понедельник, 3 июня 2024 г.

Площадь трапеции и деление на ноль

Трапеция


На своем англоязычном сайте я однажды уже рассматривал формулу диагоналей трапеции. При переходе от трапеции к прямоугольнику у меня получилось неопределенное выражение – ноль, деленный на ноль под знаком квадратного корня.

Сейчас я предлагаю рассмотреть другую формулу. В 7-м веке индийский математик Бхаскара I вывел формулу для определения площади трапеции с последовательными сторонами a, b, c, d:

Формула площади трапеции. Площадь трапеции и деление на ноль. Математика для блондинок.
Формула площади трапеции

Сведения об авторе этой формулы я взял из англоязычной страницы Википедии. Там и раньше была более интересная математика, а уж сегодня... Сегодня вся россия под руководством путина занята тем, что повторяет "подвиг" гитлеровской Германии и им не до математики.

Прямоугольник


Если к этой формуле применить условия, описывающие прямоугольник, можно получить очень интересный результат деления нуля на ноль:

Формулы преобразования трапеции в прямоугольник. Площадь трапеции и деление на ноль. Ноль, деленный на ноль, равен нулю.  Математика для блондинок.
Формулы преобразования трапеции в прямоугольник

Ноль, деленный на ноль, равен нулю. Я категорически против такого результата. Однажды я применял подобный фокус в другой формуле и у меня получилось, что ноль, деленный на ноль, равен единице. С таким результатом я согласен. Но. Никогда никому не верь, даже себе, ты тоже можешь ошибаться. Тут у меня возникла следующая идея.

Результат деления нуля на ноль зависит от математического действия, при котором оно возникает. При умножении результат равен единице, при сложении результат равен нулю.

На будущее нужно будет это запомнить и ничему не удивляться.

Параллелограмм


Вернемся к нашей формуле площади трапеции. Я вспомнил ещё одну геометрическую фигуру, у которой параллельные стороны равны – это параллелограмм.

Параллелограмм и его площадь. Площадь трапеции и деление на ноль. Математика для блондинок.
Параллелограмм и его площадь

В этой формуле присутствует синус угла между основанием параллелограмма и его боковой стороной. После преобразования формулы для площади трапеции этот сомножитель вообще отсутствует.

Формула площади параллелограмма легко преобразуется в площадь прямоугольника. Синус угла 90 градусов равен 1. Третий сомножитель в формуле площади параллелограмма исчезает, мы получаем формулу площади прямоугольника.

Деление на ноль


Такой явный баг в формуле площади трапеции говорит о том, что рассматривать результат деления нуля на ноль как правильный категорически не рекомендуется. Формула площади трапеции может применяться только для трапеции и за границами трапеции она не применима. Такая себе «русская математика» только «для внутреннего потребления» трапециями.

После некоторых размышлений, я нашел и второй вариант, подтверждающий мою догадку о результате деления нуля на ноль. Формулу площади трапеции мы преобразовали в формулу площади прямоугольника. После этого формулу площади прямоугольника мы можем без труда преобразовать в формулу площади параллелограмма. Вот как это делается.

Преобразование площади прямоугольника в площадь параллелограмма. Площадь трапеции и деление на ноль. Математика для блондинок.
Преобразование площади прямоугольника в площадь параллелограмма

Вот теперь всё стало на свои места. Снимаю шляпу перед индийским математиком, который учит нас правильно понимать деление на ноль.

Не стесняйтесь проверять математику на прочность. Вы найдете для себя очень много интересного. Математика из сложной науки превратится для вас в обычный инструмент познания.

В заключение могу повторить вывод из предыдущей статьи: хитрые уловки математиков могут привести к ложным результатам. Для примера посмотрите мою статью «Перестановка слагаемых в бесконечных суммах».

Больше интересных математичесих идей на странице "Моя математика"

четверг, 14 марта 2024 г.

Числовые спирали и простые числа

Числовые спирали и простые числа

Начало: Числовые спирали введение

Все простые числа вида Р находятся в начале числовых лучей на всех числовых спиралях, за исключением простого числа а, расположенного на главной оси а-спирали. Взаимное расположение простых чисел будет меняться в зависимости от числа а, которое лежит в основе построения спирали. Расположение простых чисел на разных числовых спиралях показано на рисунках ниже.

