Преобразование по иксам

Математическая пародия

Она сидела за компом вся в расстроенных чувствах. Вконтакте ей уже надоело, в Одноклассниках скучно... Да ещё эта дура патлатая на форуме ей нагрубила...

Взгляд блуждал по комнате... Монитор, глаза бы её его не видели... Стена... Книжная полка... Переплет когда-то любимой книжки... Порывисто встав, она взяла в руки символ своей прошлой жизни, той, в которой книжек было больше, чем Интернета. Из книжки выпала импровизированная закладка - маленький кусочек писчей бумаги...

Ой! А что это за обрывок бумажки у меня тут валяется? Кусочек математики... Хм... Сколько же он уже здесь лежит? Икс с двоечкой в бантике плюс три икса и плюс четверочка...

Математическое выражение

И что с этим нужно сделать? Нужно решить уравнение. Нееет... В уравнении должен быть "Твикс" - две палочки "равно"... И ещё что-то... А здесь больше ничего нет. Можно это упростить. А где скобки? А нету скобок. Как же без скобок можно упрощать?

Неужели я стала такой дурой, что даже в этой простой задачке разобраться не смогу? Я хорошо знаю математику. В институте я себе одни пятерки по математике покупала...

Вот, правильно. Нужно это как-то преобразовать. А сделать нужно... А сделать нужно... Нужно сделать преобразование по иксам. Берем листик чистой бумаги.... Смотрим, что у нас имеется. А имеется ерунда какая-то. Почему у нас четверка без икса? А потому, что мы его не видим. А когда мы не видим икс? Когда он прячется. И куда же наш икс может спрятаться? А спрятаться он может за единичку.

Умножение на единицу

А что такое у нас единичка? А это икс в нулевой степени.

Икс в нулевой степени

Что такое икс без бантика? Это икс в первой степени.

Икс в первой степени

А куда подевалась наша циферка перед первым иксом с квадратным бантиком? Ни-ку-да она не девалась, мы её обычно не пишем. Чтобы всё было правильно, нужно эту циферку записать.

Полная запись выражения

Теперь мы можем сложить все циферки сбоку от икса и циферки в бантиках. Вверху циферки можно складывать, я знаю. Вот если все циферки собрать и сложить в одну кучку - тогда будет неправильно. Складывать нужно отдельно, нас так учили. Я помню. Сейчас мы их сложим...

Преобразование по иксам

Теперь нужно записать ответ.

Результат преобразования по иксам

Я просто супер! Всё помню. Ага, проверку сделать забыла. Пусть наш икс равняется единице... Прямо как в сказке: "По щучьему ведению, по моему хотению..." превратись-ка ты икс в единичку. Прикольно... Единичка в любой степени равна единичке... Она пофигистка, как Светка... Подставляем и считаем.

Проверка при икс равно единице

Готово. Всё чудненько сходится. Видела бы Ирка, что я умею - умерла бы от зависти. А наша школьная математичка Ирина Павловна говорила, что я ничего не знаю... Я всё знаю и всё умею. Я крутая!

Блин, далась мне эта Ирина Павловна! Она бы сказала, что моя проверка плохая. "На единичку любой дурак умножать умеет!" - слава Богу, она это сказала не мне. Единица ей бы точно не понравилась. Ладно, я возьму двойку. Пересчитываем...

Проверка при икс равно два

Упс... Это что за прикол? Я же всё сделала правильно! А почему ответ не сходится? С единичкой сходится, а с двоечкой - ни-фи-га... Я что-то забыла. Забыла дописать... Во второй проверке чего-то не хватает. В первой хватает, во второй - не хватает. И сколько у нас не хватает? Шестьдесят четыре... Отнимаем четырнадцать... Блин, где калькулятор? Ага... Не хватает пятьдесят! И где их взять, эти пятьдесят?

"Вороне Бог послал кусочек сыра..." А что Он нам послал? А нам Он послал пятьдесят. Он всегда посылает ровно столько, сколько нужно. Вот когда для единички не нужно, Он ничего не посылает. А для двоечки... Вау! Я забыла дописать "плюс константа"! Константа - это то, что Бог посылает математикам, когда им чего-то не хватает. А как у нас обозначается константа? А обозначается она у нас буковкой "С". Исправляем ответ...

Полное преобразование по иксам

Просто супер! Вот теперь это полное преобразование по иксам. Короче, полный пипец. Как хорошо, что мне не нужно больше зубрить эту долбаную математику...

В этот момент где-то в недрах квартиры зазвонил мобильник. Она скомкала два листика бумаги, отнесла их в мусорное ведро и, громко сказав "Да иду я уже! Иду!", не спеша отправилась на поиски своего мобильного телефона.

P.S. Новорожденной идее о преобразованиях по переменной не суждено было стать ещё одним разделом в учебниках по высшей математике. Эта идея отправилась туда, где ей и надлежит быть - в мусор. Девушка и не подозревала, что с любимой игрушкой математиков, переменной, она поступила точно так же, как математики поступают с окружающей действительностью - оторвала числа от содержания и выстроила свою собственную математическую теорию.

Загадка вавилонской таблички

Как хорошо быть дилетантом и ничего не знать. На мир смотришь совершенно иными глазами. Вот из такого моего незнания появилась загадка вавилонской таблички. Лишний раз пришлось убедиться, что когда имеешь дело с математикой, результат может получиться самым неожиданным.

И так, в Википедии я наткнулся на одну интересную картинку, где изображена древняя вавилонская глиняная табличка с изображением квадрата и клинописью. Надпись под табличкой уверяет нас, что здесь приводится значение корня из двух, вычисленное древними вавилонянами почти четыре тысячи лет назад. Вот эта картинка.

Вавилонская табличка корень из двух

Найдена эта табличка была давно и математики провели её исследование. Вот официальная версия, которую я раскопал на просторах Интернета буквально только что. По диагонали представлено значение корня из двух в шестидесятеричной системе счисления. Напоминаю, что составлена она была почти четыре тысячи лет назад. Точность для того времени потрясающая - пять знаков после запятой! Здесь уместно напомнить, что популярные в двадцатом веке нашей эры таблицы Брадиса имели только четыре знака после запятой.

Дальше идет предположение наших математиков, что на табличке изображены три числа. Поскольку нуля и запятой после целой части числа у древних вавилонян не было, то первое число можно трактовать двояко: и как целое число 30, и как дробь 30/60=0,5. Математики предположи, что вавилонская табличка показывает пример вычисления диагонали квадрата со стороной, равной 30. То есть, 30 умножается на корень из двух и получается результат - третье число. Берем в руки калькулятор и проверяем.

Вычисление диагонали квадрата со стороной 30

В принципе, всё логично и вычисления древними математиками выполнены правильно. Но ведь я этого не знал. Я видел только значение квадратного корня из двух и у меня возник естественный вопрос: что означают два других числа?

