Порядок действий в математике пример

В порядке оказания скорой математической помощи, решим тестовое задание для 5 класса. В этом тесте мы рассмотрим порядок действий в математике пример. У нас имеется набор математических действий с двумя парами скобок. Как решить такой пример? Сперва выполняем действия во внутренних скобках. После их выполнения внутренние скобки у нас исчезают и вместо них мы получаем число. Дальше выполняем математические действия в оставшихся скобках (в начале они были наружными скобками). В заключение операции "Порядок действий в математике" выполняем всё то, что осталось за скобками.

При всех наших вычислениях в скобках строго соблюдаем незыблемое правило выполнения математических действий: сперва выполняем умножение и деление, только после этого выполняем сложение и вычитание. Если что-то из этого отсутствует - радуйтесь!

Теперь рассмотрим сам пример и порядок действий.

Порядок действий в математике пример

В самом начале рассматриваем внутренние круглые скобки. В них спрятаны вычитание и умножение. Первым действием выполняем умножение (деления нет - ура!), вторым - вычитание. С первой парой круглых скобок мы покончили. Но у нас остается ещё одни пара скобок, в которой есть деление, сложение, умножение. Прежде, чем выполнять сложение, необходимо выполнить деление и умножение. В какой последовательности выполнять эти два действия в данном примере - принципиального значения не имеет. Мы выполним по порядку - сперва деление, потом умножение. Полученные в результате числа складываем. В завершение всех мучений выполняем деление. Результат можно записать в виде числа с десятичной дробью (боюсь, что данное замечание не касается учеников пятых классов - сам-то я там не учусь), но обыкновенная дробь выглядит гораздо круче.

В нижней строчке решенный нами пример записан в несколько ином, более фотогеничном, виде. Различные формы записи математического выражения на порядок выполнения действий не влияют. Если, конечно, мы всё правильно записали.

Как порядочный лентяй, при решении этого примера я воспользовался математическим калькулятором (был калькулятор и исчез, только инструкция по применению осталась), в который просто ввел выражение (41811/1267+506*(3000-2*877))/153 и нажал кнопочку "равно". Подробного решения этот калькулятор онлайн не дает, но правильный ответ подсмотреть можно.

Ещё вам может очень пригодиться разложение числа на множители онлайн при сокращении дробей. Называется данная операция очень страшно: "Факторизация числа". Естественно, у меня возникает вопрос: чем разложение чисел на множители отличается от факторизации числа? Разложением чисел на множители занимаются дети в школе. Скорее всего, взрослым дядькам стыдно этим заниматься, поэтому они с умным видом занимаются факторизацией чисел (чем бы дитя не тешилось - лишь бы не плакало).

Производная функции онлайн

Это презентация специального калькулятора, для которого производная функции онлайн является самой простой задачей, которую только вы можете придумать. Если вам не терпится найти производную функции, которая, вне всякого сомнения, является вашей любимой математической функцией, тогда быстрее переходите по ссылке:

производная функции онлайн

Мы же немножко порассуждаем о производных функции онлайн и о нашей действительности. И так...

Если вы оказались на этой странице, значит вы где-то учитесь. Рядовой обыватель никогда в жизни не станет искать в Интернете производную функции онлайн, разве что под страхом пыток. Для учащихся мы совершим беглую экскурсию по сервису онлайн производных, который вам здесь рекомендуется.

Сейчас мы не будем вдаваться в определение производной, которое придумали математики. Наша задача взять ту функцию, которую нам задали математики и найти производную функции, что бы могли отмахнуться этим решением от математиков, как от назойливых мух. И так, мы имеем сервис, который позволяет найти производную и частную производную в режиме онлайн. В этом сервисе есть специальное окошко для ввода значения функции.

Производная функции онлайн

То, что вы сейчас видите на картинке, получено мною при помощи ссылки "Переключить на компактный дизайн". Есть там такая в самой верхней строчке сервиса, рядом с выбором языков. Не знаю, как у вас, а у меня именно такая функция вылезает по умолчанию. Помимо этого, в самом калькуляторе производных имеется кнопочка "Редактор" (у меня она не работает, выдает ошибку Джава-скрипта) и кнопочка "Предварительный просмотр". К имеющейся функции я добавлю что-нибудь от себя прямо в окошке и нажму на кнопку предварительного просмотра.

Производная функции онлайн

Умный калькулятор покажет нам, как именно он понял то, что мы пытались в него впихнуть. Введенную нами функцию в компьютерном выражении калькулятор преобразует в математическое выражение. Следует заметить, что общение с калькулятором пределов основано на всеобщем математическом равенстве: калькулятору абсолютно безразлично, кто с ним общается - двоечник из 5-Б класса или профессор математики - все должны выражать свои мысли на языке компьютера, а не на своем собственном. Иначе калькулятор вас понимать откажется.

В качестве бонуса предлагаются дополнительные опции. Можно найти обычную производную функции одной переменной, можно найти частную производную по "х", частную производную по "у" - это функции двух переменных (наверное, это и есть производная сложной функции). Можно поставить галочку возле автоматического распознавания констант или автоматически использовать линейность производной. Что-то типа:

- Официант! Мне одну порцию производной, пожалуйста.
- Вам с линейностью или без?
- А у вас линейность свежая?
- Только сегодня утром завезли, прямо с грядки. Очень рекомендую! Наша линейность выращивается на экологически чистом числовом поле.
- Уговорили, давайте производную с линейностью.

