пятница, 13 декабря 2024 г.

Тригонометрия и деление на ноль

Почему меня так удивил результат деления нуля на ноль при преобразовании формулы площади трапеции? В этой статье постараюсь вам объяснить.

Я давно изучаю тригонометрию. Те тригонометрические преобразования, которые я вам сейчас покажу, лично для меня находятся где-то в основании математики. В тех утерянных страницах учебников по математике, которые предшествовали натуральным числам. Или которые нам ещё только предстоит написать. Вопрос ко всем вам: без понимания чего не могло возникнуть само понятие счета?

Тригонометрия


Это маленькое лирическое отступление для тех математиков, которые давно уже забыли тригонометрию. Какой уважающий себя математик будет заниматься такой давно известной ерундой, как тригонометрия? Специально для них я напоминаю:

Тригонометрия формулы. Тригонометрия и деление на ноль. Тангенс, котангенс, синус, косинус. Математика для блондинок.
Тригонометрия формулы

Школьники хорошо знают эти тригонометрические формулы. Они проверены практическим применением на протяжении сотен лет. Многие поколения математиков без особых проблем применяли эти тригонометрические преобразования. У меня нет никаких основания сомневаться в правильности этих тригонометрических формул.

Но в этих формулах заложена одна маленькая задача, решение которой оказалась не по зубам всем поколениям математиков. Называется эта задача «деление на ноль». Сейчас мы посмотрим, как она выглядит в тригонометрических формулах.

Деление на ноль


Теперь мы будем подставлять значения тригонометрических функций при разных значениях углов в приведенные тригонометрические формулы. Никаких особых проблем при этом не возникает, за исключением углов, равных 0 и 90 градусов. Посмотрим, что при этом получается:

Тригонометрия и деление на ноль. Тангенс, котангенс, синус, косинус. Автор Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Тригонометрия и деление на ноль

Тригонометрические формулы однозначно показывают, что:

    1. В результате деления нуля на ноль получается единица.

    2. Деление числа (единица) на ноль возможно.

Утверждение под номером 1 мне уже очень давно известно. Если приведенные формулы – это алгебра, то с геометрическим и физическим смыслом деления нуля на ноль у меня нет никаких проблем. Возможно, я об этом уже писал. Не помню. Если не писал, тогда напишу.

В возможность деления числа на ноль я долго не верил. Совсем недавно я решил и эту задачу. Сейчас нужно всё красиво оформить и опубликовать. К сожалению, всё мое время занято зарабатыванием денег для существования, а не решением математических задач.

Кстати, в возможность деления на ноль я верю очень давно. Именно эта вера заставила меня заняться тригонометрией. Я не знал тригонометрию ни в школе, ни в институте. Именно понимание тригонометрии позволяет найти решение задачи по делению на ноль. Достаточно знать, что и где искать. Что нужно искать, вы уже знаете. Где нужно искать, я вам скоро покажу вместе с основными принципами деления на ноль.

Порядок выполнения математических действий
и результат деления на ноль


Теперь вернемся к маленькой проблеме, состоящей в том, что деление нуля на ноль имеет разные результаты в разных формулах: в тригонометрических формулах и в формуле преобразования площади трапеции. Вполне возможно, что результат зависит не от математических действий, а от порядка выполнения умножения и деления.

Напомню, что по правилам математики умножение и деление выполняются в том порядке, в котором они записаны в математическом выражении. Кто записывает математическое выражение? Математик. На каком основании? А вот это уже вопрос интересный. В идеальном случае порядок математических действий должен определяться физическим процессом, который описывает математическое выражение. По факту же, в каком порядке математик захочет, в таком и запишет. Но давайте посмотрим, что я имею ввиду:

Математические действия и деление на ноль. Порядок выполнения математических действий и деление нуля на ноль. Ноль и единица. Математика для блондинок.
Математические действия и деление на ноль

На мой взгляд, такой вариант лучше вписывается в математические правила. Но определяющим фактором будет результат практического применения этих теорий в будущем. Почему результат деления единицы на ноль я обозначил «х»? Каким бы он ни был, в результате умножения на ноль мы получим ноль.

Вывод


Авторитетно заявлять я не имею ни морального, ни юридического права. У меня нет ни авторитета, ни математического образования и к математике я не имею никакого отношения. Математика – это моё хобби. Но это является моим главным преимуществом. Я могу говорить всё, что считаю нужным. Ни с учебного заведения, ни с работы меня за это никто не выгонит. Поэтому, как существо разумное, я вам скажу следующее.