Предположив, что 42 25 35 - это дробь без целой части, я взял в руки калькулятор и произвел вычисления. Результат показался мне до боли знакомым. Это число пи, деленное на 4? Очень грубое сравнение. Что ещё? Диагональ квадрата связана не только с корнем квадратным, но и с тригонометрическими функциями угла в 45 градусов. Набираю на калькуляторе пи/4, нажимаю кнопочку синуса и... Увиденное меня мня слегка шокировало - синус и косинус угла в 45 градусов представлен с точностью до шести знаков после запятой!

Вавилонская табличка синус и косинус

Вау! Тригонометрические функции в два раза старше, чем принято считать. Два - ноль в пользу древних математиков! Как быть с числом 30? Если это дробь, то читать её следует как 0,5. Я знаю другой класс тригонометрических функций, значение которых для угла 45 градусов равняется 0,5. Получается, что древние математики знали больше нас? Другим классом тригонометрических функций мы пользуемся и сегодня, причем очень широко, но... Мы их называем по-другому, у нас они имеют другие числовые значения и с углами мы их никак не связываем. Оба класса тригонометрических функций можно использовать при решении двух похожих математических задач, которые мы еще не решаем. Или уже не решаем?

Кстати, математика древнего мира мне нравится гораздо больше современной. Я так полагаю, что наших математиков в древнем Вавилоне даже на порог школы не пустили бы. Ответ звучал бы приблизительно так: "Стройте собственные храмы и там проповедуйте свою веру в Определения, Множества и Функции".

И вот, после всех этих размышлений я ознакомился с официальной версией расшифровки вавилонской таблички. Это что - случайное совпадение? Лично я не верю в случайные совпадения. Но и с математикой не поспоришь - оба решения верны.

Какие недостатки у версии с умножением? Почему в качестве первого сомножителя выступает именно число 30, а не любое другое, например, 2? Почему квадратный корень из двух в шестидесятеричной системе счисления представлен с точностью до трех знаков после запятой, а результат вычисления имеет только два знака после запятой? Не хватило места для третьего знака? Не верю.

Какие достоинства у версии с тригонометрическими функциями? Два числа представлены с одинаковой точностью - три знака после запятой. Древняя вавилонская табличка является не примером умножения, а математическим справочником по свойствам квадрата.

Для того, чтобы разгадать загадку вавилонской таблички, нужно проанализировать и другие математические таблички того же периода.

P.S. 04.08.19г. Я не буду настаивать на том, что в древнем Вавилоне были известны понятия синуса и косинуса угла. Значения синуса и косинуса угла в 45 градусов совпадают с числом, равным единице, деленной на корень из двух. Обратные числа били известны в древнем Вавилоне и широко применялись. И так, скорее всего, на табличке, являющейся одним из элементов древнего математического справочника, указаны такие математические сведения для квадрата со стороной, равной единице:

1. Число - корень из двух (длина диагонали).

2. Обратное число - единица, деленная на корень из двух.

3. Число одна вторая (число "30" в шестидесятиричной системе счисления).

Поскольку в древнем Вавилоне вряд ли знали проценты, можно предположить, что третье число на табличке является линейной угловой функцией угла в 45 градусов. Геометрически, линейные угловые функции являются пропорциями деления полупериметра прямоугольника в зависимости от значения угла между его стороной и диагональю.

Были ли известны линейные угловые функции древним вавилонянам? Этот вопрос требует специального изучения, поскольку этот вид тригонометрических функций неизвестен современным математикам. А изучать то, чего не знаешь, очень даже проблематично.

Лично я очень хотел бы посмотреть на подобную справочную табличку древних вавилонян для прямоугольника с углами в 30 и 60 градусов или с другими значениями углов.

Простое построение углов

Тут мне в комментариях задали интересный вопрос. Простое построение углов - как это сделать? Вот сам вопрос.

Вопрос о построении углов

И так, вопрос сводится к следующему - в декартовой системе координат, если брать одинаковый икс и игрек, получим прямую под углом в 45 градусов к осям координат. А как построить углы другой величины? Можно, конечно, заняться гаданием на кофейной гуще и попробовать высчитать, сколько нужно откладывать по иксам, сколько по игрекам, чтобы получился другой удобочитаемый угол. Не 156пи/911, а что-то типа 1, 5, 10, 15 градусов.

Угол в тридцать градусов получается, когда по оси игрек мы возьмем половинку, а расстояние от центра системы координат до точки будет равно единице. При помощи циркуля и линейки такое построить можно, но...

Построение угла в 30 градусов

Для подобного построения необходимо: построить декартову систему координат, нарисовать круг, по оси игрек разделить радиус пополам, через полученную точку провести линию, параллельную заданной... Фокус в том, что о декартовой системе координат древние люди не имели ни малейшего понятия. И ведь тысячелетиями как-то жили, и углы строили.

И так, четвертое-пятое тысячелетие до нашей эры, древняя Месопотамия... Тогда зародилось то, чем мы пользуемся и сегодня. Астрономия, письменность, математика, углы... Какими инструментами тогда пользовались для построения углов? Линейка, циркуль...Возможно, были тогда и угольники, хотя это не принципиально - для построения прямого угла достаточно циркуля и линейки.

Теперь попробуем строить углы при помощи циркуля и линейки без всяких координатных систем. Проводим прямую линию, строим окружность с центром на построенной линии. Ставим циркуль в точки пересечения линии и окружности и строим две окружности того же радиуса. Соединяем линиями центр первой окружности точки пересечения окружностей. У нас получились углы в 60 градусов.

Построение угла в 60 градусов

Почему возле углов я поставил циферки 1, 2, 3, 4, 5, 6? Я считаю, что именно такую единицу измерения углов использовали наши предки. Назовем эту единицу измерения углов "вавилонский угол". Дальше один угол делится на 60 градусов. Почему именно на 60? В те времена, в тех местах, использовалась шестидесятеричная система счисления. Вы такой системой счисления никогда не пользовались и понятия о ней не имеете? Ошибаетесь. Когда вы выражаете время в минутах и секундах, вы используете именно шестидесятеричное счисление. "Подожди пять минут" в переводе на десятичные дроби, если за единицу брать один час, будет звучать как "Подожди 0,083333333... часа". Дико звучит, не правда ли?

Давайте посмотрим на структуру вавилонских шестидесятеричных чисел. Единицу целого числа вавилоняне делили на шестьдесят частей. Потом каждую эту часть делили ещё на шестьдесят частей и так дальше. У шестидесятых долей были свои названия: минута, секунда, терция...

Минута, секунда, терция

Вот теперь я включаю логику и начинаю рассуждать. Если минута - это малая часть, значит могла быть и большая часть или просто часть. Градус как нельзя лучше подходит на роль части вавилонского угла. Тогда первый шестидесятеричный знак после запятой будет называться градус и только второй - минута. Хотя, я могу и ошибаться. Вполне возможно, что градус играет роль целого числа, а придуманный мною "вавилонский угол" - ни что иное, как аналог наших десятков. Но суть не в этом.