Простые числа на 2-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 2-спирали

Простые числа на 3-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 3-спирали

Простые числа на 4-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 4-спирали

Простые числа на 5-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 5-спирали

Составные числа находятся на лучах спиралей, построенных на числах, являющихся делителями этих чисел. На остальных спиралях они расположены в начале числовых лучей. Например, число 6 находится на продолжении 3-луча 2-спирали и является результатом умножения числа 3 на число 2. Это же число 6 находится на продолжении 2-луча 3-спирали и является результатом умножения числа 2 на число 3.

Рассмотрение числовых спиралей будет продолжено в последующих публикациях.

Числовые спирали и системы счисления

Числовые спирали и системы счисления

Начало: Числовые спирали введение

Числа на числовых спиралях могут быть представлены в разных системах счисления. Для примера рассмотрим числа на главной оси некоторых спиралей в разных системах счисления. Таблица 1 показывает числа на главной оси 2-спирали в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Главная ось 2-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Главная ось 2-спирали

В таблице 2 представлены числа на главной оси 10-спирали в тех же системах счисления.

Главная ось 10-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Главная ось 10-спирали

Аналогично, в таблице 3 представлены числа на главной оси 16-спирали.

Главная ось 16-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк.Математика для блондинок.
Главная ось 16-спирали

Как видно из таблиц выше, каждая а-спираль в системе счисления с основанием а будет состоять из отдельных витков с числами, имеющими одинаковое количество разрядов в позиционной системе счисления. Каждый следующий виток числовой спирали для числа а в системе счисления с основанием а добавляет один разряд в позиционной системе записи чисел. Каждый n-виток состоит из чисел, записываемых при помощи n+1 количества разрядов.

Если ввести правило, что единичные дуги на одном витке должны быть одинаковой длины, тогда числовая спираль превратится в набор концентрических окружностей. Каждая окружность будет содержать числа с одинаковым количеством разрядов. Введение подобного правила нарушает визуальную непрерывность натуральных чисел.

Таким образом, каждая а-спираль является графическим отображением натуральных чисел в системе счисления с основанием а, которая записана в выбранной нами системе счисления. По умолчанию мы применяем десятичную систему счисления.

Продолжение: Числовые спирали и простые числа.

Анализ числовых спиралей

Анализ числовых спиралей

Начало: Числовые спирали введение

Движение вдоль витков любой а-спирали является таблицей сложения с последовательным добавлением одной единицы к предыдущему числу, начиная с единицы. Движение вдоль лучей любой а-спирали является таблицей умножения с последовательным умножением числа, расположенного в начале луча, на число а. Эти два движения перпендикулярны, что свидетельствует о принципиальном различии сложения и умножения.

Если провести ось симметрии через главную ось любой а-спирали, тогда симметричные числа на витках образуют суммы разложения. Для любого a.n-витка эта сумма разложения равна an+an+1. Для примера суммы разложения показаны на 4.1-витке. Количество таких сумм, учитывая сумму чисел an и an+1 на главной оси, равно mn/2.

Суммы разложения. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Суммы разложения

Данное свойство числовых спиралей позволяет вычислить сумму натуральных чисел, расположенных на одном а.n-витке. Для этого необходимо сумму разложения умножить на количество таких сумм, используя формулу (1), добавить число, расположенное на оси симметрии, которое равно половине суммы разложения и вычесть число an+1, которое относится к следующему витку:

Сумма чисел на витке. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Сумма чисел на витке

Формула (3) позволяет вывести уже давно известную формулу для определения суммы всех натуральных чисел от единицы до любого числа а. Для этого необходимо определить сумму чисел на нулевом витке а-спирали и добавить само число а:
Сумма натуральных чисел. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Сумма натуральных чисел

Если построить числовую спираль для бесконечно большого числа (∞-спираль), начало этой спирали будет отличаться от числового луча только отсутствием нуля. Нулевой виток будет состоять из бесконечно большого количества единичных дуг, каждая единичная дуга будет ограничена лучами с бесконечно малым значением угла. Кривизна витка станет проявляться в районе очень больших чисел от начала спирали.

Продолжение: Числовые спирали и системы счисления.

