О рациональных и иррациональных числах

Автор Николай Хижняк

инженер-исследователь: Как-то я обнаружил странный эффект. Мне пришлось писать программу для ЭВМ, которая должна была моделировать действие некоторой сложной установки. Уравнения, описывающие работу отдельных её узлов были известны досконально, оставалось из них собрать модель работы единого целого и тут меня ждал сюрприз - машина, при любых начальных параметрах, сообщала об ошибке деления на нуль. Далее я исследовал ту часть программы, где наблюдалось это явление и обнаружил, что деление на нуль неизбежно, если входящие параметры выражаются рациональными числами, но при иррациональных начальных параметрах, модель даёт весьма реальные результаты. Проблема заключалась в том, что компьютер округлял все иррациональные числа до рациональных, что и приводило к нежелательному эффекту деления на нуль. Позже я обнаружил целый ряд ситуаций, когда вычисление по приближённым формулам, полученным в докомпьютерную эпоху, для того чтобы упростить инженерные расчёты, дают куда более соответствующие реальности результаты, чем вычисления по точным моделям на ЭВМ. Обычно, в таких случаях, учёные и инженеры, обнаружившие этот эффект, предполагали неполноту наших знаний о механизмах, моделируемых процессов, но я исследовав эти случаи обнаружил, что в них математическая модель чувствительна к роду величин начальных параметров и, если все эти параметры выражаются рациональными числами, то она даёт результат принципиально отличный от ситуации, когда хоть один параметр иррационален. В таких случаях, главным источником бед является то, что ЭВМ, может оперировать только рациональными числами, что и заставляет машину давать неверные результаты.

Здесь можно вспомнить функцию Дирихле, принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число. Судя по всему, очень многие функции, описывающие природу, обладают близким свойством, а именно если все их аргументы - рациональные числа, то функция принимает одно значение, но если хоть один аргумент иррационален, то совсем другое. Другой вопрос, что во Вселенной, за всё время существования, ни разу не реализовывалась ситуация, когда все аргументы этих функций выражались рациональными числами!

Николай Хижняк: Честно говоря, я ещё не дорос до необходимости делить числа на рациональные и иррациональные. Я их пока делю на реальные и выдуманные. Реальные - это те числа, которые имеют отражение в природе. Выдуманные - это те числа, при помощи которых взрослые дяди играют в виртуальные игры (как и положено играм, они очень напоминают реальность).

Если происхождение чисел влияет на результат - это не математика, это виртуальные игры в числа. В математике существует очень мощная защита от дураков. Деление на ноль - это второй уровень такой защиты. Первый уровень мы победоносно взломали, даже не заметив его существования.

Вот реальный пример защиты от дураков. Вспомните площадь четырехугольника - она равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Какой угол брать? Любой - синус альфа равен синусу (180 градусов минус альфа). В каком бы порядке мы не брали диагонали и какой бы угол не взяли, значение площади четырехугольника всегда будет одним и тем же. Эту задачку мы правильно решили.

Теперь представьте, что кто-то считает, что синус (180 градусов минус альфа) равен косинусу альфа. Пользуясь приведенной формулой площади они получают два разных значения площади для двух разных углов между диагоналями. Они начинают свято верить в то, что каждый четырехугольник имеет две площади. У них будет своя математика, ничем не хуже нашей, но жить они будут в другом мире - их математика будет давать другое описание окружающей действительности.

Маленький исторический экскурс. Если бы сегодня мы продолжали считать, что земля держится на трех китах, то я вас уверяю, у нас уже была бы газовая смесь под названием "Дыхание кита". При взаимодействии горных пород с этой газовой смесью камень превращался бы в жидкую лаву. Эта газовая смесь была бы "научным" доказательством существования китов под землей и очень хорошо бы иллюстрировала окружающую действительность - киты выдыхают, камень плавится, на земле извергаются вулканы и вытекает лава.

Что касается наших программистов, то, будь я Богом, я бы никогда не доверил им программировать мою новую вселенную. Наша же Вселенная работает по законам математики, для которой, судя по всему, рациональных чисел просто нет. Есть числа - и природе этого вполне достаточно)))

Всё ли может математика?