Я просто хотел обратить ваше внимание на то, что 360 градусов окружности приблизительно равны 365 дням в году (если отбросить градусы и дни, а тупо сравнивать только числа, как это любят делать наши математики). Почему я сравниваю окружность с днями в году? За сутки Солнце смещается по эклиптике приблизительно на один градус. С другой стороны, вавилонский угол в 60 градусов приблизительно равен одному радиану. Ведь 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57° 17′ 44,806″ При этом, у вавилонского угла есть точное числовое значение, а вот радиан точного числового значения не имеет - он построен на бесконечности числа "пи". Один - ноль в пользу древних математиков. Что бы там не утверждали наши математики, но принимать в качестве единицы измерения бесконечное число - это не совсем разумно. Думаю, физики меня поймут - создать точный измерительный прибор для измерения неточной величины даже теоретически невозможно.

Но продолжим наши построения углов. Через центр первой окружности проводим перпендикуляр, затем строим ещё две окружности с центрами в точках пересечения перпендикуляра и первой окружности.

Построение углов 30 градусов

Получился угол в 30 градусов. Как видите, построение очень простое, даже циркуль с переменным радиусом не нужен. Достаточно отрезать кусок разветвления ветки вместо циркуля и всё прекрасно получится. В этой первозданной простоте родились наши современные часы.

Вавилонские углы и циферблат часов

Как видно из рисунка, один час времени равняется тридцати градусам угла. Одна минута времени равна шести градусам угла. В минуте шесть градусов, в окружности шесть углов - что-то в этом есть. Вот только часов на окружности циферблата 12, что не очень вписывается в логику шестидесятеричной системы счисления. У наших математиков везде тупо было бы шестьдесят. В году двенадцать знаков зодиака, в сутках 24 часа. Где-то должна быть очень веская логика именно такого построения временной шкалы. Я не занимался изучением этого вопроса, древние вавилоняне меня и без него шокировали. Но об этом в следующей статье.

Особо стоит отметить, что в древности использовались солнечные часы. Было два варианта солнечных часов - напольные и настенные. Так вот, стрелки этих двух типов часов (тень на циферблате) двигались в противоположных направлениях - по часовой стрелке у напольных и против часовой стрелки у настенных. Можно предположить, что такого понятия, как "вращение по часовой стрелке" у древних математиков не существовало. А в том, что древние люди были очень умными, мы можем убедиться, рассмотрев загадку вавилонской таблички.

Америка

Ученые говорят, что к полному вымиранию динозавров привело падение на Землю астероида размером в 10 километров. Для полного вымирания человечества достаточно одного идиота.

Если вы в этом сомневаетесь, давайте посмотрим на одно недавнее событие сквозь призму математики. Дело в том, что пользоваться математикой нас никто никогда не учил, за исключением решения тех задач, которые перед нами ставят. При анализе событий я использую такие математические штучки, как симметрия, равенство, подобие... Настоятельно не рекомендую применять подобные трюки при общении с окружающими.

Лицам с больным самомнением и слабонервным читать категорически запрещено!

1 октября 2013 года американская государственная система оказалась в состоянии комы. Американский конгресс не принял бюджет. Около 800 000 (восьмисот тысяч) государственных служащих отправлены в отпуск без содержания. И это произошло в стране, претендующей на роль мирового лидера.

Я люблю сравнивать людей с дрессированными обезьянами. Вынужден извинится перед ними - некоторые обезьяны могут посчитать такое сравнение оскорбительным для себя. Ситуация в американской государственной системе гораздо больше напоминает мне поведение тараканов на кухне при включении света. Клац - и никого нет. Вот здесь и начинают появляться очень интересные вопросы, которые обычно задавать не принято.

Почему не принят бюджет США? Что бы там кто не говорил, но суть сводится к тому, что американские конгрессмены не смогли решить вопрос, кто будет воровать из государственного бюджета. Бюджет любого государства - это кормушка для саранчи. Сколько бы денег не выделялось, государственная саранча сожрет всё и заявит, что им мало. Дефицит государственного бюджета - это ситуация, когда аппетиты государственной саранчи превышают возможности налогоплательщиков.

Почему государственные служащие США прекратили работу? Таково законодательство в "самой демократической стране". Очень часто законопослушание сводится к абсурду: одни дураки законы пишут, другие дураки их выполняют. Это преступникам можно не соблюдать законы, законопослушного бунтаря против законодательного идиотизма могут раздавить, как таракана.

Кто ответит за подрыв мировой экономики (напоминаю, США - это лидер на мировом рынке)? Никто. Ведь юридически никакого преступления нет. А давайте сравним последствия законодательного абсурда 1 октября 2013 года с последствиями террористического акта 11 сентября 2001 года.

Атака террористов и атака конгрессменов

В результате атаки террористов погибло около 3 000 человек. В результате междоусобицы конгрессменов никто не погиб. Пока не погиб.

Террористы разрушили здания Всемирного Торгового Центра, повредили здание Пентагона, уничтожили самолеты и так далее. К каким разрушениям приведет отсутствие государственных служащих на своих рабочих местах в государственных учреждениях?

После атаки террористов Министерство обороны США, НАСА, государственные учреждения продолжали свою работу. После атаки конгрессменов прекратили свою работу многие государственные учреждения США. НАСА практически исчезла, даже сайт закрыт. Два американских астронавта оказались в положении дураков, которых забросили на орбиту, а вот вернут ли на землю, это ещё вопрос.

Сайт НАСА не работает

Сколько вертолетов с военными направит президент США в здание Капитолия для "торжества правосудия"? Убить иностранца в собственной спальне без разрешения его правительства - это у американского президента называется правосудием. Я не защищаю террористов. Я просто хочу обратить особое внимание на тот факт, что по отношению к террористам правительство США не соблюдало законы так же, как их не соблюдали террористы по отношению к гражданам США. Как говорится, за что боролись, на то и напоролись. А по отношению к другим преступникам применять подобный принцип - слабо? Возникает весьма интересный вопрос: убить убийцу - это преступление или наказание? Понятно, что все преступники будут требовать соблюдения законов. Но почему законы должны соблюдать только мы, потенциальные жертвы, а не они, преступники?

Корректно или не корректно подобное сравнение - решайте сами. Мы все очень не любим, когда нам в глаза говорят правду.

Можно ли избежать подобной бюджетной ситуации в будущем? Элементарно. Достаточно применить самые простые математические действия. Например, деление.

Пусть все государственные служащие продолжают свою работу, а вот финансирование их работы осуществлять из их собственного кармана конгрессменов. Необходимую сумму делим на всех членов конгресса поровну. Чем дольше они будут копошиться с бюджетом, тем больше денег выложить им придется. Примут ли конгрессмены подобный закон? Никогда в жизни. Ведь это мы дураки, а себя они считают умными.

Можно принимать бюджет по отдельным статьям. Те статьи бюджета, которые уже приняты, принимают силу закона. Вне зависимости от принятия оставшихся статей. Пусть саранча там чего-то и не поделила, но на работе государственного аппарата это никак не отражается.

