Первозданная математика для блондинок, не ворованная. Математикой должны заниматься блондинки - они врать не умеют. Математика, геометрия, тригонометрия без фанатизма и стереотипов.
Все простые числа вида Р находятся в начале числовых лучей на всех числовых спиралях, за исключением простого числа а, расположенного на главной оси а-спирали. Взаимное расположение простых чисел будет меняться в зависимости от числа а, которое лежит в основе построения спирали. Расположение простых чисел на разных числовых спиралях показано на рисунках ниже.
Простые числа на 2-спирали
Простые числа на 3-спирали
Простые числа на 4-спирали
Простые числа на 5-спирали
Составные числа находятся на лучах спиралей, построенных на числах, являющихся делителями этих чисел. На остальных спиралях они расположены в начале числовых лучей. Например, число 6 находится на продолжении 3-луча 2-спирали и является результатом умножения числа 3 на число 2. Это же число 6 находится на продолжении 2-луча 3-спирали и является результатом умножения числа 2 на число 3.
Рассмотрение числовых спиралей будет продолжено в последующих публикациях.
Числа на числовых спиралях могут быть представлены в разных системах счисления. Для примера рассмотрим числа на главной оси некоторых спиралей в разных системах счисления. Таблица 1 показывает числа на главной оси 2-спирали в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления.
Главная ось 2-спирали
В таблице 2 представлены числа на главной оси 10-спирали в тех же системах счисления.
Главная ось 10-спирали
Аналогично, в таблице 3 представлены числа на главной оси 16-спирали.
Главная ось 16-спирали
Как видно из таблиц выше, каждая а-спираль в системе счисления с основанием а будет состоять из отдельных витков с числами, имеющими одинаковое количество разрядов в позиционной системе счисления. Каждый следующий виток числовой спирали для числа а в системе счисления с основанием а добавляет один разряд в позиционной системе записи чисел. Каждый n-виток состоит из чисел, записываемых при помощи n+1 количества разрядов.
Если ввести правило, что единичные дуги на одном витке должны быть одинаковой длины, тогда числовая спираль превратится в набор концентрических окружностей. Каждая окружность будет содержать числа с одинаковым количеством разрядов. Введение подобного правила нарушает визуальную непрерывность натуральных чисел.
Таким образом, каждая а-спираль является графическим отображением натуральных чисел в системе счисления с основанием а, которая записана в выбранной нами системе счисления. По умолчанию мы применяем десятичную систему счисления.
Движение вдоль витков любой а-спирали является таблицей сложения с последовательным добавлением одной единицы к предыдущему числу, начиная с единицы. Движение вдоль лучей любой а-спирали является таблицей умножения с последовательным умножением числа, расположенного в начале луча, на число а. Эти два движения перпендикулярны, что свидетельствует о принципиальном различии сложения и умножения.
Если провести ось симметрии через главную ось любой а-спирали, тогда симметричные числа на витках образуют суммы разложения. Для любого a.n-витка эта сумма разложения равна an+an+1. Для примера суммы разложения показаны на 4.1-витке. Количество таких сумм, учитывая сумму чисел an и an+1 на главной оси, равно mn/2.
Суммы разложения
Данное свойство числовых спиралей позволяет вычислить сумму натуральных чисел, расположенных на одном а.n-витке. Для этого необходимо сумму разложения умножить на количество таких сумм, используя формулу (1), добавить число, расположенное на оси симметрии, которое равно половине суммы разложения и вычесть число an+1, которое относится к следующему витку:
Сумма чисел на витке
Формула (3) позволяет вывести уже давно известную формулу для определения от единицы до любого числа а. Для этого необходимо определить сумму чисел на нулевом витке а-спирали и добавить само число а:
Сумма натуральных чисел
Если построить числовую спираль для бесконечно большого числа (∞-спираль), начало этой спирали будет отличаться от числового луча только отсутствием нуля. Нулевой виток будет состоять из бесконечно большого количества единичных дуг, каждая единичная дуга будет ограничена лучами с бесконечно малым значением угла. Кривизна витка станет проявляться в районе очень больших чисел от начала спирали.