Автор Николай Хижняк

У многих, в том числе и у блондинок, изучающих математику, сейчас каникулы. Но – не у всех. Есть люди, в том числе и блондинки, которые по-прежнему продолжают заниматься изучением математики. У вас никогда не возникал вопрос, чем в математике интересуются взрослые дядьки? Вот, во время каникул, я предлагаю вам взглянуть краешком глаза на некоторых из них, в том числе и на меня. Материалы эти взяты из источников, находящихся в свободном доступе или публикуются с любезного разрешения авторов. Все эти публикации размещены в рубрике «Легенды о математике». Общим для них является то, что в этих публикациях так или иначе затронуты некоторые проблемы математики. Реальные это проблемы или надуманные – решайте сами.

инженер-исследователь: Как-то на досуге я задумался об экспериментальных основаниях математики. Физики, химики, биологи и т.д. любят говорить, что их науки экспериментальные, а на какой экспериментальной базе держится математика?

Первое, что мне пришло в голову - работа со счётным материалом. Вспомним, как учат маленьких детей: "Прибавим к двум палочкам три палочки и получим пять палочек!" - чем не математический эксперимент. Второе, что мне пришло в голову - геометрия, через которую определяются тригонометрические функции и через которую можно относительно легко определить первые две производные и интеграл - вот и все экспериментальные основания математики. Самое удивительное здесь то, что основанная на такой, относительно небольшой экспериментальной базе, наука, способна принимать участие в описании даже очень экзотических явлений и процессов, но при этом возникает вопрос: "А не столкнёмся ли мы с явлениями математически неописуемыми, для которых наука со столь ограниченной экспериментальной базой окажется очень слабой?"

Николай Хижняк: Неплохо вас заносит ))) Если двигаться и дальше в этом же направлении, далеко зайдете. Лично я, двигаясь в эту сторону, в данный момент застрял на тригонометрических функциях )))

Экспериментальная база математики гораздо меньше, чем вам кажется. Там всего один критерий. Ну, может еще парочку кто-то наскребет при ОЧЧЧЧЕНЬ большом желании (диссертации нужно же будет на чем-то защищать)))) Я этот критерий начал применять и вот какие результаты получаются:

1. Правило прямого угла в тригонометрии

2. Симметричность математических действий

Это только самые первые шаги, которые особо не влияют на математическое мировоззрение. Если углубляться дальше... Башню элементарно может снести )))

Кстати, о палочках. Очень интересный вопрос: почему один плюс один равняется два? Где математическое доказательство? В «Principia Mathematica» Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда на 362-й странице??? Это, конечно же, бред. Равенство 1+1=2 должно доказываться ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО без всяких рассуждений. Я до этого ещё не добрался, пока барахтаюсь в тригонометрических функциях. Чувствую, что без них очень трудно во всём разобраться. Кстати, равенство 1+1=1 доказывается гораздо проще, экспериментально, и логика в этом равенстве есть неоспоримая. Откуда же тогда взялось равенство 1+1=2 ??? Я знаю даже грань, которая эти два равенства разделяет, но где искать экспериментальные подтверждения?

Что же касается вашего последнего вопроса, уверяю, ваши страхи напрасны. Могущество математики заключается в очень узкой ограниченности её экспериментальной базы. В природе не существует явлений, которые нельзя описать математически.

Решение математических проблем в бесконечной гостинице

Автор Николай Хижняк

На следующее утро, по дороге на работу, хозяин бесконечной гостиницы случайно заметил в газетном киоске свежую газету с фотографией своей «Бесконечной гостиницы» на первой полосе. Огромные буквы заголовка кричали: «Сенсация! Величайшее научное открытие в «Бесконечной гостинице»!!!». Естественно, хозяина гостиницы не мог не заинтересовать вопрос: кто это, без его ведома, и что именно открыл в принадлежащей ему гостинице?