Теперь о самом интересном - решение производных. Нажимаем кнопочку "Отправить", ждем несколько секунд и получаем решение производной. Оно выдается на отдельной странице в формате pdf. Это такой специальный формат картинки, которую можно распечатать и отмахиваться этим листком от математиков. Решение производных расписано очень подробно, шаг за шагом. В конце предлагается несколько вариантов упрощения полученного выражения. Выглядит всё это приблизительно так.

Производная функции онлайн решение

Как видите, решение производных расписано очень подробно. Здесь используются формулы производной степенной функции, производная произведения двух функций, производная экспоненциальной функции. Упрощение выражения может быть выполнено и до взятия производной. Об этом есть предупреждение в самом низу страницы. Так что не пугайтесь, если в исходных данных для получения производной онлайн вы увидите совсем другую функцию.

Подводя итог, можно сказать, что данный калькулятор производных избавляет нас от необходимости ломать голову в поиске решения производной. Тупо вставили функцию, тупо получили производную, переписали решение, ткнули в нос математику и забыли навсегда. Возникает вполне естественный вопрос: зачем учить всю эту фигню, если есть калькулятор производных? Это только гурманы-математики могут пытаться найти ошибки в решениях калькулятора.

Чего нет у тригонометрических функций

Автор Николай Хижняк

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа о том, что такое математика и физика.

- А разве у тригонометрических функций чего-то может не быть? – удивились блондинки.

- Да, сейчас я вам перечислю то, чего нет у тригонометрических функций, но нас уверяют, что оно есть, – это знаки, периодичность и углы больше 90 градусов.

- Куда же они деваются? – пошли в наступление блондинки.

- Их там никогда не было. Где у прямоугольного треугольника знаки плюс и минус? Где периодичность гипотенузы? Как у прямоугольного треугольника может появиться угол больше 90 градусов, когда один такой угол уже есть, а сумма углов треугольника не может быть больше 180 градусов? При всём этом тригонометрические функции на прямоугольном треугольнике определяются легко и просто. Собственно, это и есть математическое доказательство отсутствия у тригонометрических функций знаков, периодичности и тупых углов.

- Я что-то не поняла, кто тупой – вы или математики? – лицо блондинки, задавшей этот вопрос, выражало святую невинность.

- Девочки, вы не правильно формулируете вопрос. Здесь речь идет не о дураках и умных, а о верующих и не верующих.

- Упс, – выдохнула блондинка, – причем здесь вера?

- Очень даже причем. Вам в школе и в институте рассказывали что-то о тригонометрических функциях, и вы в это поверили. Сейчас вы продолжаете верить своим учителям математики, а ваши учителя верят в математические определения. Я в определения не верю и вам не советую. Я верю только в результат. Тригонометрические функции на треугольнике дают совсем не тот результат, о котором говорится в определении тригонометрических функций. Математики, как и все верующие, видят только те результаты, которые подкрепляют их веру, и полностью игнорируют то, что противоречит их вере.

- Так это что получается? – озадаченно спросила одна из блондинок, – Математика – это религия, а не наука?

- Получается так. Ни христианам, ни мусульманам, даже при помощи самого кровавого террора, не удалось сделать то, что сделали математики – они завоевали весь мир. Сегодня даже мусульмане, благодаря математикам, смотрят на окружающую действительность сквозь Святой Крест Декартовой Системы Координат. Кстати, от средневековой Инквизиции всем нам пламенный привет.

- А причем здесь Инквизиция? – удивились блондинки.

- История математики – это не только даты и фамилии ученых, но и события с их последствиями. Подробнее об истории математики я вам расскажу как-нибудь в другой раз. Сейчас давайте со стороны посмотрим на результат. Что такое математические определения? Это те же Библейские тексты, в которые нужно верить. Что такое теория множеств? Это наследие легендарного Библейского Ноя – каждой твари по паре. Что такое математические функции? Это то, что мы видим сквозь Святой Крест Декартовой Системы Координат. Что такое комплексное пространство? Это Царство Небесное. Ни комплексного пространства, ни Царства Небесного никто никогда не видел, но все верят, что они есть. Во всяком случае, в этом нас уверяют проповедники математики и религии. Как видите, в исторической борьбе с наукой победила средневековая европейская Инквизиция при помощи математики. Думаю, о такой безоговорочной победе не только над учеными, но и над конкурентами, инквизиторы даже в самых сладких снах не мечтали.

- Ужас, – только и смогли сказать блондинки.

- Та математика, которой учат нас математики – это математика рабов Божьих. «Пусть нам дано…», «Возьмем…» любимые выражения математиков. Эти выражения подразумевают, что всё создано Богом для нас и мы можем этим только пользоваться. Мы же с вами будим изучать математику Богов. Нам самим придется решать, что у нас есть, и какой результат мы можем из этого получить. В чем разница? – подавленные блондинки никак не отреагировали на провокационный вопрос, - Вот пример из тригонометрии. Об обратных тригонометрических функциях вы помните?