Можно автоматически считать принятым бюджет прошлого года. Пусть потом законодатели корректируют отдельные статьи, если не смогли вовремя договориться по бюджету текущего года.

Можно в бюджете выделить ряд статей, которые гарантируют бесперебойное функционирование государственных органов, и которые не требуют ежегодного принятия. Они могут только ежегодно корректироваться.

Я не эксперт в законодательстве разных стран, но эти рецепты помогут любой стране избежать американского бюджетного маразма.

В завершение самый интересный вопрос: американские налогоплательщики с 1 октября 2013 года так же дружно не платят налоги, как государственные служащие не выходят на работу? Если продолжают платить, тогда я вообще ничего не понимаю в этом дурдоме по имени "Соединенные Штаты Америки". Кстати, лично я очень сомневаюсь, что в моей стране законодательная ситуация лучше американской.

Математика для взрослых

Если вас не интересует кухня современной науки, дальше можете не читать. Если вам интересно, как решаются некоторые современные задачи - кое-что могу показать. Предупреждаю, это будет математика для взрослых. Дети могут читать в ознакомительных целях, пусть взрослым будет стыдно.

В решении предыдущей задачи есть два момента, которые совсем не бросаются в глаза, но на которые я хотел бы обратить особое внимание.

Момент первый. Я решил не ту задачу, которую меня просили решить, а ту, решение которой я знаю. Свое "бла-бла-бла" на тему "Почему делать нужно именно так, а не иначе" я написал в самом начале, перед решением. Теперь у меня возникает вполне резонный вопрос: сколько задач в современной науке решены именно таким образом? То есть, когда под одну задачу подсовывается решение совершенно другой задачи. Если учесть, что в современной математике вообще никто ничего не понимает, даже сами математики, то такое положение дел лично мне представляется вполне вероятным.

Почему математики ничего не понимают в математике? Да потому, что по определению они оперируют абстрактными понятиями, которых понимать не обязаны. При решении реальных задач абстрактные математические понятия за уши натягиваются на конкретные условия и правильность подобного натягивания никто, кроме математиков, проверить не в состоянии.

Возникает ситуация, которой позавидует любой карточный шулер. За карточным столом любой игрок может быть заподозрен в мошенничестве. Математики - это каста неприкасаемых, в правильности их суждений никто не смеет сомневаться. Либо ты тупо повторяешь то, чему тебя учат математики, либо ты дурак, который ничего не понимает в математике.

В качестве иллюстрации откровенного мошенничества математиков я не стану подвергать допросу с пристрастием одного из их. Я предлагаю открыть одну из страниц Википедии и внимательно прочесть, что там написано. За язык никто никого не тянул.

Умножение

Очень интересная логика у нас. Того, кто занимается подменой за карточным столом, мы называем шулером и считаем преступником. Того, кто занимается подменой вместо поиска математических закономерностей, мы называем математиком и считаем ученым.

А что такое "общепринятое признание"? По сути, это то, что нам внушают математики со школьной скамьи. Если ваше мнение не будет совпадать с "общепринятым", документ об образовании вам никто не даст. Современное образование - это обычная дрессировка обезьян, а не обучение разумных существ.

Как выглядит подмена одного условия задачи другим применительно к дрессированным обезьянам? Обезьяна слышит команду, которой её не обучали. Нормальная обезьяна на такую команду не отреагирует. А жадная? Она выполнит команду, наиболее созвучную прозвучавшей, в надежде получить вознаграждение. Человек - это не только жадная, но и очень хитрая обезьяна. За вознаграждение такая обезьяна не только подмену совершит, но и убить может. Всё зависит от размера вознаграждения.

Второй момент. При проверке решенной задачи я применил одно из свойств треугольника. А теперь давайте проделаем то, что так любят делать математики - в условии задачи вместо одного числа тупо запишем другое. Пусть периметр четырехугольника равен не 23, а 21 дециметр.

После решения задачи с таким условием проверка покажет, что один из треугольников превращается в набор из трех отрезков, которые в принципе не могут образовать треугольник. Сумма двух сторон треугольника равна 7 дециметров, что меньше длины третьей стороны, равной 8 дециметров. Простое изменение числа в условии задачи превращает четырехугольник в рогатый треугольник.

Я понимаю, что сейчас мне математики начнут рассказывать об области определения и области значений... В данном случае я с ними полностью согласен - мы можем проверить результат и пощупать его руками.

А если проверить невозможно? Математики тупо засовывают под знак квадратного корня отрицательное число и утверждают, что в результате получается комплексное число. А где доказательство? Определение? В определении можно написать всё, что угодно. Потом это определение вдалбливается в головы до уровня "общепринятого признания" и "интуитивного понимания" и  уже никакие доказательства никому не нужны.

Лично я не сомневаюсь, что комплексные числа - это такие же рогатые числа, как и рогатый треугольник. Почему при помощи комплексных чисел можно решать определенные задачи? Если знаешь условие задачи и необходимый результат, то подогнать решение большого труда не составит. Тем более, что у математиков всегда есть такое мощное оружие массового оболванивания, как "определение".

Диагональ четырехугольника и периметры треугольников

В комментариях появилось вот такое сообщение:

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Р треугольника = 23 дм. Найти длину диагонали АС, если Р треугольника АВС = 15 дм, Р треугольника АДС = 22 дм

Странная задача, мягко говоря. Откуда у треугольника может взяться диагональ? У треугольника много всякой ерунды есть (типа высота, медиана, биссектриса...), но про диагональ треугольника я не слышал.

В подобных случаях я обычно перечитываю задачу второй, третий, четвертый раз. Если это не помогает понять смысл, я начинаю перечитывать всё по буквам, как учили в детском садике. В данном случае мне это не помогло. Но если автор вопроса внимательно, по буковкам, перечитает условие задачи, то я уверен, что "периметр треугольника" в самом начале здачи волшебным образом превратится в "периметр четырехугольника". Да, у четырехугольника есть диагональ, даже две. Вот теперь задача звучит совсем по другому:

Периметр четырехугольника АВСД равен 23 дециметра. Нужно найти длину диагонали АС, если известно, что периметр треугольника АВС равен 15 дециметров, а периметр треугольника АДС равен 22 дециметра.

Для решения задачи рисуем четырехугольник с одной диагональю. Длины сторон этого четырехугольника обозначаем a, b, c, d, длину диагонали обозначаем буковкой f. Красненькой губной помадой (ведь сегодня губная помада может быть практически любого цвета) обводим два треугольника. Под картинкой записываем формулу периметра четырехугольника и формулы периметров двух треугольников.

Периметр четырехугольника и периметры треугольников

Какое чудное произведение математического искусства получилось! Почти Дали с Малевичем в одном флаконе. От Сальвадора Дали здесь название картины: "Страшный сон ученика, приснившийся ему прямо на уроке, за секунду до пробуждения учителем". От Малевича имеем содержание: черное, только в губной помаде, на белом фоне.