Описание числовых спиралей

Описание числовых спиралей

Начало: Числовые спирали введение

2-спираль


2-спираль. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
2-спираль

На 2-спирали главная ось образуется последовательными степенями числа 2. Все нечетные числа располагаются в начале числовых N-лучей, все четные числа расположены на N-лучах спирали.

На 2.0-витке находится одна единичная дуга размером 360°, в начале этого витка находится число 1. Это единственная числовая спираль, у которой на нулевом витке нет других чисел, кроме единицы. Количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (2).

2.1-виток разбивается на две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – 2 и 3. Здесь и на остальных витках количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (1).

Вычисления для 2-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Вычисления для 2-спирали

2.2-виток образуют четыре единичные дуги размером 90°, на котором располагаются числа 4, 5, 6, 7. Число 6 расположено на продолжении 3-луча.

2.3-виток образуют 8 единичных дуг размером 45°. На этом витке распложены числа с 8 по 15 включительно. Числа 10, 12 и 14 расположены на продолжении 5-луча, 3-луча и 7-луча соответственно.

Дальнейшее расположение натуральных чисел на 2-спирали можно проследить на рисунке выше.

3-спираль


3-спираль. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
3-спираль

Главную ось 3-спирали образуют последовательные степени числа 3. На 3.0-витке находится две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – это 1 и 2. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (2).

3.1-виток разбивается на шесть единичных дуг размером 60°, на нем располагаются числа 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (1). Число 6 находится на продолжении 2-луча и является результатом умножения числа 2 на число 3.

Вычисления для 3-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Вычисления для 3-спирали

3.2-виток образуют восемнадцать единичных дуг размером 20°, на нем располагаются числа с 9 по 26.

4-спираль


4-спираль. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
4-спираль

Главную ось 4-спирали образуют последовательные степени числа 4. На 4.0-витке находится три единичные дуги размером 120° и на нем расположено три числа – 1, 2 и 3.

4.1-виток разбивается на двенадцать единичных дуг размером 30°.

Вычисления для 4-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Вычисления для 4-спирали

4.2-виток разбивается на сорок восемь единичных дуг размером 7,5°.

Каждый виток 4-спирали содержит в себе два сжатых витка 2-спирали. Сжатие происходит неравномерно и задается структурой нулевого витка 4-спирали. Нулевой и четные витки 2-спирали сжимаются до 1/3 витка 4-спирали, первый и нечетные витки – до 2/3. Такое неравномерное сжатие обеспечивает равенство единичных угловых сегментов всех витков в структуре 4-спирали.

Подобное неравномерное сжатие происходит и на остальных спиралях, построенных на числах, равных степени числа а, больше первой степени. Так, для 8-спирали (а=23), каждый виток которой содержит три витка 2-спирали, пропорции равны: 1/7, 2/7, 4/7.

5-спираль


5-спираль. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
5-спираль

Главную ось 5-спирали образуют последовательные степени числа 5. На 5.0-витке находится четыре единичные дуги размером 90° и на нем расположено четыре числа – 1, 2, 3 и 4.

5.1-виток разбивается на двадцать единичных дуг размером 18°.

Вычисления для 5-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Вычисления для 5-спирали

5.2-виток разбивается на сто единичных дуг размером 3,6°.

Подобным образом можно построить числовую спираль для любого натурального числа.

Продолжение: Анализ числовых спиралей.

Числовые спирали

Числовые спирали

Начало: Числовые спирали введение

Если для визуального отображения натуральных чисел использовать произвольную спираль и единицы измерения углов, тогда все числа можно упорядочить по следующим правилам:

1. На главной оси а-спирали располагаются числа вида an в порядке возрастания, где а>1, n≥0.

2. Главная ось совпадает с нулевым лучом единиц измерения углов и имеет следующий вид:

Главная ось числовой спирали. Числовые спирали. Математика для блондинок.
Главная ось числовой спирали

3. Главная ось делит спираль на отдельные витки размером в 360°, которые целесообразно нумеровать по показателю степени числа а, расположенного в начале каждого витка. Например, а.0-виток, а.1-виток, а.n-виток. Расстояние между витками спирали произвольное.