- Ну так, смутно, – вяло признались блондинки.

- Это когда по числу нас заставляли искать угол. При этом математики нам всегда говорят, какую именно обратную тригонометрическую функцию мы должны использовать: арксинус, арктангенс… А что делать, если мы имеем только число и нам нужно получить угол? Сперва нужно определить тип тригонометрической зависимости, в результате которой появилось это число, а уже потом искать угол. В окружающей природе нигде нет бирочек с названиями тригонометрических функций.

- Так нам что, бирочки придется развешивать? – уныло спросила одна из блондинок.

- В каком-то смысле – да. Вы же хотите быть богинями? – решил я поднять настроение блондинок.

- Да как-то уже не очень… – честно призналась одна блондинка, вторая задумчиво спросила, – А как математикам удается решать все те задачи, которые им подсовывают, если математика – это религия?

- Здесь ничего сложного нет. Когда есть условие задачи, когда приблизительно известен нужный результат, то составить решение, соответствующее принятым определениям не составляет большого труда. Тем более что математикам, в отличие от религиозных проповедников, разрешается самим дописывать новые определения, не противоречащие старым. Математики сами пишут свою Библию, в которую потом верят сами и заставляют верить других. Так вот я в эту математическую Библию не верю. Вернемся к началу нашего разговора о дураках и умных. Я не считаю математиков дураками. Просто я и математики верим в разные вещи. Являюсь ли дураком я сам? Это решайте вы.

Блондинки молча смотрели на меня, пытаясь оценить мои умственные способности. Задача для них была явно не простой.

- Давайте на этом будем заканчивать, – сказал я, – В следующий раз мы с вами познакомимся с тригонометрическими функциями. Тогда вам будет гораздо проще понять, откуда берутся те вещи, которых нет у тригонометрических функций…

- А разве треугольник – это не тригонометрические функции? – удивленно спросили блондинки.

- Нет. Треугольник – это место, в котором тригонометрические функции добросовестно работают, как и в тригонометрическом круге. Но рождаются и живут тригонометрические функции совсем в другом месте.

Закончить наш разговор о тригонометрических функциях мы так и не смогли. Девочкам быстро надоели мои заумные рассуждения и я вынужден был сменить тему. Дальше у нас сам собою возник вопрос зачем нужна математика?

Таблица интегралов 4

Перечень всех формул неопределенных интегралов (147 штук) можно найти здесь.

Представленная на этой странице таблица интегралов содержит формулы неопределенных интегралов показательных и тригонометрических функций, гиперболических и логарифмических функций. Правила решения некоторых интегралов описаны прямо в таблице. Очень часто встречается случай, когда терпение и труд всё перетрут. Монотонно применяете одну и ту же формулу до тех пор, пока применять больше нечего.

Что ещё можно сказать о некоторых неопределенных интегралах? Как видно из формул 94 и 95, тригонометрические функции синус и косинус интегрированию не подаются. При попытке их интегрирования срабатывают формулы приведения тригонометрических функций. На этом рэкетирский наезд интегралов заканчивается. А вот тангенсу и котангенсу приходится искать крышу у натуральных логарифмов. Гиперболические функции, какими бы крутыми они себя не считали, ведут себя точно так же. Кем при этом являются интегралы - представителя налоговых органов или организованной преступности? А какая разница? Результат-то для подынтегральных функций одинаковый. Вот такая вот аппроксимация интегралов на окружающую действительность у меня получилась.

И ещё один вопрос от досужего дилетанта. Я всё не мог понять, что меня смущает в соседстве обратных тригонометрических функций и логарифмических функций. Оказывается - единицы измерения. Логарифмические функции - это преобразование числа в число. Обратные тригонометрические функции - это преобразование числа в угол. У чисел и углов разные единицы измерения. Когда же мы переходим к определенным интегралам, углы обратных тригонометрических функций превращаются в единицы измерения площади. В математическом анализе принято тупо игнорировать существование единиц измерения. Не самое научное поведение. В этом плане детская арифметика (не та, которая в школе жонглирует числами, а та, которая в детском садике) на порядок выше матана - там даже складывать числа с разными единицами измерения нельзя.

Так что же такое математические функции с точки зрения банальной эрудиции? Это преобразования числовых коэффициентов при различных единицах измерения. Тогда возникает необходимость четкого разграничения тригонометрических функций и числовых последовательностей, возникающих в результате тригонометрических преобразований. Что бы не писать каждый раз "сие есть волк, а не собака". Не стоит забывать, что окружающий нас мир - это не математическая лавка, где на каждом предмете или явлении есть бирка с математической функцией.

Таблица интегралов 3

На этой странице представлена таблица интегралов, содержащих квадратное уравнение в его почти классическом виде и пузатая мелочь, состоящая из дробного отношения суммы или разности с участием неизвестного под знаком квадратного корня. Почему вид квадратного уравнения почти классический? В школе такое уравнение обычно записывают, начиная с квадрата икс, потом просто икс и заканчивают свободным членом уравнения. В интегралах почему-то такое квадратное уравнение записывается в арабском стиле. Наверное, математики, занимающиеся интегралами, и математики, занимающиеся квадратными уравнениями, исповедуют разные религии.