Математики совершенно правы, когда говорят, что деление на ноль невозможно. В рамках теории чисел эту задачу никто не смог решить и вряд ли сможет. Теория множеств вообще к математике никакого отношения не имеет. Какие ещё инструменты есть у математиков для решения задачи по делению на ноль? Геометрия? Или что-то ещё?

Я считаю, что главная ошибка математиков заключается в глобальном подходе к решению задач. Математики всегда всё обобщают и расширяют. Правильный научный подход предполагает так же умение разобщать и сужать. Без этого наука превращается в заурядную религию. Современные математики не способны даже слагаемые пальцем посчитать при перестановке слагаемых в сумме. Ну и что, что эта сумма бесконечная? Законы математики всегда, везде и для всех одинаковы. У меня ещё очень много вопросов к математикам по типу «Почему именно так, а не иначе?». Надеюсь, я успею их сформулировать.

Больше интересных математических идей на странице "Моя математика"

понедельник, 3 июня 2024 г.

Площадь трапеции и деление на ноль

Трапеция


На своем англоязычном сайте я однажды уже рассматривал формулу диагоналей трапеции. При переходе от трапеции к прямоугольнику у меня получилось неопределенное выражение – ноль, деленный на ноль под знаком квадратного корня.

Сейчас я предлагаю рассмотреть другую формулу. В 7-м веке индийский математик Бхаскара I вывел формулу для определения площади трапеции с последовательными сторонами a, b, c, d:

Формула площади трапеции. Площадь трапеции и деление на ноль. Математика для блондинок.
Формула площади трапеции

Сведения об авторе этой формулы я взял из англоязычной страницы Википедии. Там и раньше была более интересная математика, а уж сегодня... Сегодня вся россия под руководством путина занята тем, что повторяет "подвиг" гитлеровской Германии и им не до математики.

Прямоугольник


Если к этой формуле применить условия, описывающие прямоугольник, можно получить очень интересный результат деления нуля на ноль:

Формулы преобразования трапеции в прямоугольник. Площадь трапеции и деление на ноль. Ноль, деленный на ноль, равен нулю.  Математика для блондинок.
Формулы преобразования трапеции в прямоугольник

Ноль, деленный на ноль, равен нулю. Я категорически против такого результата. Однажды я применял подобный фокус в другой формуле и у меня получилось, что ноль, деленный на ноль, равен единице. С таким результатом я согласен. Но. Никогда никому не верь, даже себе, ты тоже можешь ошибаться. Тут у меня возникла следующая идея.

Результат деления нуля на ноль зависит от математического действия, при котором оно возникает. При умножении результат равен единице, при сложении результат равен нулю.

На будущее нужно будет это запомнить и ничему не удивляться.

Параллелограмм


Вернемся к нашей формуле площади трапеции. Я вспомнил ещё одну геометрическую фигуру, у которой параллельные стороны равны – это параллелограмм.

Параллелограмм и его площадь. Площадь трапеции и деление на ноль. Математика для блондинок.
Параллелограмм и его площадь

В этой формуле присутствует синус угла между основанием параллелограмма и его боковой стороной. После преобразования формулы для площади трапеции этот сомножитель вообще отсутствует.

Формула площади параллелограмма легко преобразуется в площадь прямоугольника. Синус угла 90 градусов равен 1. Третий сомножитель в формуле площади параллелограмма исчезает, мы получаем формулу площади прямоугольника.

Деление на ноль


Такой явный баг в формуле площади трапеции говорит о том, что рассматривать результат деления нуля на ноль как правильный категорически не рекомендуется. Формула площади трапеции может применяться только для трапеции и за границами трапеции она не применима. Такая себе «русская математика» только «для внутреннего потребления» трапециями.

После некоторых размышлений, я нашел и второй вариант, подтверждающий мою догадку о результате деления нуля на ноль. Формулу площади трапеции мы преобразовали в формулу площади прямоугольника. После этого формулу площади прямоугольника мы можем без труда преобразовать в формулу площади параллелограмма. Вот как это делается.

Преобразование площади прямоугольника в площадь параллелограмма. Площадь трапеции и деление на ноль. Математика для блондинок.
Преобразование площади прямоугольника в площадь параллелограмма

Вот теперь всё стало на свои места. Снимаю шляпу перед индийским математиком, который учит нас правильно понимать деление на ноль.

Не стесняйтесь проверять математику на прочность. Вы найдете для себя очень много интересного. Математика из сложной науки превратится для вас в обычный инструмент познания.

В заключение могу повторить вывод из предыдущей статьи: хитрые уловки математиков могут привести к ложным результатам. Для примера посмотрите мою статью «Перестановка слагаемых в бесконечных суммах».

Больше интересных математичесих идей на странице "Моя математика"

четверг, 14 марта 2024 г.