На 2-спирали главная ось образуется последовательными степенями числа 2. Все нечетные числа располагаются в начале числовых N-лучей, все четные числа расположены на N-лучах спирали.
На 2.0-витке находится одна единичная дуга размером 360°, в начале этого витка находится число 1. Это единственная числовая спираль, у которой на нулевом витке нет других чисел, кроме единицы. Количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (2).
2.1-виток разбивается на две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – 2 и 3. Здесь и на остальных витках количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (1).
Вычисления для 2-спирали
2.2-виток образуют четыре единичные дуги размером 90°, на котором располагаются числа 4, 5, 6, 7. Число 6 расположено на продолжении 3-луча.
2.3-виток образуют 8 единичных дуг размером 45°. На этом витке распложены числа с 8 по 15 включительно. Числа 10, 12 и 14 расположены на продолжении 5-луча, 3-луча и 7-луча соответственно.
Дальнейшее расположение натуральных чисел на 2-спирали можно проследить на рисунке выше.
3-спираль
3-спираль
Главную ось 3-спирали образуют последовательные степени числа 3. На 3.0-витке находится две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – это 1 и 2. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (2).
3.1-виток разбивается на шесть единичных дуг размером 60°, на нем располагаются числа 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (1). Число 6 находится на продолжении 2-луча и является результатом умножения числа 2 на число 3.
Вычисления для 3-спирали
3.2-виток образуют восемнадцать единичных дуг размером 20°, на нем располагаются числа с 9 по 26.
4-спираль
4-спираль
Главную ось 4-спирали образуют последовательные степени числа 4. На 4.0-витке находится три единичные дуги размером 120° и на нем расположено три числа – 1, 2 и 3.
4.1-виток разбивается на двенадцать единичных дуг размером 30°.
Вычисления для 4-спирали
4.2-виток разбивается на сорок восемь единичных дуг размером 7,5°.
Каждый виток 4-спирали содержит в себе два сжатых витка 2-спирали. Сжатие происходит неравномерно и задается структурой нулевого витка 4-спирали. Нулевой и четные витки 2-спирали сжимаются до 1/3 витка 4-спирали, первый и нечетные витки – до 2/3. Такое неравномерное сжатие обеспечивает равенство единичных угловых сегментов всех витков в структуре 4-спирали.
Подобное неравномерное сжатие происходит и на остальных спиралях, построенных на числах, равных степени числа а, больше первой степени. Так, для 8-спирали (а=23), каждый виток которой содержит три витка 2-спирали, пропорции равны: 1/7, 2/7, 4/7.
5-спираль
5-спираль
Главную ось 5-спирали образуют последовательные степени числа 5. На 5.0-витке находится четыре единичные дуги размером 90° и на нем расположено четыре числа – 1, 2, 3 и 4.
5.1-виток разбивается на двадцать единичных дуг размером 18°.
Вычисления для 5-спирали
5.2-виток разбивается на сто единичных дуг размером 3,6°.
Подобным образом можно построить числовую спираль для любого натурального числа.
Если для визуального отображения натуральных чисел использовать произвольную спираль и единицы измерения углов, тогда все числа можно упорядочить по следующим правилам:
1. На главной оси а-спирали располагаются числа вида an в порядке возрастания, где а>1, n≥0.
2. Главная ось совпадает с нулевым лучом единиц измерения углов и имеет следующий вид:
Главная ось числовой спирали
3. Главная ось делит спираль на отдельные витки размером в 360°, которые целесообразно нумеровать по показателю степени числа а, расположенного в начале каждого витка. Например, а.0-виток, а.1-виток, а.n-виток. Расстояние между витками спирали произвольное.
4. Каждый виток а-спирали разбивается лучами на равное количество единичных угловых секторов, которые делят виток на единичные дуги. Каждая единичная дуга имеет произвольную длину и соответствует одной числовой единице. Единичные дуги разделяют два соседних натуральных числа, которые располагаются на пересечениях лучей и витков спирали.
5. Количество единичных секторов и количество натуральных чисел mn для каждого а.n-витка определяется по формуле (1).