Больше интегралов, а именно 147 формул, можно найти здесь

Что еще примечательного в этих таблицах интегралов? В интеграле под номером 78 даны два решения, зависящие от внешних факторов (коэффициентов) уравнения. Что интересно, в одном случае в результате получается арктангенс, в другом случае - натуральный логарифм. Просматривая все таблицы логарифмов, можно заметить, что эти две математические функции идут рядом, как близнецы-братья, во многих формулах. Интересно, что именно связывает эти две функции? Ведь они живут не в одном дворе и даже не на соседних улицах. Они принадлежат разным разным разделам математики - логарифмам и тригонометрии. Или это мне так кажется?

Формулы 86 и 87 снова ставят рядом логарифмы и тригонометрию. В этот раз натуральный логарифм решил примазаться к арксинусу. Нет, между тригонометрией и логарифмами наверняка что-то есть. Может, это любовь такая математическая?

Как же интегрируются сами влюбленные? Смотрите  интегралы показательных, тригонометрических и логарифмических функций.

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Тригонометрический круг синус и косинус

Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат - одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая - вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы - cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы - sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы - на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат - там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Найти решение:

Синусы и косинусы круг - здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах - равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах - на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов - равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность - я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности - вылитая тригонометрия.

Тригонометрический круг рисунок - есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию - почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников "Перед вами всемирно известное полотно "Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках" - картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения ..." Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов - именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи - в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону - синус - это вверх, в сторону - это косинус.

Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

Умножение столбиком

В порядке оказания "скорой решательной помощи", сейчас мы рассмотрим одним глазом умножение столбиком. Не весь процесс целиком, а маленькие технические детали. Наши умные калькуляторы очень легко справляются с умножением разных чисел, но они не выдают распечатку умножения столбиком этих же чисел. Очень жаль. Рецепт приготовления чисел не в микроволновке (на калькуляторе), а на костре (ручками на бумажке в столбик) иногда вызывает затруднения.

Сейчас мы приготовим два блюда из чисел и умножения тем древним способом, которым пользовались наши предки в те далекие времена, когда электричества ещё не было (ведь все калькуляторы работают от электричества). Умножим столбиком две пары чисел:

0,15 * 20

120 * 60

Числа очень простые, но вот все эти нолики и запятые, как сырые дрова, мешают разгореться костру наших знаний. Для победы силы разума над древними суевериями, прежде всего, числа нужно расположить фотогенично. Не для того, чтобы сделать красивую фотку на память, а для того, чтобы нам было проще считать. Для этого хвосты из нулей в конце чисел нужно просто игнорировать. Они есть, но мы их не видим. Очки мы надели такие - противонулевые. Когда мы подобным образом разделали наши числа, можно приступать к приготовлению блюда - располагаем одно число под другим, выравнивая столбик по правому краю чисел. Нолики у наших чисел остаются (вы же не станете отрывать хвост у своего любимого домашнего животного, даже ради умножения его столбиком). Если нолики не хотят выстраиваться ровно, не обращайте на них внимания.

Умножение столбиком

В результате нам нужно умножить в столбик числа 15 на 2 и 12 на 6 (я думаю, любой уважающий себя математик с этой задачей справится). После умножения столбиком мы получим числа 30 и 72. Всё! Наше блюдо готово! Но, прежде чем подавать его на стол учителя, результат необходимо украсить нулями или запятыми. Другими словами, нужно навести порядок в нулях и запятых. Не пугайтесь! Это гораздо проще, чем наводить порядок на кухне.

Снимаем наши противонулевые очки и занимаемся нулями. Если числа при умножении в столбик мы складываем, то хвостики из нулей складывать нельзя. Их нужно просто перенести в низ и приписать к полученному результату. В первом примере у нас остался один нолик от числа 20, во втором примере у нас аж два нолика - один от числа 120, второй от числа 60. Если вам попадутся числа, у которых в конце по мешочку ноликов, то высыпайте в результат сперва один мешочек, потом второй. Смотрим, что получилось у нас:

15 * 2 = 30 плюс нолик = 300

12 * 6 = 72 плюс два нолика = 7200

Теперь берем бинокль и начинаем выискивать запятые. Во втором примере ничего похожего на запятую не наблюдается. Значит, со вторым примером мы покончили - блюдо учителю на стол! А вот в первом примере нам удалось обнаружить эту маленькую пакость. И что теперь делать? Ведь всё было так красиво... Придется эту бяку, словно пучок петрушки, воткнуть в наш результат. Иначе учитель обидится. Остается решить, куда именно втыкать. Правило очень простое - сколько знаков после запятой было до умножения, столько же знаков после запятой отделяется после умножения. Если запятые прокрались в оба числа, тогда блюдо подается с двойным гарниром - отделяется столько знаков, сколько их было в двух числах, вместе взятых. А у нас мы имеем:

0,15 - это два знака после запятой

300 минус два знака после запятой = 3,00 = 3

Всё! Задание выполнено. Можете брать в руки калькулятор и проверять. Я же, для проверки, займусь любимым делом математиков - пожонглирую числами. Следите внимательно за каждым моим движением:)