У себя в кабинете хозяин гостиницы внимательно прочел статью, в которой подробно рассказывалось о том, как ученые издеваются над постояльцами его гостиницы. «Идиоты! Им только пасочки в песочнице лепить!» - закричал он и выскочил из кабинета.

Когда Математик, теперь уже со степенью Кандидат в Доктора Математических Наук, увидел разъяренного хозяина гостиницы, быстро направлявшегося прямо к нему, он сразу понял, что сейчас произойдет великое научное закрытие. Дело происходило в холле гостиницы, поэтому всё кончилось очень быстро. Хозяин гостиницы схватил Математика за воротник, развернул в сторону входной двери и мощным пинком под зад, как бильярдный шар в лузу, отправил остепененное тело в сторону входной двери. Кто-то из служащих гостиницы, в самый последний момент, предусмотрительно открыл входную дверь, так что дверь при этом не пострадала (это уточнение специально для членов Общества Защиты Дверей). Вот так скромно закончилась карьера Математика в гостиничном бизнесе, не смотря на то, что именно здесь он себе состряпал ученую степень.

Как развивались дальше события в «Бесконечной гостинице»? После своего лучшего удара, хозяин гостиницы отправился на поиски Блондинки. Это была задача потруднее, чем расселение бесконечного числа посетителей в бесконечной гостинице. Хозяин гостиницы не знал, кто к нему приехал. В газетном отчете о величайшем научном эксперименте было сказано «друг». Совершенно естественно, он начал разыскивать всех своих друзей, разбросанных по всем галактикам. Когда выяснилось, что никто из них в его гостинице не останавливался, он уже хотел было списать слово «друг» на обычное журналистское вранье. Но тут его осенило – под словом «друг» может скрываться подруга. После этой догадки хозяин гостиницы уже ни сколько не сомневался, что в подобную историю могла попасть только Блондинка. Поиск возможной подруги он начал именно с неё:

- Привет, котеночек, – отозвалась Блондинка

- Ты где? – спросил хозяин гостиницы.

- Я здесь – вполне логично ответила Блондинка.

Хозяин гостиницы не стал выяснять, в какой галактике и на какой планете она находится, он спросил конкретно:

- Ты в какой гостинице остановилась?

- В твоей, – честно признался загадочный «друг хозяина гостиницы».

Выцарапать Блондинку с крутой тусовки оказалось делом не простым. Хозяину гостиницы пришлось срочно организовать банкет в честь Блондинки в собственном ресторане «Бесконечной гостиницы», только после этого вся тусовка, вместе с Блондинкой, согласилась ехать в гостиницу.

Хозяину гостиницы предстояло сделать то, что с самого начала обязан был сделать Математик – поселить Блондинку в один из бесконечного множества апартаментов «Для друзей хозяина гостиницы». Блондинка, из кокетства, немного повозмущалась тупостью и враньем сотрудника гостиницы, но блаженно притихла, когда хозяин гостиницы понес её в апартаменты на собственных руках. В этих апартаментах наши герои могли бы и остаться, но у хозяина гостиницы было еще одно срочное дело.

По бесконечному коридору с номерами «Для космозоологов», как того и следовало ожидать, очередной постоялец из номера под номером «эн» перебирался в номер под номером «эн плюс один». Извинившись за причиненные неудобства, хозяин гостиницы предложил постояльцу лично провести его в новый номер. Хозяин гостиницы не был математиком, поэтому не стал запускать принцип домино в обратном направлении, переселяя всех постояльцев обратно, он вежливо провел постояльца в номер под номером один. Великое переселение народов в бесконечной гостинице на этом благополучно завершилось.

Конечно же, вы правильно догадались, что после всей этой математической неразберихи Блондинка вышла замуж за хозяина гостиницы, жили они долго и счастливо и было у них много умных и красивых деток... Но это ещё не конец нашей истории.

После такого издевательства над собой, Блондинка серьезно занялась математикой. Она внимательно прочла газетную статью о научном открытии, и у неё возник естественный вопрос: почему всё так красиво и просто получилось у математиков, и так отвратительно выглядело в действительности? Мало-помалу она начала осваивать азы математики. А поскольку Блондинка была блондинкой, то освоить язык определений, которым пользовались математики, ей было не под силу. Поэтому она начала выбрасывать из математического языка всё лишнее.