6. Для нулевых витков всех а-спиралей количество единичных секторов и натуральных чисел определяется по формуле (2).
Формулы числовых спиралей
7. Каждая единичная дуга из витка mn на следующем витке mn+1 делится на а единичных дуг новыми лучами.
8. В начале каждого луча (N-луч), на пересечении с витком, расположено натуральное число N вида Pa, простое по отношению к числу а.
9. На продолжении N-лучей, в точках пересечения с последующими витками, располагаются натуральные числа, кратные числу а, образующему главную ось а-спирали.
Числовые спирали – это представление натуральных чисел на спирали в единицах измерения углов. Соблюдение определенных правил размещения чисел позволяет получить бесконечную спиральную таблицу умножения для любого натурального числа а>1. Внешний вид и структура конкретной а-спирали будут одинаковыми для любых единиц измерения углов в любых системах счисления натуральных чисел.
Введение
Визуальное изображение натуральных чисел известно давно и имеет вид числового луча.
Числовой луч
Для визуализации чисел на используются единицы измерения длины. Числовой луч начинается с нуля, поскольку иначе невозможно изобразить единичный отрезок как единицу измерения. Расстояния между числами одинаковые и равны единичному отрезку.
В 1963 году Станислав Улам предложил изображение натуральных чисел в виде спирали. Сегодня это визуальное представление натуральных чисел известно как .
Скатерть Улама
Двумерная плоскость разбита на квадраты одинакового размера. В центре спирали находится единица, вокруг неё в каждый квадрат вписывается одно натуральное число по спирали. Данная спираль построена без применения каких-либо единиц измерения, ноль отсутствует.
В 1994 году Роберт Сакс расположил натуральные числа по Архимедовой спирали и получил спираль, известную сегодня как спираль Сакса (в Википедии описана в разделе "Вариации скатерти Улама").
Спираль Сакса
Для построения спирали Сакс использовал единицы измерения углов для поворота и единицы измерения длины для определения расстояния от центра спирали до каждого натурального числа. В центре спирали расположен ноль единиц измерения длины, на нулевом луче единиц измерения углов Сакс расположил квадраты натуральных чисел.
Нет, сегодня я не буду вам рассказывать, почему число 13 считается несчастливым. Все числа одинаковы. Это мы сами считаем некоторые числа счастливыми или несчастливыми, положительными или отрицательными. Сегодня речь пойдет о сумме двух чисел на циферблате часов. Почему сложение двух цифр на циферблате часов равно 13? Мы видим на циферблате шесть пар таких чисел. Объяснение очень простое.
Почему 13?
Если мы прибавим 1 к одному слагаемому и вычтем 1 из другого слагаемого, сумма останется неизменной. Такой фокус можно повторять много раз и результат сложения не изменится. Это свойство сложения (или свойство чисел?) можно наблюдать не только на циферблате часов, но и на числовой оси.
Сумма на числовой оси
В качестве исходной суммы на числовой прямой можно взять два соседних числа (верхняя картинка) или два числа, расположенных рядом с выбранным нами числом (нижняя картинка). Такие суммы я назвал «суммы разложения». На подобном свойстве чисел можно придумать много разных математических фокусов, типа "загадайте любое число...", а дальше пляски шаманов с бубнами вокруг загаданного числа. Цель - пусть человек сам скажет достаточно информации для отгадывания задуманного числа. Надеюсь, делить на 2 в уме многие научились.
Если взять любую сумму, то все остальные суммы можно разделить на три группы: одинаковые суммы, суммы разложения и другие суммы. Критериями классификации являются слагаемые и результат сложения.
Одинаковые суммы
Одинаковые суммы объединяются в отдельную группу свойством коммутативности. Суммы из этой группы имеют попарно одинаковые по величине слагаемые и равное количество слагаемых. Результат сложения этих сумм одинаковый. Пример одинаковых сумм:
Одинаковые суммы
Количество сумм в данной группе определяется количеством слагаемых. Для бесконечных сумм оно равно бесконечности.
