Тригонометрия и деление на ноль

Почему меня так удивил результат деления нуля на ноль при преобразовании формулы площади трапеции? В этой статье постараюсь вам объяснить.

Я давно изучаю тригонометрию. Те тригонометрические преобразования, которые я вам сейчас покажу, лично для меня находятся где-то в основании математики. В тех утерянных страницах учебников по математике, которые предшествовали натуральным числам. Или которые нам ещё только предстоит написать. Вопрос ко всем вам: без понимания чего не могло возникнуть само понятие счета?

Тригонометрия

Это маленькое лирическое отступление для тех математиков, которые давно уже забыли тригонометрию. Какой уважающий себя математик будет заниматься такой давно известной ерундой, как тригонометрия? Специально для них я напоминаю:

Тригонометрия формулы

Школьники хорошо знают эти тригонометрические формулы. Они проверены практическим применением на протяжении сотен лет. Многие поколения математиков без особых проблем применяли эти тригонометрические преобразования. У меня нет никаких основания сомневаться в правильности этих тригонометрических формул.

Но в этих формулах заложена одна маленькая задача, решение которой оказалась не по зубам всем поколениям математиков. Называется эта задача «деление на ноль». Сейчас мы посмотрим, как она выглядит в тригонометрических формулах.

Деление на ноль

Теперь мы будем подставлять значения тригонометрических функций при разных значениях углов в приведенные тригонометрические формулы. Никаких особых проблем при этом не возникает, за исключением углов, равных 0 и 90 градусов. Посмотрим, что при этом получается:

Тригонометрия и деление на ноль

Тригонометрические формулы однозначно показывают, что:

1. В результате деления нуля на ноль получается единица.

2. Деление числа (единица) на ноль возможно.

Утверждение под номером 1 мне уже очень давно известно. Если приведенные формулы – это алгебра, то с геометрическим и физическим смыслом деления нуля на ноль у меня нет никаких проблем. Возможно, я об этом уже писал. Не помню. Если не писал, тогда напишу.

В возможность деления числа на ноль я долго не верил. Совсем недавно я решил и эту задачу. Сейчас нужно всё красиво оформить и опубликовать. К сожалению, всё мое время занято зарабатыванием денег для существования, а не решением математических задач.

Кстати, в возможность деления на ноль я верю очень давно. Именно эта вера заставила меня заняться тригонометрией. Я не знал тригонометрию ни в школе, ни в институте. Именно понимание тригонометрии позволяет найти решение задачи по делению на ноль. Достаточно знать, что и где искать. Что нужно искать, вы уже знаете. Где нужно искать, я вам скоро покажу вместе с основными принципами деления на ноль.

Порядок выполнения математических действий
и результат деления на ноль

Теперь вернемся к маленькой проблеме, состоящей в том, что деление нуля на ноль имеет разные результаты в разных формулах: в тригонометрических формулах и в формуле преобразования площади трапеции. Вполне возможно, что результат зависит не от математических действий, а от порядка выполнения умножения и деления.

Напомню, что по правилам математики умножение и деление выполняются в том порядке, в котором они записаны в математическом выражении. Кто записывает математическое выражение? Математик. На каком основании? А вот это уже вопрос интересный. В идеальном случае порядок математических действий должен определяться физическим процессом, который описывает математическое выражение. По факту же, в каком порядке математик захочет, в таком и запишет. Но давайте посмотрим, что я имею ввиду:

Математические действия и деление на ноль

На мой взгляд, такой вариант лучше вписывается в математические правила. Но определяющим фактором будет результат практического применения этих теорий в будущем. Почему результат деления единицы на ноль я обозначил «х»? Каким бы он ни был, в результате умножения на ноль мы получим ноль.

Вывод

Авторитетно заявлять я не имею ни морального, ни юридического права. У меня нет ни авторитета, ни математического образования и к математике я не имею никакого отношения. Математика – это моё хобби. Но это является моим главным преимуществом. Я могу говорить всё, что считаю нужным. Ни с учебного заведения, ни с работы меня за это никто не выгонит. Поэтому, как существо разумное, я вам скажу следующее.