Упростив язык математики до минимума, Блондинка, к своему великому изумлению, начала понимать математику. Для начала, она опубликовала «Легенду о Синусе и Косинусе», потом придумала определение натуральных и целых чисел, основанные на математике. Блондинке это очень понравилось. После этого она сгребла в одну кучу все формулы приведения и заменила их одним правилом прямого угла. Но это всё было не больше, чем баловство. Первая серьезная работа Блондинки называлась «О симметрии математических действий». Собственно, с этого началось восхождение Блондинки на научный Олимп.

Естественно, Блондинка не могла забыть ту историю, невольной участницей которой она стала. Вскоре она ответила на вопрос, в чем ошибка теории множеств: «Не надо ставить знак равенства между множеством чисел и всеми остальными множествами, если не хотите оставаться в дураках». Математики были в ужасе от Блондинки. Особенно после её фразы: «Вместо того, чтобы заниматься делом, они (то есть математики) играют в ими же когда-то придуманные игры».

Физики были от Блондинки в восторге. Она им показала, как выводится Уравнение Вселенной, по каким формулам Бог или Природа создали эту Вселенную, продемонстрировала ту математику, по которой всё во Вселенной работает. Именно при поддержке физиков Блондинка взобралась на самую вершину научной лестницы – она возглавила Высший Ученый Совет.

Очень многие Великие Ученые были против Блондинки, потому что она была не такой, как все. Они, когда-то молодые и талантливые, были перемолоты системой в научно-бюрократический фарш, поэтому поступали с остальными точно так же. Подковерная возня вокруг науки и научных званий полностью убивала в них ученых. Высокомерные и самодовольные бюрократы - вот во что превращались бывшие вундеркинды под конец своей научной карьеры. Исключения из правил были редкостью.

Совершенно естественно, что Блондинка сломала научную бюрократическую машину, так бережно создаваемую Великими Учеными на протяжении тысячелетий. А что с неё возьмешь? На то она и блондинка, что бы машины ломать. Вот теперь всё.

Великое научное открытие в бесконечной гостинице

Автор Николай Хижняк

Блондинка приехала в этот город по своим делам, поэтому визит к хозяину гостиницы она отложила на потом. Это обстоятельство спасло Математика от немедленного увольнения из гостиницы. Тем временем жизнь в гостинице стабилизировалась: блондинка занималась своими делами, космозоологи продолжали переселяться из номера в номер. А как иначе? Космозоологов и номеров в гостинице бесконечное множество, значит, и процесс переселения будет длиться бесконечно.

Через пару дней Математика осенила идея – он сделал великое научное открытие! Тем более, у него есть реальный пример из жизни. Он тут же, не дожидаясь обеденного перерыва, отнес заявку на открытие в Комитет по Научным Открытиям, который находился как раз через дорогу. Если открытие Математика признают, он получит звание Кандидат в Доктора Математических Наук и денежное содержание – можно будет не работать. Потом нужно будет ещё чего-нибудь открыть и получить звание Доктор Математических Наук, а там уже и до звания Великий Ученый – рукой подать…

К величайшему изумлению Математика, Комиссия по Научным Открытиям, состоящая исключительно из Великих Ученых, прибыла немедленно, как только получила заявку на открытие. Такая оперативность великих бюрократов объясняется очень просто. По Правилам Подачи Заявок обед для членов Комиссии оплачивает заявитель. В заявке обязательно указывается место работы заявителя – а это оказалась гостиница через дорогу, в которой есть очень хороший ресторан. А время как раз приближалось к обеду… Какой Великий Ученый откажется пожрать на халяву, да еще в хорошем ресторане? Именно по этому, впервые за всю историю существования, Комиссия прибыла на место в полном составе, в аккурат к обеду. Математику ещё очень повезло, что Великие Ученые, из которых состоит Комиссия, не привели с собой своих помощников и секретарш – все великие руководители думают, прежде всего, о себе, любимых, и не думают о своих подчиненных.