4. Каждый виток а-спирали разбивается лучами на равное количество единичных угловых секторов, которые делят виток на единичные дуги. Каждая единичная дуга имеет произвольную длину и соответствует одной числовой единице. Единичные дуги разделяют два соседних натуральных числа, которые располагаются на пересечениях лучей и витков спирали.

5. Количество единичных секторов и количество натуральных чисел mn для каждого а.n-витка определяется по формуле (1).

6. Для нулевых витков всех а-спиралей количество единичных секторов и натуральных чисел определяется по формуле (2).

Формулы числовых спиралей. Количество единичных секторов на витках числовых спиралей. Математика для блондинок.
Формулы числовых спиралей

7. Каждая единичная дуга из витка mn на следующем витке mn+1 делится на а единичных дуг новыми лучами.

8. В начале каждого луча (N-луч), на пересечении с витком, расположено натуральное число N вида Pa, простое по отношению к числу а.

9. На продолжении N-лучей, в точках пересечения с последующими витками, располагаются натуральные числа, кратные числу а, образующему главную ось а-спирали.

Продолжение: Описание числовых спиралей.

Числовые спирали введение

Числовые спирали

Аннотация

Числовые спирали – это представление натуральных чисел на спирали в единицах измерения углов. Соблюдение определенных правил размещения чисел позволяет получить бесконечную спиральную таблицу умножения для любого натурального числа а>1. Внешний вид и структура конкретной а-спирали будут одинаковыми для любых единиц измерения углов в любых системах счисления натуральных чисел.

Введение

Визуальное изображение натуральных чисел известно давно и имеет вид числового луча.

Числовой луч. Числовые спирали. Математика для блондинок.
Числовой луч

Для визуализации чисел на числовом луче используются единицы измерения длины. Числовой луч начинается с нуля, поскольку иначе невозможно изобразить единичный отрезок как единицу измерения. Расстояния между числами одинаковые и равны единичному отрезку.

В 1963 году Станислав Улам предложил изображение натуральных чисел в виде спирали. Сегодня это визуальное представление натуральных чисел известно как скатерть (или спираль) Улама.

Скатерть Улама. Числовые спирали. Математика для блондинок.
Скатерть Улама

Двумерная плоскость разбита на квадраты одинакового размера. В центре спирали находится единица, вокруг неё в каждый квадрат вписывается одно натуральное число по спирали. Данная спираль построена без применения каких-либо единиц измерения, ноль отсутствует.

В 1994 году Роберт Сакс расположил натуральные числа по Архимедовой спирали и получил спираль, известную сегодня как спираль Сакса (в Википедии описана в разделе "Вариации скатерти Улама").

Спираль Сакса. Числовые спирали. Математика для блондинок.
Спираль Сакса

Для построения спирали Сакс использовал единицы измерения углов для поворота и единицы измерения длины для определения расстояния от центра спирали до каждого натурального числа. В центре спирали расположен ноль единиц измерения длины, на нулевом луче единиц измерения углов Сакс расположил квадраты натуральных чисел.

Продолжение: Числовые спирали.

пятница, 1 марта 2024 г.

1 в степени 0

Раньше я никогда не обращал внимания на странное равенство – 1 в степени 0 равно 1 в степени 1. Любое число в степени 0 равно единице. Любое число в первой степени равно такому же числу. Если число равно единице, получается интересное равенство.

1 в степени 0. 1 в степени 1. Математика для блондинок.
1 в степени 0

В процессе изучения теории чисел я дошёл до того места, где общепринятый вариант возведения единицы в нулевую степень нарушает логику определённых правил. Логически правильный результат получается, если единица в нулевой степени равна нулю.

1 в степени 0, 1 в степени 1. Альтернативное решение. Математика для блондинок.
1 в степени 0, 1 в степени 1

Введение одного условия в общие правила привело к изменению многих очевидных утверждений, которые без этого условия не вызывали бы никаких сомнений. Почему я так жестоко поступаю с математикой? Ради результата, когда это является логическим завершением области распространения общих правил. Чем глубже я погружаюсь в неизведанное, тем больше нового и интересного нахожу. В такой ситуации очень сложно закончить работу над чем-то, что еще вчера казалось простым и понятным.