Искусство - это прекрасно, но вернемся к нашим баранам. В данном случае - периметрам. То, что в формулах периметров стоит слева от знаков равенства, нам дано по условию задачи. А вот то, что нам нужно найти, спрятано в расшифровках радиограмм вражеских лазутчиков. Кстати, неужели шпионы до сих пор пользуются радиопередатчиками? Уже давно есть Интернет для скачивания ворованных файлов!

Соображаем дальше. В формулах слишком много букв. Нужно как-то от них избавиться. Длины сторон четырехугольника нас искать никто не заставляет. Какой способ избавления от мусора придумали математики? Вычитание! Если от мусора отнять мусор, то и выносить уже будет нечего. Настоятельно не рекомендую повторять это в домашних условиях!

Если сложить вместе два периметра треугольников и вычесть из них периметр четырехугольника, то все длины сторон исчезнут, как по волшебству. Останется одинокая диагональ, но в два раза раздувшаяся от обиды. Если мы её разделим пополам, то найдем именно то, что нам нужно. Теперь мы можем легко вывести формулу для решения нашей задачи.

Решение задачи

Ой, что-то у меня дробные черточки какие-то неполноценные получились. Во всяком случае, на экране моего компа они выглядят именно так. По ходу, это шпионы через Интернет украли кусочки дробных черточек для анализа ДНК. Ну и пусть. Дробные черточки во всех странах одинаковые. Как мне кажется...

Так, задачу мы героически решили и получили диагональ длиной 7 дециметров. Теперь бы проверку выполнить. Мало ли что нам шпионы подсунули. Арифметику проверяем на калькуляторе. А смысл ответа? Есть одна фишка. Ещё в древности, без всяких шпионов, математики установили, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. И ни один самодур за всю историю человечества это правило отменить не смог. Это в грамматике можно чудить всё, что угодно, а с настоящей математикой не поспоришь.

Если от периметра треугольника отнять длину диагонали, то у нас останется сумма двух сторон треугольника. Вот эта сумма должна быть больше длины самой диагонали. Для обеих треугольников. Проверяем:

15 - 7 = 8 что больше 7

22 - 7 = 15 что больше 7

Судя по всему, задача решена правильно. Можно запускать шпионов, пусть учат своих бездарных правителей задачи решать. А иначе зачем чужие секреты воровать? Только если сам ни на что не способен.

Частное разности и маразм в математике

Обещаю матом не ругаться, потому что это могут прочитать дети. Пусть и они знают, кем могут быть взрослые дядьки и тетки. Ведь им ещё жить среди них.

Вот задача из комментариев про частное разности. Не хотел её разбирать, но уж очень она типична для явления, которое принято называть словом "образование".

Частное разности

Невольно вспомнился фильм "Обыкновенное чудо" и гениальная фраза короля из этого фильма: "Плаху, палача и рюмку водки. Водку - мне, остальное - ему". Кому ему? Автору этой "задачи". Впервые в жизни пожалел, что я не король. Ведь сколько добра можно сделать для своего народа всего одним взмахом топора, если вовремя отсечь дурную голову!

Я не кровожадный. Но просто отрубить голову идиоту, у которого полностью отсутствуют мозги, - мало. Нужно в здании министерства образования собрать все тупые бюрократические функции, которые утвердили это "учебное пособие по математике", загрузить туда все эти "учебники по математике" вместе с автором и сжечь. Для государства и общества это будет самый полезный поступок.

Что в нашем обществе убийством не считается? Убийство животных, рыб, насекомых, бактерий... А ведь всё то живое, что я предлагаю сжечь, не что иное, как микробы, пожирающие мозги наших детей. У микробов нет мозгов, у распространителей подобного бреда - тоже. Так что и преступления никакого нет. Если ваш ребенок-вундеркинд превратился в тупую бюрократическую функцию с высшим образованием, произошло это только потому, что обучался он по таким вот "учебникам".

Сегодня наше человеческое общество представляет из себя рабочих, офисный планктон и разного роба микробы, управляющие ими. Одни микробы питаются деньгами (бизнесмены и всё прочее), другие - властью (бюрократы), третьи - чужими мозгами (так называемые "ученые").

Но вернемся к задаче.

Из чисел, 306047 267300 составь выражения:
1) частное разности наибольшего и наименьшего нечетных чисел на разность однозначных нечетных чисел
2)сумма частных наибольшего и наименьшего четных шестизначных чисел на наибольшее четное однозначное число
3) произведение суммы всех нечетных четырехзначных чисел на частное наибольшего четного однозначного числа на наименьшее четное
4) натуральное число разность наибольшего четного шестизначного числа и произведения суммы нечетных пятизначных чисел на наименьшее число

К математике этот мозговыворачивательный ребус никакого отношения не имеет. К высшей математике, где всё развитие, в основном, идет по пути обобщения идиотизма и расширения маразма, - вполне возможно. Как задачу сформулировать на нормальном человеческом языке? Сейчас попробую.

Из цифр, входящих в числа 306047 и 267300, необходимо составить выражения:
1) разность наибольшего и наименьшего нечетных чисел разделить на разность однозначных нечетных чисел

У нормального здравомыслящего человека тут же возникает вопрос: в одном примере нужно использовать цифры из одного числа или из разных чисел? Задача составлена по принципу "Догадайся, мол, сама". Во истину, чужой маразм - потемки. Из первого набора цифр конструируем наибольшее нечетное число - это число 764003, наименьшее - 003467. Из второго набора цифр получаем 762003 и 002367. Лично у меня возникает очередной чисто бюрократический вопрос: конструкция типа 003467 числом считается или нет? Если нет, то тогда наименьшее число будет 300467.

Теперь включаем тупую бюрократическую логику. Как говорил кот Матроскин: "По квитанции корова рыжая - одна? Вот и сдавать мы будем одну". По условию задачи нам нужно составить четыре типа выражений. Если в одном выражении использовать цифры из одного числа, то таких выражений наберется аж восемь. Четыре выражения можно получить из разных наборов цифр. Хотя, здесь всё зависит от уровня маразма учителей. Маразм составителя задачи, умноженный на маразм учителей... Мама моя дорогая! Это что же получается?! Бедные дети...

Читаем дальше: ... разность однозначных нечетных чисел. В каждом наборе цифр по два нечетных однозначных числа, но эти числа одинаковые - 3 и 7. Какие числа брать для разности? Разные. Ведь одинаковые числа дадут ноль, а на ноль делить математики не разрешает. Надеюсь, даже такому дебилу, как автор задачи, это удалось вдолбить.

Вот теперь мы можем записать выражение. Из первого набора цифр берем наибольшее нечетное число, со второго набора - наименьшее (нули в начале числа писать не принято) и делим это на разность чисел 7 и 3:

(764003-2367):(7-3)

Переходим ко второму заданию и переписываем его в удобоваримом виде:

2 ) наибольшее и наименьшее четные шестизначные числа разделить на наибольшее четное однозначное число и записать их сумму

Здесь по поводу наименьшего числа уже четко сказано, что оно должно быть шестизначным. Значит, вариант с нулями в начале числа не проходит. Наибольшие четные однозначные числа в обеих наборах цифр одинаковы и равны 6.