Сразу после застолья, Комиссия отправилась к месту открытия. Стоя перед дверью номера Блондинки с номером один, Математик произнес вступительную речь и коротко рассказал о своих действиях. Члены Комиссии толпились в коридоре, их толстые тела требовали тишины и покоя после сытного обеда, а тут какой-то выскочка морочит Великие головы своим открытием…

- Кто это там всё время ходит по коридору? – раздраженно спросил один из членов Комиссии, гладя на переселенческую суету космозоологов. Все головы Великих Ученых удивленно повернулись в сторону ворчуна, ведь говорить на обычном языке в их среде считалось дурным тоном.
- Не обращайте внимания, - не понимая почему, Математик почувствовал опасность, исходящую от процесса переселения. От греха подальше, он завел Комиссию в номер к Блондинке.

– Что это за стадо жирных баранов ко мне приперлось? – с возмущением спросила Блондинка.

Комиссия непонимающе уставилась на Блондинку, потом перевела свой взгляд на Математика, требуя пояснений. Великие Ученые из уважаемой Комиссии настолько привыкли говорить между собой на языке определений, что они уже с трудом понимали обычную человеческую речь. Недолго думая, Математик перевел слова Блондинки на язык математиков:

– Она приветствует конечное множество Великих Ученых… – далее Математик говорил уже на чисто научном языке.

Блондинка смотрела на присутствующих, как на инопланетян, для которых гид-землянин проводит экскурсию по её убогому гостиничному номеру.

- … Перед тем, как вы сюда вселились, этот номер был занят?

Блондинка не сразу поняла, что обращаются именно к ней. Её носик, до этого любопытно вытянутый, возмущенно вздернулся:

- Да! При мне из этого номера выгнали какого-то мужика и всунули меня! Что за дела?! До этого я всегда жила в апартаментах «Для друзей хозяина гостиницы», а сейчас меня засунули в эту вонючую дыру, в которой до меня жил непонятно кто и в которой даже помыться нормально нельзя!

- В апартаментах «Для друзей хозяина гостиницы» таджики делают ремонт, - не моргнув глазом, соврал Математик.

«Так вот куда её нужно было поселить!» - пронеслась мысль в его голове. Но менять что-либо было уже поздно. Услышав сочетание слов «таджики» и «ремонт», Блондинка погрустнела и обиженно отвернулась к окну, как будто у неё только что отняли любимую мечту.

Из всей пламенной речи Блондинки Великие Ученые поняли только два слова: «да» и «апартаменты», чего было вполне достаточно для подтверждения факта научного открытия. Высокое положение в научно-бюрократической иерархии позволяло им поставить знак равенства между словами «гостиница» и «апартаменты» и выбросить одно из них за ненадобностью.

На этом официальный не дружественный визит в номер под номером один завершился. После этого последовали допросы свидетелей научного открытия из номера два, три и так далее. На номере четыре Комиссия решила остановиться и признать факт научного открытия. Действительно, не могут же столь занятые руководители до бесконечности шататься по чужим номерам, тем более, что ни в одном из номеров их так и не угостили. Покидая коридор с номерами «для космозоологов» Комиссия вновь услышала всё тот же раздраженный голос:

- Нет, ну всё-таки, кто там всё время ходит по коридору?!

- Мало ли, кто там ходит. На то он и коридор, что бы по нему ходили – буркнул в ответ Математик. Комиссия равнодушно пропустила реплику мимо ушей.

Факт великого научного открытия в «Бесконечной гостинице» был подтвержден Комиссией по Научным открытиям. Ученая степень Кандидата в Доктора Математических Наук была присвоена Математику в тот же день, а вечером состоялась грандиозная попойка всё в том же ресторане, с участием всё тех же лиц плюс конечное множество лиц новых, всё так же за счет Математика.

Но математики никогда и никому не рассказывают о том, чем же завершилась эта история. А закончилось всё решением математических проблем в бесконечной гостинице.

Великое переселение народов в бесконечной гостинице

Автор Николай Хижняк

По мотивам примера к теории бесконечных множеств.