0,15 * 20 = (15 : 100) * 20 = 20 * 15 : 100 = 2 * 10 * 15 : 100 = 2 * 15 * 10 : 100 = 30 * 10 : 100 = 3 * 10 * 10 : 100 = 3 * 100 : 100 = 3 * 1 = 3

120 * 60 = 12 * 10 * 60 = 12 * 10 * 6 * 10 = 12 * 6 * 10 * 10 = (10 + 2) * 6 * 10 * 10 = (10 * 6 + 2 * 6) * 10 * 10 = (60 + 2 * 6) * 10 * 10 = (60 + 12) * 10 * 10 = (60 + 12) * 100 = 72 * 100 = 7200

Что не говорите, а математическое жонглирование - прикольная штука. Как видите, даже без калькулятора и умножения столбиком, можно довольно просто получить результат (жаль, не всегда так получается).

Таблица интегралов 2

На этой странице представлены неопределенные интегралы с квадратными корнями. Большую таблицу неопределенных интегралов можно скачать на странице таблица интегралов.

Что можно сказать о представленных здесь неопределенных интегралах и о результатах вычисления интегралов? Если предположить, что вычисление интеграла - это определенный порядок каких-то шаманских действий, известных только математикам, над математическими функциями, то некоторые функции колбасит не по детски. Например, в формулах интегралов 27 и 28 мы видим, что результат интегрирования зависит от знака постоянного члена функции. При этом логарифм при положительных значениях а с какого-то перепугу превращается в арктангенс при отрицательных значениях а. Я не хочу сказать, что математики допустили ошибку при вычислении этих интегралом, мне интересен сам факт чудесного превращения. В примерах 50 и 51 совершенно разные подинтегральные выражения дают почти одинаковый результат, отличающийся только знаком перед первым слагаемым. Вот такие вот чудеса могут происходить в математике на вполне законных основаниях.

Седьмая группа интегралов решается методом подстановки. Если вы не улавливаете смысл этой подстановки, тогда выполните действия наоборот - в результат подстановки вместо t подставьте его значение. У вас получится квадрат разности. По формуле сокращенного умножения, известной вам со школьной скамьи, раскрываете скобки. Не забывайте, что впереди стоит знак минус и знаковую ориентацию полученного многочлена нужно изменить на противоположную. В результате а в квадрате чудесным образом исчезает при вычитании себе подобного и у вас остается первоначальное выражение. Что и требовалось доказать.

Дальше нас ждут  интегралы функций, очень похожих на квадратные уравнения.

Прямоугольник и рюкзак

Автор Николай Хижняк

В нашей жизни очень часто встречаются вещи, о смысле которых мы не задумываемся. Кто-то что-то придумал, многим это понравилось и вот все уже пользуются только этим. И мы уже не представляем, что может быть иначе. А между тем, в школе нас учили как-то по-другому.

Ноутбуки сегодня есть у многих. Очень часто возникает необходимость носить свой ноутбук с собой. Для этого придумали чехлы и сумки. Но они занимают руки. А вот такая штука, как рюкзак, оставляет руки свободными. Что нужно сделать? Правильно, применить банальную арифметическую операцию сложения:

рюкзак + чехол для ноутбука = рюкзак для ноутбука

Вот какой простой способ создания новых товаров при помощи математики. Но не на это я хотел обратить ваше внимание. Посмотрите описание товара. Помимо всего прочего - названия рюкзака, модели - там стоят числа и значок дюйма. Справа есть сортировка товаров. Мы можем выбрать по популярному бренду, по типу (рюкзаки, чехлы, сумки, кейсы) и ... по диагонали. Что делает в перечне товаров этот неизменный атрибут геометрических фигур? Он оказался в числе избранных.

Дело в том, что ноутбуки, как и экраны телевизоров, имеют форму прямоугольника. Для передачи информации о размерах предлагаемого товара (это большой или маленький телевизор, ноутбук) необходимо было выбрать какие-то параметры, понятные всем. Что есть примечательного у прямоугольника? Размеры сторон, площадь - это основные характеристики размеров прямоугольника. Но они не очень удобны. Размеры сторон - это два числа, площадь - это одно большое число. Рассказывая покупателям о товаре, пользоваться такими числами не совсем удобно. Тогда вспомнили, что у каждого прямоугольника есть диагональ. Это одно число, которое не очень большое, если его измерять в дюймах или сантиметрах. И длина диагонали очень хорошо передает размеры прямоугольника - экрана телевизора или корпуса ноутбука. Как видите, производители из всех геометрических характеристик прямоугольника выбрали только одну - длину диагонали.

А вот производители цифровых фотоаппаратов предпочтение отдали площади прямоугольника. Основной характеристикой цифровых фотоаппаратов считается площадь фотографии в пикселях, которую можно получить при помощи этого аппарата. Размеры картинки перемножаются а результат записывают в мегапикселях (один мегапиксель равен одному миллиону пикселей). Чем больше мегапикселей у камеры или фотоаппарата, тем больше и качественнее снимок получается. Никто, правда, не уточняет, что единицей измерения площади снимка являются пиксели в квадрате. Но ведь математики тоже не заморачиваются с такими мелочами, как единицы измерения.