(764300:6)+(200376:6)

Следующим переписываем третье задание:

3) наибольшее четное однозначное число разделить на наименьшее четное и умножить на сумму всех нечетных четырехзначных чисел

Здесь проблема в сумме. Для суммы использовать оба набора цифр или только один? Из первого набора можно составить такие нечетные четырехзначные числа: 7643, 7463, 4763, 4673, 7603, 4003... Бред!!! Тупо перебирать все возможные варианты? Нормальному математику такое даже в голову прийти не может. Тем более по отношению к детям. Как может поступить полный идиот в таком случае? Он может тупо зачеркнуть две цифры в шестизначном числе и получить четырехзначное число. Вычеркивание отдельных цифр тоже дает слишком много вариантов. По этому увеличиваем уровень идиотизма составителя задачи и считаем, что вычеркивать можно только две цифры в начале или в конце числа. В этом случае для получения четырехзначного нечетного числа в первом наборе цифр нужно зачеркнуть две первых цифры, во втором - две последних. Теперь можно записать выражение:

6:2*(6047+2673)

Знаю, что это задание я выполнил неправильно. Но пусть мне лучше двойку по математике поставят, чем я буду тратить свое время на чужой маразм. А вы решайте сами, что вам дороже: оценка в дневнике или мозги вашего ребенка? К сожалению, даже здесь возможны варианты...

4) записать разность между наибольшим четным шестизначным числом и наименьшим, умноженным на сумму нечетных пятизначных чисел, результат должен быть натуральным числом

Натуральное число можно получить, если от большего числа отнимать меньшее. Даже одно пятизначное число, умноженное на шестизначное, всегда будет больше любого шестизначного числа. Значит, из результата умножения нужно вычитать шестизначное число. С этим разобрались. А вот что делать с суммой пятизначных чисел? Я буду тупо зачеркивать одну цифру в первом числе, ведь тупое вычеркивание цифры второго числа дает четное число. Наибольшее четное шестизначное число можно получить из первого набора, наименьшее - из второго.

(36047+30047+30647+30607)*200376-764300

Наверняка и это сделано неправильно, но мои мозги уже полностью отключились.

А теперь самый интересный вопрос: почему подобные задачи применяются в обучении наших детей? Да потому, что тупым бюрократическим функциям гораздо проще управлять безмозглыми дрессированными обезьянами, чем умными людьми. Ведь умный человек может любого дурака назвать дураком, а вот хорошо выдрессированная обезьяна сперва посмотрит, какую должность этот дурак занимает.

Теорема Пифагора

Вчерашний день нужно запомнить. Вчера, мимоходом, прямо на колене, в течении каких-то пятнадцати минут я добил теорему Пифагора. Теперь я знаю, как выглядит теорема Пифагора в общем виде. Честно говоря, я пребываю в легком шоке. Результат, как всегда, оказался самым неожиданным. Еще раз убеждаюсь, что в математике ничего нельзя предугадать и нашей логике математика не подвластна. Надеюсь, потомки меня простят, но я вынужден возложить букетик цветов на могилку "более элементарных" представлений не только о теореме Пифагора, но и о математике в целом.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора известна человечеству уже более четырех тысяч лет, на сей день по научным трактатам блуждает 367 доказательств этой теоремы (если верить Википедии). Но за всё это время никто так и не сумел понять смысл того, что мы обычно называем теоремой Пифагора.

Если сравнивать в общем виде теорему косинусов и теорему Пифагора, то это два совершенно разных математических закона, действующих в пространстве с любым количеством измерений. Как две прямые на плоскости пересекаются в одной точке, так теорема Пифагора пересекается с теоремой косинусов в прямоугольном треугольнике двухмерного пространства.

Математическую запись теоремы Пифагора в общем виде для многомерного пространства я пока приводить не буду. Даже меня она пугает. Максимум, на что меня хватило - это трехмерное пространство. Уже здесь пришлось вводить новое понятие для математических действий. Тем не менее, мои долгие поиски закончились и теперь можно серьезно поговорить о математике.

P.S. 31.03.23г. Никогда никому не верь, даже себе - ты тоже можешь ошибаться. Прошло без малого десять лет и я совершенно не помню, чего такого я тогда "на коленке" наваял. Помню, хотел всё красиво оформить, в строгом соотвествии с математическими правилами, и упс. Какая-то маленькая деталь (а дьявол кроется в деталях) не дала мне завешить начатое. Кстати, нужно будет порыться в своих архивных записях и посмотреть на этот набросок "на коленке".

Математика и совершенство

Автор Николай Хижняк

За что я люблю математику? За её симметрию и могущество. К чему это я? У меня невольно возник вопрос: математика и совершенство - как это выглядит? Вот в комментариях к странице об объеме прямоугольного параллелепипеда попросили решить такую задачу: диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 7, 8 и 9 сантиметров. Нужно найти объем и полную поверхность той штучки. Задачу эту я не решил - мне не интересно.

Для решения я предложил составить систему трех уравнений с тремя неизвестными и найти длины ребер. По-началу меня увлекло и я написал решение системы. Но в значениях длин диагоналей появились числа под знаком квадратного корня. А мне это не понравилось. Я даже начал ругаться, что составили задачи являются олухами,которые даже красивую задачу составить не умеют. Вот если бы они задали длины диагоналей граней равными корням квадратным из 52, 65 и 85 сантиметров, тогда мне решать эту задачу было бы гораздо приятнее. Я бы получил ребра длиной в 4, 6 и 7 сантиметров, то есть целые числа.

Но потом до меня начало доходить. А при чем здесь математики? За что их ругать? Если мы задаем диагонали граней красивыми целыми числами, тогда длина ребер получается не красив - числа под знаком квадратного корня. Если мы длину ребер прямоугольного параллелепипеда зададим целыми числами, то диагонали граней будут представлять из себя числа под знаком радикала (насколько я помню, знак радикала и квадратный корень - это одно и то же произведение дизайнерского искусства). Получается математическая симметрия - целыми числами можно выразить либо то, либо другое. И все математики мира здесь бессильны. Как бы сильно мы не хотели втюхать свои собственные представления о красоте, у математики свои законы.

Естественно, у меня не мог не возникнуть вопрос: существует ли такой прямоугольный параллелепипед, у которого длины всех ребер и всех диагоналей выражаются целыми числами? Я думаю, что такого совершенства не существует.