Математики совершенно правы, когда говорят, что деление на ноль невозможно. В рамках теории чисел эту задачу никто не смог решить и вряд ли сможет. Теория множеств вообще к математике никакого отношения не имеет. Какие ещё инструменты есть у математиков для решения задачи по делению на ноль? Геометрия? Или что-то ещё?

Я считаю, что главная ошибка математиков заключается в глобальном подходе к решению задач. Математики всегда всё обобщают и расширяют. Правильный научный подход предполагает так же умение разобщать и сужать. Без этого наука превращается в заурядную религию. Современные математики не способны даже слагаемые пальцем посчитать при перестановке слагаемых в сумме. Ну и что, что эта сумма бесконечная? Законы математики всегда, везде и для всех одинаковы. У меня ещё очень много вопросов к математикам по типу «Почему именно так, а не иначе?». Надеюсь, я успею их сформулировать.

Больше интересных математических идей на странице "Моя математика"

Площадь треугольника через котангенс

Сейчас мы разберемся, как находить площадь треугольника через котангенс, точнее, рассмотрим вывод формулы. Как выглядит площадь треугольника при вычислении её через котангенс? Вот так.

Площадь треугольника через котангенс

Всем нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Куда девается высота и откуда появляются котангенсы в этой формуле? Как получить эту формулу? Рецепт довольно прост, как в кулинарии. Нужно взять необходимые компоненты этого математического блюда, предварительно их подготовить и из полуфабрикатов приготовить саму формулу. Продукты для еды мы покупаем в магазине. Где брать составные компоненты математической формулы? Треугольник у нас уже есть. Еще нам понадобится определение котангенса через треугольник. Берем на указанной странице картинку и вырезаем необходимые компоненты.

Котангенс

Теперь начинаются работы по предварительной подготовке к процессу выведения формулы. Как и на кухне, нужно всё соответствующим образом подготовить - почистить, нарезать, поджарить, отварить... Короче, вы гораздо лучше меня знаете, что нужно делать на кухне. Я умею только покушать.

Площадь треугольника через котангенс

Убираем из рисунка всё лишнее. Красным цветом я дорисовал то, что нам будет нужно. Высота треугольника входит в площадь треугольника. Она делит основание на два отрезка. Длинна каждого отрезка определяется как проекция на основание выше расположенной стороны треугольника. Пользуясь портретом тангенса, я без труда определяю, что использовать нужно косинусы углов. Запишем формулу основания как сумму двух проекций сторон. Переходим к картинке котангенса.

Площадь треугольника через котангенс

Теперь с картинки треугольника нам нужно перенести все обозначения на картинку котангенса. С левым углом никаких проблем нет, на обеих картинках они направлены в одну сторону. Используя старые обозначения в формуле котангенса и знак равенства на картинке, мы без труда получаем формулу котангенса угла альфа для нашего треугольника. А вот с углом бета возникли маленькие проблемы. Он смотрит в другую сторону. Не отчаиваемся. Как заправские спецназовцы, берем картинку с углом альфа и проводим операцию "фейс даун", то есть кладем её мордой в пол. Надеваем на неё наручники и подносим к окну. Сквозь лист бумаги проступает расплывчатый рисунок... Вау! Да это же тот самый угол, который нам нужен! А притворялся другим углом (в кулинарных рецептах вы подобных приемчиков не найдете, но ведь и математика - не кулинария). Ставим свои обозначения на перевернутой картинке и получаем значение котангенса угла бета.

Всё. Теперь приступаем к приготовлению самого блюда, то есть к выведению формулы площади треугольника через котангенсы двух углов альфа и бета. Повторяю, что начинаем мы с общей формулы, где площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Записываем всё раздельно: половинку, основание и высоту. Потом с высотой начинаем выполнять волшебные превращения в строгом соответствии с уже полученными нами формулами.

Площадь треугольника через котангенс

В конце полученное нами значение высоты треугольника, выраженное через котангенс, подставляем в первую формулу и слепливаем всё в кучку. Как видите, ничего сложного в этом рецепте нет.

Общая рекомендация при выведении других формул. Смотрите, что у вас есть в начале и в конце. Ищите то, чем это можно связать вместе. В нашем случае начало и конец связываются определением котангенса через треугольник.