Суммы разложения
Если результаты сложения разного количества слагаемых или разных по величине слагаемых одинаковые, то такие суммы образуют группу разложения:
Суммы разложения
Любую из этих сумм можно получить разложением результата сложения на слагаемые при помощи линейных угловых функций. Получив при этом два слагаемых, любое из них можно также разложить на слагаемые и так далее. Пример разложения для первых трех сумм:
Разложение на слагаемые
Пример разложения числа на три слагаемых показывает, что разные варианты разложения могут давать одну и ту же сумму, что лежит в основе ассоциативных свойств сложения. Чем больше слагаемых содержит сумма, тем больше различных вариантов разложения может быть. Разложение на слагаемые можно продолжать до бесконечности. Разные углы и разные алгоритмы разложения позволяют получить разные варианты бесконечных сумм. Теория пределов позволяет определить результат сложения на основе анализа слагаемых. Разложение на слагаемые позволяет результат суммирования представить в виде бесконечного ряда слагаемых.
Для примера разложим единицу в бесконечную сумму по следующему принципу: разложение выполняется под углом 45°, каждое второе слагаемое раскладывается на два слагаемых:
Разложение на бесконечное количество слагаемых
В фигурных скобках указана сумма невидимой компенсирующей группы слагаемых, дополняющая результат сложения до целой единицы. Можно предположить, что любая сумма, даже бесконечный расходящийся ряд, в тригонометрическом виде равна единице.
Другие суммы
Если результат сложения любой суммы отличается от результата сложения рассматриваемой суммы, то эта сумма не имеет никакого отношения к рассматриваемой сумме и относится к группе «другие суммы».
Предположим, что для суммы a+b=c существует другой результат сложения d, не равный c. То есть, a+b=d. Представим эти два выражения с использованием линейных угловых функций, а затем переведем их в тригонометрический вид:
Разные результаты сложения
Предположение о наличии разных результатов сложения у одной и той же суммы выводит нас за пределы математики, где основные тригонометрические соотношения перестают работать:
За пределами математики
Почему одна и та же сумма слагаемых не может иметь двух разных результатов сложения? Понять это можно, рассмотрев обратный процесс – превращение тригонометрических функций в конкретные математические суммы. Более подробно мы рассмотрим это в отдельной публикации.
В завершение разговора о наличии двух разных результатов сложения у расходящихся рядов, я приведу пример из физики. В земной коре (сходящийся ряд [4]) существуют природные пещеры (сумма сходящегося ряда). Используя специальные механизмы (сходимость по Чезаро и др.) мы можем получить искусственные тоннели (сумма сходящегося ряда). В морях и океанах (расходящийся ряд) нет природных пещер (сумма ряда отсутствует). Применение специальных механизмов (сходимость по Чезаро и др.) позволяет нам получить искусственные тоннели (сумма расходящегося ряда) в водной толще. На основании этой, математически доказанной, теории можно спроектировать сеть тоннелей для автомобильных и железных дорог, опоясывающих всю земную поверхность. Такая теория вполне возможна, если мы не понимаем различия между твердыми телами (сходящийся ряд) и жидкостями (расходящийся ряд).
Вывод
Не существует математических методов, позволяющих получить другой результат сложения для рассматриваемой суммы.
Применение сдвига в арифметике приводит к сложению слагаемых с разными единицами измерения.
Рассмотрим результаты сдвига в арифметическом сложении. Сдвиг возможен при выполнении сложения в столбик. Для примера возьмём трехзначное число и прибавим к нему такое же число без сдвига, со сдвигом на одну позицию и со сдвигом на две позиции. При этом будем соблюдать правило, принятое при сдвиге бесконечных рядов – отбрасываем цифры второго слагаемого, выходящие за границы первого числа:
Сложение со сдвигом в столбик
Как и при сложении бесконечных рядов, сдвиг на разное количество позиций приводит к разным результатам. Можно записать эти же выражения в строку с последующим указанием единиц измерения каждого из слагаемых:
Сложение со сдвигом в строку
Вывод
Сдвиг приводит к изменению единицы измерения сдвигаемого слагаемого. Сдвиг является нарушением законов сложения - нельзя складывать слагаемые с разными единицами измерения.