Деление на ноль в физике. Продолжение.

Автор Николай Хижняк

После публикации статьи про деление на ноль в физике разгорелось довольно оживленное обсуждение. Меня обвиняют в непонимании того, что даже у перегоревшей лампочки есть сопротивление, равное сопротивлению газа в стеклянной колбе лампочки.

И так, я хотел рассказать историю гибели славного бойца сопротивления по имени Лампочка и о математическом описании метода его воскрешения из мертвых. Меня же начали пугать бандой сопротивления. Дескать, если погибнет Лампочка, мне придется иметь дело с бойцом сопротивления по имени Газ. Если же мне удастся победить и его, тогда меня встретит браток из сопротивления по имени Вакуум. А если и это меня не образумит, тогда мною займется само Определение сопротивления... Жуткая перспектива, только я в Святую Силу Определений не верю - вырос из возраста чужих сказок.

Выражаясь на языке математики, я рассказываю об одночлене, мне же пытаются втолковать о многочлене. Один математический элемент подменяется суммой двух элементов. При этом оба элемента одновременно работать в электрической цепи не могут - один из элементов приравнивается к нулю, второй элемент обеспечивает выполнение математического равенства. Электрический ток протекает по пути наименьшего сопротивления (нить лампочки). Когда этот путь исчезает (нить лампочки перегорела), система перестает работать. Один член многочлена исчез, второй член не обеспечивает работоспособность системы при заданных параметрах. Для возобновления работоспособности электрической цепи необходимо либо восстановить путь наименьшего сопротивления, либо изменить параметры цепи для образования электрической дуги в газовой среде колбы лампочки.

Теперь интересный вопрос: как рассказанное мною описать при помощи математических выражений? С описанием работающей цепи всё понятно - здесь проблем нет. Мгновенный снимок существующей ситуации без особых проблем ложится на язык алгебры. А как выразить перегорание лампы? Как математически описать восстановление пути наименьшего сопротивления? Я хочу видеть мультфильм о жизни лампочки, показанный мне на языке алгебры. Не тупо - взяли тряпочку, вытерли одно слагаемое, потом записали снова. Меня интересуют именно математические основания для исчезновения и восстановления слагаемого.

Ну и, естественно, самый интересный вопрос: чему именно в языке алгебры соответствует электрический выключатель? Возможно, в том мире, в котором живете вы, такого соответствия нет и быть не может. По определению. Я живу в другом мире и хочу знать, как и почему в нем всё работает. В том числе выключатель.

Таблица интегралов 1

На этой странице представлена таблица интегралов 1 в которой функции имеют вид a+bx и разные вариации на эту тему. В большинстве случаев это интеграл дроби, в которой выражение a+bx находится в знаменателе, умножается на разные штучки или возводится в разные степени. Всего в первую группу интегралов включено 10 формул.

Логично будет на этой странице представить вторую группу неопределенных интегралов, в которую входят функции с переменной "икс" в квадрате и различные сочетания постоянных и переменных.

Всю таблицу интегралов, состоящую из 147 формул, можно скачать на другой странице, где ссылка расположена в средине текста. Мы же дальше рассмотрим формулы интегралов с квадратными корнями.

Таблица интегралов

Не научный бред с элементами реализма на тему неопределенного интеграла.

Не просите маня в комментариях найти какой-нибудь интеграл. Я не умею находить интегралы, я могу только над ними поприкалываться. Прежде, чем здесь появится таблица неопределенных интегралов, нужно представить определение неопределенного интеграла. Прямо каламбур получился. Неопределенным интеграл называется так не потому, что определение для него никто не придумал, а потому, что с ним нельзя точно определиться. Математики меня заклюют за такое разъяснение.

Для начала приведу пару примеров, чем интеграл функции отличается от производной функции. Если функция - это здание, тогда производная такой функции позволяет определить, как будут выглядеть развалины этого здания после "освобождения" российской армией. Если функция - это развалины здания, тогда интеграл позволяет определить, как выглядело здание до "освобождения" российской армией.

Другой пример. Если функция - это динозавр, тогда производная покажет нам, как будут выглядеть останки динозавра через миллионы лет. Если функция - это останки динозавра, тогда интеграл позволит нам увидеть, как выглядел динозавр при жизни. Но, тут есть одна закавыка - "плюс константа". Мы никогда не узнаем, какой была боевая:) раскраска динозавра и как звучал его голос. Вот это и есть классический, точнее палеонтологический, пример неопределенного интеграла - первообразное строение тела динозавра плюс константа: туловище разукрасьте сами, а голос подберите по своему вкусу. Как-то так, только математикам этого не рассказывайте и российским нацистам.

А теперь перейдем к учебникам математики. Вот как они дают определение неопределенного интеграла и его свойств.