Таблица Брадиса тангенсы котангенсы

Таблица Брадиса тангенсы котангенсы - это четырехзначная таблица тангенсов и котангенсов в градусах с точностью до одной минуты. В начале приведено несколько примеров, как этой таблицей пользоваться. Для удобства в таблицу включены дополнительные навигационные элементы с указанием названием названий функций и значений минут по столбцам для каждой функции. Так же значения градусов и минут для каждой тригонометрической функции выделены разными цветами: для тангенсов - зеленым, для котангенсов - голубым. Дополнительные значения для минут выделены желтым цветом.

Таблица Брадиса для тангенсов и котангенсов состоит из двух частей. Первая часть включает тангенсы от 0 до 75 градусов и котангенсы от 15 до 90 градусов. Прежде, чем пользоваться этой таблицей, рекомендуется по имеющимся примерам найти значения тангенсов и котангенсов по таблице и сравнить результаты. Если у вас всё получилось правильно, значит вы можете считать себя опытным пользователем таблицы.

При пользовании этой таблицей необходимо помнить, что добавочные значения одной, двух и трех минут для тангенса имеют знак плюс и при сложении прибавляются а при вычитании вычитаются, для котангенса они имеют знак минус и при сложении вычитаются, а при вычитании прибавляются. Для проверки сравнивайте полученный результат со значениями одноименных тригонометрических функций в рядом расположенных ячейках.

Вторая часть таблицы Брадиса включает тангенсы от 75 до 90 градусов и котангенсы от 0 до 15 градусов. Этой таблицей пользоваться несколько проще, чем первой частью.

Для тангенса 90 градусов и котангенса 0 градусов значение не определено. Так принято считать потому, что задачу по делению на ноль математикам до сих пор так и не удалось решить.

Если вам нужна таблица Брадиса синусы и косинусы, то её можно найти на отдельной странице.

Тригонометрическая таблица - тригонометрический круг

Тригонометрическая таблица с тригонометрическим кругом, да ещё всё это работает под управлением мышки!!! Мимо такой прикольной штучки я не смог пройти равнодушно - я стырил её специально для блондинок. Надеюсь, разработчики этой тригонометрической красоты меня простят. Если есть претензии, я удалю эту страничку. Но, честно, жалко будет расставаться с такой красивой тригонометрической игрушкой.

Упс! Не хочет ворованная тригонометрическая таблица работать на чужого хозяина. Сейчас попытаюсь перехитрить противную программу.

Готово! На другом моем сайте всё прекрасно работает. Милости прошу по ссылке на страницу "Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг".

Выглядит эта штучка вот так.

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг

Когда курсор попадает внутрь квадрата, он превращается в крестик, которим можно вращать пунктирную линию из точек. Крестик курсора показывает, в какой четверти тригонометрическиго круга вы сейчас находитесь. В левом верхнем углу указывается угол в радианах и в градусах (в скобках). Ниже вы увидите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для этого угла с точностью до трех знаков после запятой. При вращении линии курсором изменяются значения угла и тригонометрических функций, в том числе появляется знак минус.

Вот чего не умеет эта программа, так это наматывать круги. Вы не увидите значение угла в 713 градусов или 1346,47 пи, сколько бы не старались. Программу писали программисты, а не математики. Им на все эти забобоны математиков наплевать. Не смотря на это, очень рекомендую побаловаться этой программой и проследить, что и как меняется в зависимости от ваших действий. Это поможет вам лучше понимать, что и как работает в тригонометрии.

Котангенс формулы приведения

Котангенс формулы приведения - последняя картинка из серии картинок формул приведения тригонометрических функций.

Котангенс формулы приведения

Я не буду сильно много писать о формулах приведения котангенса, для формул синуса, косинуса и тангенса написано достаточно, не буду повторяться. Скажу пару слов о другом.

Наверное, как всякая блондинка, я очень туго соображаю. В процессе подготовки к публикации формул приведения котангенса, до меня наконец-то дошло, что всю эту гору формул можно заменить одним простым правилом, касающимся названий тригонометрических функций и изобразить это правило в виде очень простой и наглядной картинки - ведь в настоящей математике всё должно быть очень просто и наглядно. Сейчас нарисую. В следующей публикации встречайте новое математическое правило прямого угла для преобразования тригонометрических функций. Надеюсь, это правило поможет вам лучше понимать формулы приведения котангенса.

