравнений": "...а откуда это было получено? путем каких преобразований и выкладок?" Покажите мне те реальные обстоятельства, математическое описание которых приводит к появлению данного уравнения.

Я могу пофантазировать. Допустим, кто-то напечатал большими символами на листе бумаги уравнение номер два, в котором стоит знак минус. Гулял он с этим листком по зоопарку и случайно уронил его в клетку к обезьяне. Обезьяна подняла этот листок, провела по нему своим грязным пальцем. По чистой случайности этот "метод научного тыка" грязным пальцем в белый листок с уравнением превратил знак минус в знак плюс. Посмотрела обезьяна на полученный результат, подумала: "Ерунда какая-то, в джунглях таких уравнений не бывает" и выбросила этот листок из клетки. В это время мимо клетки с обезьяной проходил математик и подобрал злополучный листок. "Какое интересное уравнение" - подумал математик и начал его решать. В результате решения появились комплексные числа. Рассказанная история вполне претендует на реалистичность, но к математике она никакого отношения не имеет.

Думаю, я достаточно ясно изложил свою точку зрения на комплексные числа. Надеюсь, никто из верящих в существование комплексных чисел не станет расценивать эту статью как оскорбление чувств верующих. Вы можете верить во что угодно: в Бога, в Черта или в комплексные числа. Но не надо заставлять меня верить в то же самое.

Что делать вам, ели вас заставляют учить комплексные числа? Учите - таковы бюрократические правила игры в образование. Вы же хотите получить бумажку, подтверждающую, что у вас умная голова на плечах? Вот когда вы займете достойное место в бюрократической системе науки или образования, тогда и будете решать, продолжать эти игры в комплексные числа или отказаться от них.

P.S. от 15.08.2012 года. Математическим доказательством того, что комплексные числа собственно числами не являются, можно считать тот факт, что комплексные числа нельзя применить для изменения числа и единицы измерения, как и "ноль".

Приведение углов

Приведение углов - это та задача, которую необходимо решить прежде, чем приступать к приведению тригонометрических функций по формулам приведения. Вот пример вопроса: "Приведите к тригонометрическим функции угла от 0 до 90 град. а) tg 137 град. б) sin (-178) град как решить?"

Начинать решение этой задачи нужно с другой, более простой задачи на приведение углов к значениям от 0 до 90 градусов. Для этого имеющийся угол нужно представить как сумму или разность, используя при этом угол в 90 градусов или кратные ему углы и угол в пределах от 0 до 90 градусов. Это написано всё очень заумно, а делается очень просто. Смотрите:

137 = 90 + 47

137 = 180 - 43

Мы разложили имеющийся угол двумя способами. Вариантов решения этой задачи так же может быть два. Для второго угла так же может быть два варианта:

-178 = -180 + 2 = 2 - 180

-178 = -90 - 88 = -(90 + 88)

Теперь займемся приведением тригонометрических функций. Для этого используем формулы приведения тангенса. На картинке я подчеркнул и подписал те формулы, которые мы будем использовать в первом и во втором случае.

Тангенс формулы приведения пример

В первом случае мы применяем формулу сложения для 90 градусов, во втором случае мы применяем формулу вычитания для 180 градусов. Теперь запишем оба решения для тангенса угла 137 градусов.

tg 137 = tg (90 + 47) = -ctg 47

tg 137 = tg (180 - 43) = -tg 43

Всё, мы сделали то, что от нас требуется в задаче. Записывайте любой из вариантов, оба они правильные, поскольку численные значения полученных функций равны.

Теперь приступим к решению задачи про синусы. Угол мы уже разложили на составляющие, теперь нам нужно подобрать соответствующие формулы приведения синуса. Снова рассматриваем два варианта.

Синус формулы приведения пример

В первом случае применяем формулу вычитания из угла ста восьмидесяти градусов. Во втором случае применяем сперва формулу нечетности синуса, а после этого формулу сложения углов для 90 градусов. Записываем эти решения.

sin (-178) = sin (2 - 180) = -sin 2

sin (-178) = sin [-(90 + 88)] = -sin (90 + 88) = -cos 88

Как водно из решения, второй вариант более громоздкий в записи.

В заключение, можно ещё посмотреть на те углы, которые мы рассматривали. Напомню, что положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные - по часовой стрелке. Для наглядности возьмем картинку из статьи про круг градусов и радиан.

Круг градусы и радианы применение

Красными прямоугольниками выделены те тригонометрические функции, которые мы рассматриваем. Как видите, и для тангенса, и для синуса значения получаются отрицательные, что соответствует результатам, полученным нами по формулам приведения.

Круг градусы и радианы

Круг градусы и радианы

Круг градусы и радианы наглядно показывает соотношение градусной и радианной мер углов. Пользоваться им практически не возможно, но зато наглядно видно соотношения градусов и радиан - этих двух основных единиц измерения углов.

Практический перевод градусов в радианы и обратно - радиан в градусы - можно выполнить при помощи формул, указанных в верхнем правом углу рисунка. Для подсчета численных значений углов по этим формулам можно воспользоваться калькулятором бесплатно. В этом калькуляторе есть специальная кнопочка, обозначающая число "пи", достаточно её нажать, чтобы не вводить значение числа "пи" в калькулятор.

Проверить результат своих вычислений вы можете при помощи круга градусов и радиан. Радианы указаны снаружи, градусы внутри окружности. Угол в градусах и радианах должен совпадать. Если у вас получилось, что результат после расчетов находится в другом месте этой окружности, значит вы допустили ошибку.

Кроме градусов и радиан на окружности показаны знаки тригонометрических функций по четвертям, а так же подписаны оси, на которых располагаются синусы и косинусы в традиционных для математики направлениях. Значения тригонометрических функций приведены на отдельном рисунке тригонометрического круга.