Я не Альфред Нобель и учреждать премию своего имени за решение этой задачи не собираюсь. Я не Пьер Ферма и доказательство отсутствия таких целых чисел меня не интересует. Я просто любопытная обезьяна, которой будет интересно посмотреть на набор из семи целых чисел: три длины ребер, три длины диагоналей граней и одна длина диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для решения задачи можно применять любые системы счисления: двоичную, троичную, десятеричную... Я не жадный:)))

Мне кажется, что уже сам по себе прямоугольный параллелепипед является совершенством с точки зрения математики. Тогда куб - это идеальное совершенство.

Для куба решение сводится к поиску всего трех чисел, а не семи, как у прямоугольного параллелепипеда. Если длина ребра куба равна единице, тогда диагональ грани равняется корню квадратному из 2, длина диагонали куба - корню квадратному из 3. Для ребра длиной 2 получаем 2 корня из двух и 2 корня из трех. Для ребра размером с тройку имеем 3 корня из двух и 3 корня из трех.

Как видите, квадрат (в кубе любая грань является квадратом) и куб жестко увязаны тем, что математики называют иррациональностью. С прямоугольником другая история. Существуют такие наборы целых чисел, которые могут являться значениями длин двух сторон и диагонали прямоугольника. Они называются "пифагорова тройка". Числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку. А как насчет "пифагоровой семерки"? Ведь прямоугольный параллелепипед - это владения теоремы Пифагора.

И последний, чисто математический, вопрос: можно ли создать такую систему счисления, в которой "пифагорова семерка" будет представлять из себя целые числа?

Специально для математиков поясню, что под применяемым мною термином "целые числа" следует понимать ортодоксальные натуральные числа. Ведь отрицательной длины не бывает.

Формула и уравнение

Вместо того,чтобы заниматься математикой, мне в голову всякая ерунда лезет. Например, самый детский вопрос: "Чем формула отличается от уравнения?" Я почти никогда не читаю определения, придуманные математиками. При чтении их у меня всегда возникает впечатление, что кто-то один из нас - полный идиот. По умолчанию подразумевается, что полным идиотом являюсь я. То, что придумало ЭТО, считает себя умным. Почитайте Википедию и решайте сами, прав я или нет.

Формула и уравнение

Скоро уже умирать пора, а я до сих пор не знал, что всю свою жизнь я занимаюсь, стыдно признаться, геометрической коннотацией. Кстати, а вы в детстве этим занимались? В смысле, в детстве вы каракули рисовали? Я до сих пор чертежи рисую. Теперь вопрос очень умным людям от полного идиота: чем геометрическое представление формулы отличается от её геометрической коннотации? Обычно за "умными" словами прячется дремучее невежество.

Так что такое формула и уравнение, если попытаться объяснить это простыми человеческими словами, без всяких "бинарных отношений"? Формулой обычно называют выражение, у которого неизвестен результат. Для получения результата в формулу нужно подставить значения и выполнить вычисления. Какие значения и куда именно подставлять - это должны решать мы сами. Для этого нас и в школе учат. Формулами могут записываться и определенные зависимости. Формулы сокращенного умножения - пример таких зависимостей.

В качестве примера формулы можно привести формулу для определения площади прямоугольника:

S = a * b

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Если мы подставим в эту формулу значение длины и ширины прямоугольника, то тогда мы сможем вычислить его площадь.

В формулах обычно используются начальные буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, ..., заглавные, прописные) и числа.

Уравнением обычно называют формулу, у которой известен результат, но неизвестно одно или несколько значений. Что значит "решить уравнение"? Это значит, что нужно найти те значения, при которых формула дает необходимый результат. Значения, при которых получается нужный результат, называют корнями уравнения. "Решить уравнение" и "найти корни уравнения" - это одно и тоже действие по решению уравнения, только выраженное разными словами, чтобы нас запутать.

В уравнениях обычно используют числа (это известные значения формулы, результат вычислений) и последние буквы латинского алфавита (x, y, z). Для примера мы составим уравнение на основе формулы площади прямоугольника:

4 * х = 12

Задача к этому уравнению может звучать так: "Длина прямоугольника составляет 4 сантиметра, его площадь равняется 12 сантиметров в квадрате. Найдите ширину этого прямоугольника." Решая уравнение, мы получим:

х = 3

Корнем уравнения является число 3, а ответ на задачу звучит так: ширина прямоугольника равна 3 сантиметра.

В уравнениях вместо чисел могут использоваться и буквы. Для нашей формулы площади прямоугольника это можно записать так:

a * x = S

В этом случае решение уравнения будет выглядеть следующим образом:

х = S : a

А вот формула для нахождения ширины по длине и площади прямоугольника выглядит несколько иначе:

b = S : a

В уравнениях за иксами, игреками и зетами может прятаться что угодно, в формулах за буквами обычно скрываются конкретные физические величины, что позволяет решать конкретные практические задачи.

Если кратко: формулы помогают нам найти результат математического выражения, уравнения позволяют восстановить математическое выражение по известному результату. Формула - это одна из форм передачи знаний. Уравнение - это одна из форм развлечений.

Из всего учебного курса школьной и высшей математики на практике, в повседневной жизни, чаще всего используются только формулы. Зачем нужны формулы? Обычно формулы являются краткой записью решения типовых задач. Все научные справочники содержат минимум теоретических выкладок и большое количество самых разных формул. Если вы никогда не пользуетесь какими-то формулами, это совсем не значит, что они не нужны другим людям.

Зачем нужны уравнения? Очень интересный вопрос. Предлагаю несколько вариантов ответов:

1. Чтобы математики могли над нами издеваться.
2. Чтобы математикам скучно не было.
3. Чтобы математики могли считать себя умнее других.
4. Чтобы решать задачи.
5. А фиг его знает.

Можете выбрать наиболее понравившийся вам ответ или предложить свой собственный. Что касается меня, то лично я пока принципиальной разницы между формулами и уравнениями не вижу. Хотя, нет. Одну принципиальную разницу можно назвать. Использование формул предполагает наличие хоть какого-то ума. Для использования уравнений это не обязательно. Присутствие буквы "икс" в математическом выражении - это как команда "Бобик, фас!" Увидев эту самую букву "икс" мы должны либо найти значение икса, либо засунуть в уравнение какую-нибудь бяку, если считаем икс переменной. Фривольное толкование значений переменной икс позволяет получать самые разные результаты. Используя подобные результаты, можно легко состряпать научную диссертацию на тему: "Влияние целочисленных значений мнимой части комплексных чисел на математическую коннотацию распределения благодати по душам умерших в III четверти Царства Небесного". При чем здесь III четверть? Спросите у любого математика, можно ли представить Царство Небесное без декартовой системы координат? Ответ очевиден - нет. После того, как диссертация будет оформлена в полном соответствии со всеми бюрократическими правилами, люди, понимающие значение хотя бы части применяемых терминов и выражений, будут решать, допускать соискателя ученой степени к своей кормушке или нет.

Коль мы уж заговорили о формулах, то нельзя обойти стороной самую главную формулу - формулу счастья. Вот её мы с математической стороны и рассмотрим.