Таблица котангенсов от 1 до 360 градусов

Таблица котангенсов от 1 до 360 градусов. Значения котангенсов в таблице даны через один градус с точностью до десятитысячной - это четыре знака после запятой.

Котангенс нуля градусов не определен, поскольку возникает деление на ноль (это следует из определения котангенса).

Тригонометрическая функция котангенс имеет положительные значения от 1 до 89 и от 181 до 269 градусов. Для углов от 91 до 179 и от 271 до 359 градусов значения котангенса отрицательны.

Котангенс 0 (ctg 0), 180 (ctg 180), 360 (ctg 360) градусов не определен в связи с невозможностью деления на ноль. Значения котангенса 90 (ctg 90) и 270 (ctg 270) градусов равны нулю. Единице равняются значения котангенсов 45 (ctg 45) и 225 (ctg 225) градусов. Минус единице котангенс равен при 135 (ctg 135) и 315 (ctg 315) градусов.

На этом же сайте вашему вниманию предлагаются такие же таблицы тангенсов, синусов и косинусов.

Найти значение:

Котангенс 225 градусов - это ровно единичка, 1,0000, в таблице котангенсов на картинке можно найти это значение.

Катангенс 37 градусов - ctg 37 равен 1,3270.

Котангенс 1го градусов - равняется 57,2900. Удивительно, но разные люди в одинаковых фразах делают одинаковые опечатки.

ctg нуля сколько - математики говорят, "значение котангенса 0 градусов не определено" потому, что получается деление на ноль.

Тригонометрическая таблица

Тригонометрическая таблица значений тригонометрических функций содержит углы в градусах и радианах, что очень удобно для перевода градусов в радианы и наоборот, радианов в градусы. В этой тригонометрической таблице значения функций представлены в виде дробей с квадратными корнями, что позволяет сокращать дроби при решении школьных примеров. В таблице есть синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec).

Тригонометрическая таблица

Это правильная тригонометрическая таблица, дробные значения с квадратными корнями представлены в ней в кошерном для математиков виде. Я не знаю, с чем связана у математиков аллергия на квадратные корни в знаменателе, но они всегда стараются от них избавиться. И помогают им в этом свойства дробей, которые всегда и везде одинаковы. Даже путин не в состоянии ничего изменить. Одно из волшебных свойств дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, дробь не изменится. И ни какое стадо российских депутатов этот закон отменить не в состоянии. Математика - это не собственный народ или соседей грабить. Даже Боги могут только пользоваться законами математики, но не изменять их. Хотя, дуракам закон не писан.

Избавиться от квадратного корня в знаменателе дроби проще простого - для этого достаточно умножить дробь на единицу в хитром виде. А хитрый вид единица принимает тогда, когда её заменяют дробью с одинаковыми числами в числителе и знаменателе, при этом числа могут быть любые. Весь математический фокус заключается в том, что при умножении одного числа под знаком квадратного корня на точно такое же другое число число под знаком квадратного корня, квадратный корень волшебным образом испаряется а число освобождается от всяких прибамбасов. У этого "великолепного" (как сказал бы Трамп) фокуса есть побочный эффект: число, вместе с квадратным корнем, нехотя перелезает из знаменателя дроби в числитель. Ниже на картинке показано, как убрать из знаменателя корень из двух.

Свойства дробей

Чтобы облегчить жизнь блондинкам, мы еще не раз будем разбирать эту тригонометрическую таблицу на строчки синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов, на столбики градусов и радиан, на отдельные квадратики значений тригонометрических функций.

В тригонометрической таблице представлены синус угла sin 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов или 0, пи/6, пи/4, пи/3, пи/2, пи, 3пи/2, 2пи радиан. Значения синуса угла sin 0, 1/2, корень из 2 деленный на 2, корень из 3 деленный на 2, единица и минус единица. Строчка напротив буквочек sin називается еще таблица синусов.

Таблица значений тригонометрических функций содержит косинус угла cos 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусов. Если перевести эти углы в радианы, мы получим 0 пи, пи на 6, пи на 4, пи на 3, пи на 2, пи, 3 пи на 2, 2 пи радиан. Таблица косинусов этих углов представляет собой строчку напротив букв cos, в которой записаны единица, корень из трех деленный на два, корень из двух деленный на два, одна вторая, ноль и минус единица.