Числовые спирали и простые числа

Числовые спирали и простые числа

Начало: Числовые спирали введение

Все простые числа вида Р находятся в начале числовых лучей на всех числовых спиралях, за исключением простого числа а, расположенного на главной оси а-спирали. Взаимное расположение простых чисел будет меняться в зависимости от числа а, которое лежит в основе построения спирали. Расположение простых чисел на разных числовых спиралях показано на рисунках ниже.

Простые числа на 2-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 2-спирали

Простые числа на 3-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 3-спирали

Простые числа на 4-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 4-спирали

Простые числа на 5-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Простые числа на 5-спирали

Составные числа находятся на лучах спиралей, построенных на числах, являющихся делителями этих чисел. На остальных спиралях они расположены в начале числовых лучей. Например, число 6 находится на продолжении 3-луча 2-спирали и является результатом умножения числа 3 на число 2. Это же число 6 находится на продолжении 2-луча 3-спирали и является результатом умножения числа 2 на число 3.

Рассмотрение числовых спиралей будет продолжено в последующих публикациях.

Числовые спирали и системы счисления

Числовые спирали и системы счисления

Начало: Числовые спирали введение

Числа на числовых спиралях могут быть представлены в разных системах счисления. Для примера рассмотрим числа на главной оси некоторых спиралей в разных системах счисления. Таблица 1 показывает числа на главной оси 2-спирали в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Главная ось 2-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Главная ось 2-спирали

В таблице 2 представлены числа на главной оси 10-спирали в тех же системах счисления.

Главная ось 10-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Главная ось 10-спирали

Аналогично, в таблице 3 представлены числа на главной оси 16-спирали.

Главная ось 16-спирали. Числовые спирали. Николай Хижняк.Математика для блондинок.
Главная ось 16-спирали

Как видно из таблиц выше, каждая а-спираль в системе счисления с основанием а будет состоять из отдельных витков с числами, имеющими одинаковое количество разрядов в позиционной системе счисления. Каждый следующий виток числовой спирали для числа а в системе счисления с основанием а добавляет один разряд в позиционной системе записи чисел. Каждый n-виток состоит из чисел, записываемых при помощи n+1 количества разрядов.

Если ввести правило, что единичные дуги на одном витке должны быть одинаковой длины, тогда числовая спираль превратится в набор концентрических окружностей. Каждая окружность будет содержать числа с одинаковым количеством разрядов. Введение подобного правила нарушает визуальную непрерывность натуральных чисел.

Таким образом, каждая а-спираль является графическим отображением натуральных чисел в системе счисления с основанием а, которая записана в выбранной нами системе счисления. По умолчанию мы применяем десятичную систему счисления.

Продолжение: Числовые спирали и простые числа.

Анализ числовых спиралей

Анализ числовых спиралей

Начало: Числовые спирали введение

Движение вдоль витков любой а-спирали является таблицей сложения с последовательным добавлением одной единицы к предыдущему числу, начиная с единицы. Движение вдоль лучей любой а-спирали является таблицей умножения с последовательным умножением числа, расположенного в начале луча, на число а. Эти два движения перпендикулярны, что свидетельствует о принципиальном различии сложения и умножения.

Если провести ось симметрии через главную ось любой а-спирали, тогда симметричные числа на витках образуют суммы разложения. Для любого a.n-витка эта сумма разложения равна an+an+1. Для примера суммы разложения показаны на 4.1-витке. Количество таких сумм, учитывая сумму чисел an и an+1 на главной оси, равно mn/2.

Суммы разложения. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Суммы разложения

Данное свойство числовых спиралей позволяет вычислить сумму натуральных чисел, расположенных на одном а.n-витке. Для этого необходимо сумму разложения умножить на количество таких сумм, используя формулу (1), добавить число, расположенное на оси симметрии, которое равно половине суммы разложения и вычесть число an+1, которое относится к следующему витку:

Сумма чисел на витке. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Сумма чисел на витке

Формула (3) позволяет вывести уже давно известную формулу для определения суммы всех натуральных чисел от единицы до любого числа а. Для этого необходимо определить сумму чисел на нулевом витке а-спирали и добавить само число а:
Сумма натуральных чисел. Числовые спирали. Николай Хижняк. Математика для блондинок.
Сумма натуральных чисел

Если построить числовую спираль для бесконечно большого числа (∞-спираль), начало этой спирали будет отличаться от числового луча только отсутствием нуля. Нулевой виток будет состоять из бесконечно большого количества единичных дуг, каждая единичная дуга будет ограничена лучами с бесконечно малым значением угла. Кривизна витка станет проявляться в районе очень больших чисел от начала спирали.

Продолжение: Числовые спирали и системы счисления.