P.S. 17.07.2023г. В журнальной публикации этого нет, но считаю необходимым добавить свой комментарий. Применение сдвига в арифметике наглядно показывает, чем "примитивная" математика отличается от высшей математики. В высшей математике можно делать всё, что угодно, если это принимается математическим сообществом. Придумали правила, написали определение и уже любой маразм выглядит как "научное достижение". С реальностью сравнивать никто ничего даже не пытается. Ведь в самом начале математики утверждают, что их наука изучает абстрактные понятия. Типа, "Чур, я в домике".
Кстати. Такая любимая математиками "абстрактная единица" - это не просто единица, а единица измерения чисел. Да, в терии чисел единицы могут иметь разный размер и определяется размер конкретной единицы системой счисления: двоичная, десятичная, шестнадцатиричная и так далее. Для выполнения математических действий с числами, они должны бить выражены в одинаковых системах счисления. Знаменатель дроби также обладает всеми свойствами единицы измерения. Нельзя сложить две дроби с разными знаменателями. Для сложения их приводят к общему знаменателю (в обычных единицах измерения это делается изменением угла масштаба). При умножении двух дробей с разными знаменателями мы получаем дробь с новым знаменателем. Всё, как с физическими единицами измерения.
При выполнении математических действий с бесконечными рядами необходимо соблюдать правила позиционной системы счисления.
Количество слагаемых
Количество слагаемых бесконечного ряда, представленных в видимой части ряда, необходимо рассматривать как аналог записи числа при помощи цифр в позиционной системе счисления. Количество слагаемых в видимой части ряда аналогично округлению обычной десятичной дроби с определенной точностью, то есть до определенного количества знаков после запятой.
При выполнении математических действий с бесконечными рядами, для каждого примера необходимо использовать одинаковое количество слагаемых в видимой части ряда. Если не соблюдать данное правило, это может приводить к ошибочному результату. В математике не принято использовать в одном примере какое-либо число с разной точностью округления.
Сдвиг ряда
Сдвиг бесконечного ряда при выполнении математических действий автоматически приводит к неправильному результату. Это аналогично добавлению нулей в десятичную дробь сразу после запятой.
Рассмотрим пример. Если из любого ряда вычесть такой же ряд без сдвига, результат будет равен нулю. Если при вычитании использовать сдвиг и не учитывать компенсирующую группу слагаемых, то результат будет отличным от нуля. Пусть у нас есть ряд S. Запишем ряд –S и сложим эти два ряда. В результате должен получиться ноль. Выполнив сложение без сдвига, мы получаем правильный результат.
Сложение без сдвига
Сдвиг на одну позицию приводит к неправильному результату.
Сдвиг на одну позицию
Сдвиг на две позиции приводит к другому неправильному результату.
Сдвиг на две позции
Сдвиги на произвольное количество позиций позволяют получить бесконечное множество неправильных результатов.
Соблюдение правила об одинаковом количестве слагаемых бесконечного ряда в одном примере и использование компенсирующей группы слагаемых (выделена фигурными скобками) позволяет избежать ошибки. Но в приведенных примерах этот способ более трудоемкий, чем отказ от сдвига.
Сдвиг с компенсирующей группой слагаемых
Проанализируем несколько наиболее известных примеров определения сумм бесконечных расходящихся рядов.
Сумма ряда Гранди
В приведенном примере сумма ряда Гранди равна одной второй, что является не верным результатом.
Сумма ряда Гранди
Во второй строке стоит знак равенства между двумя разными суммами: одна сумма состоит из пяти слагаемых, не равных нулю, вторая – из четырех. В этом примере использована оптическая иллюзия равенства разных сумм, если одно слагаемое спрятать за троеточие бесконечности.
Сумма знакопеременного ряда
Ниже приведен знакопеременный ряд и решение по определению его суммы.