Неопределенный интеграл и его свойства

Как видите, неопределенный интеграл представляет из себя совокупность первообразных для заданной функции. Дальше идет таблица основных неопределенных интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

Если вы любите по вечерам вместо семечек щелкать неопределенные интегралы, тогда большая таблица интегралов для вас. Если вы где-то учитесь, настоятельно рекомендую пользоваться большой таблицей интегралов в качестве ответов, которые обычно размещают в конце учебника. Помните, что вы не в детском садике и задачку без действий вам никто не задаст. Даже в задаче на одно действие между условием и ответом записывают это действие.

Вот большая таблица неопределенных интегралов (картинка 510 на 8 710 пикселей, формат JPG, объем файла 783 килобайта). Эта таблица интегралов содержит 147 представителей этой математической фауны. Такой себе "Зоопарк Интегралов". Я подозреваю, что коллекция эта далеко не полная, но некоторые самые популярные виды интегралов в ней присутствуют. Нажимаете на ссылку - откроется картинка, по виду очень похожая на размотанный рулон туалетной бумаги. Наводите курсор на эту ленту, курсор превращается в лупу со знаком "плюс", жмете. Теперь вы в царстве интегралов. Сохранить память о столь увлекательном путешествии можно при помощи правой кнопки мыши и строчки меню "Сохранить изображение как...". Всё, Третьяковская галерея интегралов переселилась в ваш компьютер.

Это для тех, кто не любит читать всё то, что я пишу. Столь солидную таблицу интегралов я самым бесстыдным образом позаимствовал с сайта, который остался только в памяти этой страницы. "Русский мир" не любит интегралы, ему бомбы подавай. Таблица интегралов разбита на 12 групп, все их мы рассмотрим более подробно на отдельных страницах.

Таблица интегралов

Все эти формулы можно увидеть на отдельных страницах этого сайта.

Таблица интегралов 1 - приведены формулы с переменной в первой и второй степени из 1 и 2 разделов.

Таблица интегралов 2 - приведены формулы с квадратными корнями из разделов 3, 4, 5, 6 и 7.

Таблица интегралов 3 - приведены формулы интегрирования из разделов 8, 9 и 10.

Таблица интегралов 4 - приведены формулы интегрирования показательных, тригонометрических и логарифмических функций из разделов 11 и 12.

Как найти неопределенный интеграл? Очень просто. Тупо берете формулу, тупо подставляете в пример. Лично я так делал. Иногда можно чего-то там перегруппировать, упростить, вынести за знак интеграла... На звание самого лучшего в мире искателя интегралов я не претендовал, о чем нисколько не жалею. Вообще, живых интегралов я за свою жизнь так и не встретил. Все они для меня вымерли, как динозавры, сразу же после окончания учебы. Да, я ещё кое-что о них помню. Только и всего.

Теперь немного бла-бла-бла на тему неопределенных интегралов. Чистый бред. Прошу не путать с заявлением о приеме меня в математики.

Очень интересен каламбур, написанный буковками под таблицей основных неопределенных интегралов. На первый взгляд получается, что первообразная на первообразной сидит и первообразной погоняет. Ясно, что записанное выражение и дураку понятно. Но бывают ещё и особо одаренные представители рода человеческого, типа меня. У меня просто мозги отключаются, когда я вижу или читаю подобные фразы. Наверное, инстинкт самосохранения срабатывает - мозг боится собственного вывиха. Долго вспоминал, где у меня лево, где право.

Через пару дней напряженной умственной работы, я пришел к выводу, что в левой части описывается ситуация, когда мы точно знаем, от какой первообразной функции мы получили производную. В правой части мы пытаемся угадать, какой первообразной функции принадлежит производная. На динозаврах это гораздо понятнее. Если у нас есть живой динозавр, то мы точно знаем, как он выглядит, и точно можем сказать, как через десятки миллионов лет будут выглядеть его останки. Но вот когда мы сегодня находим останки динозавров, мы не можем точно сказать, как они выглядели - окраску, голос, запах по останкам определить не возможно. Знак равенства стоит на том основании, что из всех возможных вариантов один точно правильный. В отличии от динозавров, математические функции математики представляют в абстрактном виде, вне времени - одновременно и настоящее, и будущее, и прошлое.

Теперь эта же мысль, но языком математических формул. Используем определение и свойства неопределенных интегралов. Возьмем первообразную функцию с константой и посмотрим, что происходит.

Первообразная функция

Здесь на первое место выступает порядок выполнения математических действий. Если мы сперва дифференцируем первообразную функцию, то константа теряется. После интегрирования её нужно восстанавливать для сохранения равенства. Если применить свойства неопределенного интеграла и взаимно сократить интегрирование и дифференцирование, то первообразная останется в своем первоначальном виде, с константой.

Здесь получается фокус с тузом в рукаве. В определении неопределенного интеграла константа является частью первообразной функции F(x) и отдельно не выделяется - туз спрятан в рукаве. После интегрирования мы добавляем константу, потерявшуюся при дифференцировании - туз достаем из рукава на всеобщее обозрение. В этом случае главным является не сам фокус, а факт присутствия туза у фокусника как до, так и после демонстрации трюка.

Что такое константа? Это число. Геометрически при помощи изменения константы можно сместить график функции F(x) вдоль оси игреков вниз или вверх. В определении неопределенного интеграла указано, что совокупность всех этих первообразных и представляет из себя этот злополучный интеграл. Но это только одна сторона медали.