Объем комнаты и площадь пола

Вот такая вот интересная задачка:

Объем комнаты 75 метров кубических, высота комнаты 3 метра. Найдите площадь пола.

Решение задачи тупо:

75 : 3 = 25 (метров квадратных)

Если объем комнаты разделить на её высоту, то получится площадь пола. Если в вашей задаче написано "объем комнаты 75 метров квадратных...", то значит эту задачу составляло туловище, которое ни фига не понимает в единицах измерения объемов. Объем не может измеряться в метрах квадратных, нормальные люди в них измеряют площадь.

А теперь бла-бла-бла на заданную тему.

Ничего сложного в этой задаче нет, просто вместо обычного прямоугольного параллелепипеда здесь нам рассказывают о комнате. В переводе на язык математики и применительно к параллелепипеду эта задача будет звучать так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 75 кубических метров, его высота равна 3 метра. Найдите площадь основания этого прямоугольного параллелепипеда.

В чём маленький подвох, который многих может сбить с толку? Дело в том, что комнату мы привыкли видеть изнутри.

Высота комнаты и площадь пола

Эта комната изображена на стадии ремонта. После ремонта можете обставить её мебелью по своему вкусу. Кстати, большинство людей вспоминают про геометрию именно после начала ремонта - площади, периметры, объемы... Так вот, математики нам показывают прямоугольные параллелепипеды всегда снаружи.

Прямоугольный параллелепипед

Если в математике мы привыкли видеть любой объем снаружи, то попадая внутрь реального объема очень легко растеряться.

Теперь разберемся с названиями. То, что в комнате называется "объем комнаты", в математике называется просто "объем". "Высота комнаты" в математике будет просто "высота", а "площадь пола" - это ничто иное, как "площадь основания". Хорошо или плохо, но математики нас учат, что если площадь основания умножить на высоту, то мы получим объем. При решении задачи мы объем разделили на высоту и получили площадь.

Еще один интересный момент. Комната может иметь любую форму с вертикальными стенами. Пол в комнате может быть квадратным, прямоугольным, треугольным, шестиугольным, круглым, бесформенным... В любом случае, его площадь будет равна 25 квадратных метров. Ведь любая двухмерная геометрическая фигура может иметь площадь в 25 метров в квадрате. При умножении этой площади на высоту в 3 метра мы всегда будем получать объем в 75 метров кубических.

Является ли подобная задача реальной? Волне. В отдельных бюрократических документах можно встреть объем комнаты. Например, при установке газового оборудования требования могут предъявляться не к площади комнаты, а к её объему. Исходя из высоты комнаты, которая может быть разной в разных зданиях, определяют требуемую площадь пола для соблюдения строительных норм. Фокус в том, что в горении принимает участие газ кислород и его должно быть необходимое количество. Нужный объем кислорода может находиться как в маленькой и высокой комнате, так и в большой, но низкой. Разные числа при умножении могут давать один и тот же результат.

Теорема косинусов в общем виде

ффф

Теорема косинусов в общем виде для любого треугольника в евклидовом пространстве выглядит так.

Теорема косинусов в общем виде

Первая формула теоремы косинусов описывает периметр и устанавливает его зависимость от сторон и углов треугольника. Вторая формула - это двухмерный вариант теоремы косинусов. Последняя формула представляет многомерный вариант теоремы косинусов для треугольника в евклидовом пространстве с любым количеством измерений. Данная формула позволяет учитывать влияние кривизны пространства в любых пространственных направлениях при переходе от евклидового пространства к не евклидовым и обратно.

Теорема косинусов для треугольника в не евклидовом пространстве будет иметь более громоздкий вид. Каждый геометрический элемент формулы, представленный в виде степени, может быть представлен в виде сомножителей, имеющих свои собственные коэффициенты кривизны пространства.

Формула периметра треугольника может быть представлена в двух различных видах. В одном случае периметр можно выразить через сторону и сумму косинусов прилежащих углов. В другом случае это можно сделать через сумму двух сторон треугольника, умноженную на косинус угла между ними.

Теорема косинусов для периметра треугольника

Геометрическое изображение теоремы косинусов для периметра треугольника можно представить следующим образом. Это ещё одна картинка, которая поможет установить взаимопонимание между нами и инопланетянами.

Теорема косинусов

Математики говорят, что теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Они ошибаются. Теорема косинусов описывает зависимости между сторонами и углами треугольника в пространстве. Теорема Пифагора описывает несколько другие вещи. Многомерность в этих двух теоремах так же реализуется по-разному. В теореме косинусов задействованы показатели степеней, в теореме Пифагора количество пространственных измерений связано с числом слагаемых в формуле.

Теорема косинусов в общем виде является не просто набором математических символов, это безупречно работающая динамическая система. Некоторые моменты в работе теоремы косинусов мы рассмотрим более подробно.

Больше о новых взглядах на математику и её проблемах смотрите на странице "Новая математика"

Теорема косинусов

Рассмотрим теорему косинусов в её классическом виде. Берем произвольный треугольник и записываем саму теорему.

Теорема косинусов

При решении задач нужно помнить, что для одного конкретно взятого треугольника теорема косинусов может быть записана в трех вариантах.

Три варианта теоремы косинусов

Как видите, теорема косинусов позволяет определить все три угла треугольника, если нам известны длины его сторон. Даже при современном уровне развития техники, измерить длину гораздо проще, чем измерить угол. Вот здесь теорема косинусов может оказаться очень даже полезной.

Это было маленькое лирическое вступление. А теперь сама история. Не помню, что мне было нужно, но попал я на страницу Википедии, где рассказывается о теореме косинусов. Как-то я уже говорил, что на англоязычных страницах Википедии математика представлена более полно и интересно, чем на русскоязычных. Заглянул я к иностранцам и в этот раз. Там меня заинтересовала одна картинка. Вот она.

Иллюстрация к теореме косинусов

Рядом приводится доказательство теоремы косинусов, которое меня очень заинтересовало. Вот как оно выглядит. Ничего, что текст на английском языке. Настоящая математика в переводчиках не нуждается.

Доказательство теоремы косинусов

Вникнув в смысл доказательства, я начал просматривать всю страницу. Признаюсь честно, я был в шоке. Как?! И это всё???!!! А что, пошевелить собственными мозгами так никто и не додумался? Дело в том, что предлагаемый ход рассуждений позволяет вывести теорему косинусов в общем виде. Неужели за две тысячи лет никому из математиков это не пришло в голову?

Взяв в руки листок бумаги и карандаш, я тут же набросал очень симпатичную формулу. Пару дней я её крутил и так, и этак, пока не поймал себя на мысли, что я повторяю ту же ошибку, которую математики совершали тысячелетиями - я тупо повторяю чужие действия и рассматриваю формулу исключительно в общепринятом виде, собственные мозги я вообще не включаю. Еще раз посмотрев на доказательство теоремы, до меня наконец-то дошел её настоящий смысл. Пара часов работы и теорема косинусов в общем виде была готова. Теперь мы можем познакомиться с нею поближе.