Сумма знакопеременного ряда
В предлагаемом решении один и тот же ряд представлен разным количеством слагаемых: от четырех до шести. При выполнении математических действий и перестановке слагаемых игнорируется компенсирующая группа слагаемых. Не рассмотрены два других способа получения суммы 4s: сложение рядов без сдвига и умножение исходного ряда s на 4. Оба эти способа дают одинаковый результат, что указывает на математическую точность выполненных вычислений.
Сумма 4s
Сумма натуральных чисел
Рассмотрим сумму бесконечного ряда натуральных чисел. Интуитивно, это расходящийся бесконечный ряд, который не может иметь конечного значения суммы. Но, вот пример вычисления суммы этого бесконечного ряда.
Сумма натуральных чисел
Типичные ошибки этих вычислений приведены в примере выше. Не выполнена проверка решения: исходный ряд с, умноженный на минус три, равен:
Проверка решения
Вывод
Все приведенные выше способы нахождения суммы бесконечного ряда являются не чем иным, чем подгонкой решения под заданный результат. Никто не мешает математикам устанавливать собственные правила виртуальных игр в числа. Но применение подобных результатов «вычислений» в законах физики приводит к неправильному их пониманию. Например, числовой коэффициент, обусловленный каким-либо физическим параметром или просто поправочный коэффициент, трактуется как сумма какого-нибудь бесконечного ряда. Примером ошибочного истолкования числовых коэффициентов будет следующее утверждение: площадь прямоугольного треугольника равна сумме ряда Гранди, умноженному на произведение его катетов.
В прошлый раз я рассказывал, как математики обманывают маленьких детей. Сейчас я покажу, как они обманывают взрослых. То, что вы увидите - это не математика, это обычный трюк иллюзионистов, математический фокус.
В статье «» приводится пример бесконечной суммы, якобы доказывающий, что итоговая сумма зависит от порядка сложения. Рассмотрим этот пример с более тщательным соблюдением правил записи математических выражений.
Перестановка слагаемых в бесконечных суммах
В первой строке представлена исходная бесконечная сумма, состоящая из шести скобок – по три слагаемых в каждой скобке. Общее количество слагаемых равно 18, итоговая сумма выражения равна нулю. Всё математическое выражение можно разделить на две группы: видимая часть выражения, представленная 18-тью слагаемыми и невидимая часть выражения, состоящая из бесконечного количества скобок, по три слагаемых в каждой скобке. Эти две части разделяет троеточие бесконечности. Обе части равняются нулю.
Во второй строке представлены те же 18 слагаемых после перестановки. Первые три пары слагаемых будут в дальнейшем представлены в видимой части выражения. Фигурными скобками выделена компенсирующая группа слагаемых.
В третьей строке шесть слагаемых видимой части остаются без изменений. Компенсирующая группа, после упрощения выражения, представлена тремя слагаемыми. Итоговый результат после перестановки слагаемых не изменился и по-прежнему равен нулю.
Четвертая строка не имеет к математике отношения. Это обычный фокус иллюзиониста, спрятавшего компенсирующую группу слагаемых в рукав бесконечности (невидимая часть выражения). Цель этого трюка – убедить доверчивых зрителей в «правдивости» ложного утверждения об изменении итоговой суммы после перестановки слагаемых. Да, так поступают карточные шулеры - прячут карту в рукав или достают её оттуда. В цырке подобный трюк называют фокусом иллюзиониста. На юридическом язые это называтся мошенничество.
Можно привести и более грубый пример перестановки слагаемых в данном выражении. Если в видимой части выражения показать слагаемые только с одним знаком, у зрителей неизбежно возникнет вопрос, куда подевались слагаемые с противоположными знаками, а это явно затруднит демонстрацию фокуса.
Перестановку слагаемых в бесконечных суммах наглядно демонстрирует принцип сообщающихся сосудов. Первый сосуд – это видимая часть выражения. Второй сосуд – это невидимая часть выражения, включающая компенсирующую группу слагаемых. Троеточие бесконечности – это соединительный патрубок между сосудами. Итоговая сумма выражения – это общий объем жидкости в двух сосудах. Поскольку в нашем математическом примере итоговая сумма равна нулю, то применительно к сообщающимся сосудам, мы рассматриваем первоначальный общий уровень жидкости в сосудах, как ноль относительной системы координат. Изменение количества или величины слагаемых в видимой части выражения будет приводить к изменению количества или величины слагаемых в компенсирующей группе.