Я очень плохо знаю математику, которая мне не интересна. Знаете ли вы разделы математики, в которых единица в нулевой степени равна нулю?

суббота, 13 января 2024 г.

Простое число Х

Простое число X. Простое число Илона Маска. Математика для блондинок.
Простое число X

Илон Маск опубликовал на своей странице в сети "X" опубликовал простое число Х. Это простое число Илона Маска состоит из 1800 цифр. Вы сами в этом можете убедиться, если не забыли таблицу умножения. Количество строк и столбцов (в десятках) обозначено синим цветом на рисунке выше.

Пользователи Reddit затеяли увлекательную дискуссию по поводу этого простого числа. Мне понравились эти комментарии, перевод которых я привожу ниже:

Осторожно: в конце десятого ряда есть хитрая цифра 7.

Совершенно очевидно, что кто-то попробовал несколько настроек, пока не нашел конфигурацию, которая действительно дает простое число. Но да, цифра 7 является наиболее заметной и, конечно же, последним внесенным изменением - по сути, это тот момент, когда автор отказался от более красивого решения :)


Насколько я понимаю, есть специальная программа для рисования цифрами всякого рода бяк в огромных числах. Наверное, есть другая программа для проверки чисел на простоту, типа числа-лузеры, которые даже делителей нормальных не имеют, не говоря про остальное. Вот представьте, вы нарисовали циферками такой гламурненький рисунок в числе. Решили его проверить на простоту, а у этого числа, оказывается, не только куча делителей, а ещё и свой Инстаграм, и кругленький счет в заграничном банке, и целое море других прибамбасов. Как-то так.

Но вернемся к нашему простому числу X. Сейчас я уберу с рисунка все циферки 1 и посмотрим, что осталось.

Простое число X без 1. Простое число Илона Маска. Математика для блондинок.
Простое число X без 1

Как видите, количество восьмерок в линиях не соответствует идеальному шаблону. Ладно верхняя и нижняя части перекладины буквы "Х", где восьмерок в одном ряду 11, в другом 12. Будем считать, что "художник так видит". Но то 5, то 4 восьмерки в разных рядах... Не камильфо. А еще эта цифра 7. Да, даже Илон Маск бессилен против математики.

Меня интересует такой вопрос: сколько денег заплатил Илон Маск математику за эту работу? Лично я не пожалел бы самой большой суммы. Что может быть больше СУММЫ ВСЕХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛ? Ничего. Кому я должен -$1/12? Кстати, почему эту сумму можно использовать в физике, но нельзя использовать для оплаты труда математиков? Вы только представьте, платите математикам самую большую из всех возможных сумм и все проблемы с повышением зарплаты навсегда решены. Вот где волшебная сила математики зарыта. Кстати, это решение российской госдуре очень даже понравится, дарю.

понедельник, 1 января 2024 г.

Почему 13?

Нет, сегодня я не буду вам рассказывать, почему число 13 считается несчастливым. Все числа одинаковы. Это мы сами считаем некоторые числа счастливыми или несчастливыми, положительными или отрицательными. Сегодня речь пойдет о сумме двух чисел на циферблате часов. Почему сложение двух цифр на циферблате часов равно 13? Мы видим на циферблате шесть пар таких чисел. Объяснение очень простое.

Почему 13? Сумма чисел на циферблате часов. Математика для блондинок.
Почему 13?

Если мы прибавим 1 к одному слагаемому и вычтем 1 из другого слагаемого, сумма останется неизменной. Такой фокус можно повторять много раз и результат сложения не изменится. Это свойство сложения (или свойство чисел?) можно наблюдать не только на циферблате часов, но и на числовой оси.
Сумма на числовой оси. Одинаковые суммы чисел на числовой оси. Математика для блондинок.
Сумма на числовой оси

В качестве исходной суммы на числовой прямой можно взять два соседних числа (верхняя картинка) или два числа, расположенных рядом с выбранным нами числом (нижняя картинка). Такие суммы я назвал «суммы разложения». На подобном свойстве чисел можно придумать много разных математических фокусов, типа "загадайте любое число...", а дальше пляски шаманов с бубнами вокруг загаданного числа. Цель - пусть человек сам скажет достаточно информации для отгадывания задуманного числа. Надеюсь, делить на 2 в уме многие научились.