Первых две строчки этой таблицы sin и cos - это таблица синусов и косинусов.

Таблица тангенсов спряталась ниже таблицы синусов и косинусов в строчке с двумя буковками tg. Как это ни странно, но здесь присутствуют те же тангенс угла tg 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусов. И в радианы они переводятся точно так же 0 пи, пи / 6, пи / 4, пи / 3, пи / 2, пи, 3 пи / 2, 2 пи радиан. Значения тангенсов этих углов составляют ноль, единица деленная на корень из трех, единица, корень из трех и черточка, которую иногда заменяют знаком бесконечности. Это означает, что математики не могут определить значение тригонометрической функции тангенс для углов 90 и 270 градусов. Так что, блондинки, не отчаивайтесь, даже математики могут не всё!

Еще ниже находится таблица котангенсов. Повторим еще раз те углы, для которых в тригонометрической таблице записан котангенс ctg: 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусов. И еще раз потренируемся переводить градусы в радианы: 0 пи, пи / 6, пи / 4, пи / 3, пи / 2, пи, 3 пи / 2, 2 пи радиан. Начинается котангенс угла ctg с неопределенности, обозначенной черточкой, дальше идут корень из трех, единица, единица деленная на корень из трех, ноль.

Две средние строчки тригонометрической таблицы складываются в таблицу тангенсов и котангенсов.

Две последние строчки тригонометрической таблицы занимают секанс, который обозначается sec, и косеканс, который обозначается cosec. Поскольку эти тригонометрические функции обратны косинусу и синусу соответственно, то и значения этих функций обратны значениям косинуса и синуса. Обращаю ваше особое внимание на то, что математики в очередной раз попытались запутать блондинок, нарушив логику применения приставки КО. У них получилось, что секанс - это тригонометрическая функция, обратная КОсинусу, а КОсеканс - обратная синусу. Естественно, что для секанса и косеканса есть углы, значения функций для которых не определены.

В завершение немного ваших вопросов и моих ответов на них:

Таблица тригонометрических функций основных углов - в тригонометрической таблице приведены самые распространенные в учебниках и примерах углы.

Таблица косинуса синуса тангенса и котангенса бесплатно - все эти функции здесь собраны в одну кучку и смотреть на них можно совершенно бесплатно.

Тригонометрическая таблица sin cos tg ctg - а еще здесь есть sec и cosec, в градусах и радианах.

Тангенс пи на 4 - как же только не извращаются математики, чтобы замаскировать обыкновенную единичку.

Синус 180 градусов равен - а вот так математики могут замаскировать обыкновенный ноль. Прямо не математика, а женская сумочка какая-то - покуда что-нибудь найдешь...

sin нуля - ну вот, ещё один ноль они спрятали, правда не очень далеко, но коварно - в cos 0 за нулем прячется единица. Попробуй тут не запутаться.

Таблица синусов и косинусов в радианах - ну, здесь не самая большая таблица, но кое-какие радианы имеются. Нужно будет соорудить что-нибудь монументальное, в духе Зураба Церетели.

Таблица часто встречающихся значений синуса косинуса тангенса котангенса - здесь есть нужные вам значения. Если вы считаете, что другие значения встречаются чаще, сообщите мне об этом, я исправлю досадное недоразумение.

ctg 225 градусов - равен единице (1). В таблице для ботаников этого нет, приходится самим додумывать. Плохая тригонометрическая таблица, нужно другую нарисовать, специально для серии "Тригонометрия для блондинок".

Таблица синусов и косинусов в дробях - да, именно в виде дроби записаны значения шести тригонометрических функций для некоторых углов в таблице на рисунке.

Таблиця косинусів синусів тангенсів котангенсів - вау! в Украине тоже изучают тригонометрическую таблицу! А я считал, что там только выборами занимаются. Наверное, они по этим таблицам прогнозы выборов считают.

Школьная таблица тангенса - есть здесь и тангенс в виде дроби, специально для школьников.

Вычислить cosekans - здесь есть косекансы в таблице. Хотя, в сокращенном виде косеканс пишется как "cosec", а по-английски это пишется "cosecant".

Таблица тангенсов с использованием пи - за неимением лучшей, пока могу предложить только эту таблицу.