Если последнее выражение рассматривать без невидимой компенсирующей группы слагаемых, тогда это будет не результат перестановки слагаемых, а совсем другая бесконечная сумма, содержащая только часть слагаемых из первоначального выражения и никак с ним не связанная. Доказательством этого факта является разная итоговая сумма двух выражений.
Со школьной скамьи всем нам известно правило, появившееся ещё в древности: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Об этом матемаики никогда не говорят, но по умолчанию подразумевается, что количество слагаемых и их величина после перестановки остаются неизменными. Если мы изменим количество слагаемых или изменим величину хотя бы одного из них, о перестановке слагаемых уже не может быть речи. В этом случае мы перешли от одной суммы к совершенно другой сумме и эти две суммы никак между собой не связаны.
Но математики утверждают, что после перемены слагаемых сумма может меняться. Даже конкретные "примеры" из жизни приводят. В статье «», рассчитанной на младших школьников, приводится несколько примеров, якобы доказывающих, что сумма зависит от порядка сложения. При этом матемаики сами не понимают, что же именно они делают. Давайте рассмотрим эти "примеры" более внимательно.
Покупка в ювелирном магазине
Вы приходите в ювелирный магазин. Просите продать вам коробочку для перстня за 100 рублей и перстень за 100 000 рублей. Общая сумма равна 100 100 рублей. Но если вы купите сперва перстень а потом согласитесь на упаковку этого перстня, "то цена покупки может оказаться больше, например 100 тысяч 500 рублей!" (цитирую шедевр математической мысли из оригинала). Что же фактически сделали математики? Они изменили величину одного из слагаемых. Ведь "коробочка для перстня" и "упаковка" - это совершенно разные вещи, если они имеют разную цену. Слагаемое «упаковка», скорее всего, включает в себя: «коробочка_для_перстня + декоративная_коробочка + лента_с_бантиком + пакетик».
Перестановка слагаемых
Покупка на рынке
На рынке продаются апельсины и яблоки по одинаковой цене 100 рублей за килограм. Вы покупаете одно яблоко за 10 рублей и тонну апельсин за 100 000 рублей. Общая сумма равна 100 010 рублей. "Если же вы берете тонну апельсинов, да еще просите добавить туда одно яблоко, «они ведь по одной цене», то получите то же самое, скорее всего, «всего лишь» за 100 000 рублей." (цитирую ещё один шедевр математической мысли). Сумма «яблоко + 1_тонна_апельсин» превращается в другую сумму «1_тонна_апельсин + ноль». Здесь после перестановки одно слагаемое исчезло, что привело к другому результату. Можно предположить, что из тонны взяли один апельсин и заменили его одним яблоком. Либо одно яблоко было подарено бесплатно в качестве бонуса за крупную покупку. Но это уже психология рынка, а не математика.
Вот так взрослые математики обманывают маленьких деток. Но это ещё не всё. Обманывают математики не только маленьких, но и взрослых. Как они это делают? Для этого мы отправимся в цирк и посмотрим на выступление иллюзионистов от математики. Естественно, с разобласением секрета фокуса.
Я не стану вам рассказывать рецепты приготовления борща, я буду говорить о математике. Что такое ? Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщового" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.
Тригонометрия борща
Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.
В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.
Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.
Тригонометрия сложения
Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.
Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или другие единицы измерения.
Закон сложения
На рисунке показаны два уровня различий для математических величин. Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a, b, c. Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U. Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.
Закон сложения для борща
Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.
И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.
Первый вариант. Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.
Второй вариант. Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.
Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.
Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.
Угол равен нулю
Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).
Что это было?
Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что ноль не является числом. Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.
Угол больше нуля, но меньше прямого угла
Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.
Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).
Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.
Прямой угол
Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))
Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.
Проценты.
Проценты
Деление клетки.
Деление клетки
Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.
Общий бизнес
Появление математики на нашей планете.
Появление математики
Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.