Жил-был однажды Математик, который считал, что он очень хорошо разбирается в математике. На самом же деле он ничего толком в математике не понимал, из-за чего у него были вечные проблемы с работой. Когда Математика в очередной раз выперли с работы, он пошел по центральной улице города в поисках другой работы. Совершенно случайно на глаза ему попались два работника, которые над дверями гостиницы цепляли транспарант «Приветствуем участников Межгалактического съезда космозоологов!». Взглянув на название «Бесконечная гостиница», Математик остановился. Кто лучше математика может разобраться с бесконечностью? Никто. Математик уверенно вошел в дверь гостиницы.

Свободных рабочих мест в гостинице не оказалось, но Математику предложили место ученика менеджера, поскольку он очень живо описал свои выдающиеся математические способности и достижения на предыдущих местах работы. О том, что Математик просто врет, в гостинице не догадывались.

Первое задание было очень простым – расселить участников съезда космозоологов по номерам. Единственной проблемой было то, что во всех вселенных существовало бесконечное число галактик и на съезд приехало бесконечное количество космозоологов. Но ведь и гостиница была бесконечной. Поэтому Математик легко расселил бесконечное число космозоологв в бесконечное количество номеров.

- Так, участников съезда я расселил. Теперь все номера в гостинице заняты. Значит, мне можно отдыхать, - рассудил Математик и отправился в поисках таблички «Свободных мест нет!».

В холле гостиницы Математик увидел нежное очарование с сумочкой в руках, беспомощно озирающееся по сторонам в поиске сотрудников гостиницы. Математик немедленно направился к новой постоялице.

- Здравствуйте, меня зовут Блондинка. Я друг хозяина гостиницы. Прикажите доставить мой багаж в номер, - произнесло нежное очарование прежде, чем Математик успел открыть рот.

- Извините, но у нас нет свободных мест. Вам придется поискать другую гостиницу, – холодно ответил Математик.

- Это же «Бесконечная гостиница»? – удивленно спросила Блондинка, на что Математик утвердительно кивнул, - Владелец этой гостиницы является моим другом. Я всегда останавливаюсь здесь и в другую гостиницу я не пойду. Будьте так любезны, пригласите сюда вашего хозяина, - обиженный носик взметнулся вверх и чуть в сторону. Голубые газа продолжали следить за реакцией Математика.

Такого поворота событий Математик никак не ожидал. Весь его предыдущий опыт говорил о том, что когда дело доходит до хозяина, с работы выгоняют. Поэтому данную ситуацию нужно разруливать немедленно. Расположения номеров в гостинице Математик не знал. Бегать сейчас по всей действительно бесконечной гостинице в поисках свободных номеров? Это сколько же времени понадобится? Гениальное решение пришло само собой.

- Ну, зачем же по таким пустякам беспокоить вашего друга? Давайте я сейчас провожу вас в номер, ваши вещи принесут позже, - Математик нежно взял Блондинку под локоток и повел из холла вглубь гостиницы от скандала подальше.

Перед дверью комнаты номер один они остановились. Математик попросил Блондинку подождать в коридоре, а сам шмыгнул в дверь номера.

- Я дико перед вами извиняюсь, но у нас произошло маленькое недоразумение, - обратился Математик к постояльцу номера номер один, - Вы бы не могли прямо сейчас переселиться в соседний номер под номером два?

Космозоолог, который проживал в этом номере, удивленно пожал плечами и начал собирать свои вещи. За всю жизнь он впервые столкнулся с такой странной просьбой. Но если служащий гостиницы просит – значит так надо.

- Да, попросите постояльца из номера два переселиться в номер под номером три. И пусть все остальные постояльцы номеров переселятся в номер, следующий по счету – уточнил свою инструкцию по великому переселению народов Математик.

Через минуту дверь комнаты номер один отворилась, из неё вышел космозоолог с вещами в руках и направился по коридору в сторону номера под номером два. Тут же в дверях возник Математик и предложил Блондинке войти в номер под номером один.

Что же было дальше? А дальше было великое научное открытие в бесконечной гостинице.