В определении не указывается, что вся совокупность первообразных рассматривается в одной, кем-то когда-то выбранной, системе координат. А если мы выберем одну первообразную, тогда изменение константы будет смещать систему координат. С точки зрения выбранной первообразной, неопределенный интеграл - это совокупность всех систем координат, в которых может рассматриваться данная первообразная функция.

Чудеса относительности. Если мы сидим попой на поверхности Земли, то мы видим, как Солнце бегает по небу. Если мы сидим попой на Солнце (не бойтесь поджариться, ведь математика - абстрактная наука и позволяет сидеть на чем угодно), то мы видим, как Земля вращается вокруг собственной оси. Всё зависит от выбранной нами точки зрения, что в математике соответствует выбору системы координат.

С учетом относительности влияния константы на сладкую парочку "функция - система координат", первое предложение в определении неопределенного интеграла можно записать так:

Неопределенный интеграл для функции f(x) - это совокупность всех первообразных данной функции или совокупность всех систем координат данной первообразной функции.

Не знаю, как посмотрят на такое развитие сюжета математики, но получилось слишком заумно. Всё это дело можно упростить, если отказаться от пыток восстановить константу в первообразной функции. Ещё раз проконтролируем свои действия. Если у нас есть первообразная функция с константой или без, мы можем точно сказать, как выглядит её производная. Если у нас есть производная, мы не можем точно сказать, от какой именно первообразной она получена.

Всё дело заключается в том, что при взятии производной происходит изменение системы координат. Если мы рассматриваем производную f(x) в измененной системе координат, то восстановить первоначальную систему координат первообразной функции F(x) невозможно. Нельзя воскресить мертвое. Вместо математической точности у нас получается гадание на кофейной гуще. И это гадание выражается в прибавлении константы к скелету первообразной функции.

Задачу эту можно решить на уровне задних парт третьего класса. Почему задних парт? Они находятся дальше всех от испепеляющего светоча знаний, льющегося с классной доски. Почему третьего класса? У них ещё не выработан благоговейный трепет перед учебниками. Просто начинаем фантазировать. Придумываем какое-нибудь новое определение и при помощи него разруливаем ситуацию.

Функция в собственной системе координат Fo(x) - это функция, у которой константа приравнивается к нулю. Так сказать, функция в собственном соку. Классическим примером функций в собственной системе координат можно считать тригонометрические функции. При изучении они рассматриваются без константы.

Поскольку определение неопределенного интеграла уже написано и правила хорошего тона настоятельно не рекомендуют его рихтовать, придумаем еще одно определение какой-нибудь промежуточной фигни. Пусть эта фигня будет называться "определенная первообразная". Теперь берем определение неопределенного интеграла и на его основе пишем свое определение определенной первообразной.

Определенная первообразная для функции f(x) - это первообразная данной функции в собственной системе координат Fo(x). Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) - её первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a меньше x меньше b.

Определенная первообразная

От определенной первообразной можно двигаться налево к неопределенному интегралу путем добавления константы или направо к определенному интегралу путем обозначения пределов интегрирования. Выглядит это приблизительно так.

Свойства определенной первообразной

В геометрическом смысле определенная первообразная является формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f(x) и прямой х=х. В последнем равенстве с левой стороны находится просто буква икс, обозначающая переменную, с правой стороны - её численное значение.

Дальше ещё несколько слов о константе в неопределенном интеграле. При дифференцировании функции константа превращается в ноль. В математике существует первая, вторая, третья и так далее, производные. Можно предположить, что столько же существует и неопределенных интегралов. Берем результат интегрирования и снова интегрируем. Вот что может получиться...

Ветхий Завет от Матана.

Вначале ничего не было. Потом было слово. Точнее, два слова - Неопределенный Интеграл. И создал Неопределенный Интеграл константу. А потом Он создал переменную. И стала переменная плюс константа. А потом Неопределенный Интеграл создал...

Первообразная константы

Вот так и появился этот мир, в котором мы живем. Аминь. Пардон, плюс константа.

Если вас не устраивает такая история сотворения мира, эти же формулы можно трактовать как историю Большого Взрыва. Ведь ученые уверяют, что началось всё с точки, то есть с нуля.

Сергей Манулов, давний друг этого сайта, предлагал мне опубликовать в одной таблице интегралы рядом с производными. Так действительно будет нагляднее и понятней. Но здесь есть два момента. Во-первых, таблица получится такой широкой, что в этот сайт явно не влезет. Во-вторых, насколько я помню, таблица производных несколько меньше, чем таблица интегралов. Ну не любят математики играть в производные. Кого интересует исследование всяких каракуль, пусть даже и обличенных в математические формулы? А вот игры в интегралы среди математиков очень даже популярны. По своей популярности они могут уступать разве что играм в комплексные числа. Наверное, так получается потому, что при помощи определенных интегралов можно находить площади криволинейных трапеций или что-то там ещё. Математики играют в свои любимые игрушки и вроде как полезным делом заняты.

Что нужно помнить о неопределенных интегралах? Как молитва заканчивается словом "Аминь", так любой неопределенный интеграл заканчивается словами "плюс константа".