Числовые спирали и простые числа

Числовые спирали и простые числа

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Все простые числа вида Р находятся в начале числовых лучей на всех числовых спиралях, за исключением простого числа а, расположенного на главной оси а-спирали. Взаимное расположение простых чисел будет меняться в зависимости от числа а, которое лежит в основе построения спирали. Расположение простых чисел на разных числовых спиралях показано на рисунках ниже.

Простые числа на 2-спирали

Простые числа на 3-спирали

Простые числа на 4-спирали

Простые числа на 5-спирали

Составные числа находятся на лучах спиралей, построенных на числах, являющихся делителями этих чисел. На остальных спиралях они расположены в начале числовых лучей. Например, число 6 находится на продолжении 3-луча 2-спирали и является результатом умножения числа 3 на число 2. Это же число 6 находится на продолжении 2-луча 3-спирали и является результатом умножения числа 2 на число 3.

Рассмотрение числовых спиралей будет продолжено в последующих публикациях.

Числовые спирали и системы счисления

Числовые спирали и системы счисления

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Числа на числовых спиралях могут быть представлены в разных системах счисления. Для примера рассмотрим числа на главной оси некоторых спиралей в разных системах счисления. Таблица 1 показывает числа на главной оси 2-спирали в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Главная ось 2-спирали

В таблице 2 представлены числа на главной оси 10-спирали в тех же системах счисления.

Главная ось 10-спирали

Аналогично, в таблице 3 представлены числа на главной оси 16-спирали.

Главная ось 16-спирали

Как видно из таблиц выше, каждая а-спираль в системе счисления с основанием а будет состоять из отдельных витков с числами, имеющими одинаковое количество разрядов в позиционной системе счисления. Каждый следующий виток числовой спирали для числа а в системе счисления с основанием а добавляет один разряд в позиционной системе записи чисел. Каждый n-виток состоит из чисел, записываемых при помощи n+1 количества разрядов.

Если ввести правило, что единичные дуги на одном витке должны быть одинаковой длины, тогда числовая спираль превратится в набор концентрических окружностей. Каждая окружность будет содержать числа с одинаковым количеством разрядов. Введение подобного правила нарушает визуальную непрерывность натуральных чисел.

Таким образом, каждая а-спираль является графическим отображением натуральных чисел в системе счисления с основанием а, которая записана в выбранной нами системе счисления. По умолчанию мы применяем десятичную систему счисления.

Продолжение: Числовые спирали и простые числа.

Анализ числовых спиралей

Анализ числовых спиралей

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Движение вдоль витков любой а-спирали является таблицей сложения с последовательным добавлением одной единицы к предыдущему числу, начиная с единицы. Движение вдоль лучей любой а-спирали является таблицей умножения с последовательным умножением числа, расположенного в начале луча, на число а. Эти два движения перпендикулярны, что свидетельствует о принципиальном различии сложения и умножения.

Если провести ось симметрии через главную ось любой а-спирали, тогда симметричные числа на витках образуют суммы разложения. Для любого a.n-витка эта сумма разложения равна aⁿ+aⁿ⁺¹. Для примера суммы разложения показаны на 4.1-витке. Количество таких сумм, учитывая сумму чисел aⁿ и aⁿ⁺¹ на главной оси, равно m_n/2.

Суммы разложения

Данное свойство числовых спиралей позволяет вычислить сумму натуральных чисел, расположенных на одном а.n-витке. Для этого необходимо сумму разложения умножить на количество таких сумм, используя формулу (1), добавить число, расположенное на оси симметрии, которое равно половине суммы разложения и вычесть число aⁿ⁺¹, которое относится к следующему витку:

Сумма чисел на витке

Формула (3) позволяет вывести уже давно известную формулу для определения суммы всех натуральных чисел от единицы до любого числа а. Для этого необходимо определить сумму чисел на нулевом витке а-спирали и добавить само число а:

Сумма натуральных чисел

Если построить числовую спираль для бесконечно большого числа (∞-спираль), начало этой спирали будет отличаться от числового луча только отсутствием нуля. Нулевой виток будет состоять из бесконечно большого количества единичных дуг, каждая единичная дуга будет ограничена лучами с бесконечно малым значением угла. Кривизна витка станет проявляться в районе очень больших чисел от начала спирали.

Продолжение: Числовые спирали и системы счисления.

Описание числовых спиралей

Описание числовых спиралей

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

2-спираль

2-спираль

На 2-спирали главная ось образуется последовательными степенями числа 2. Все нечетные числа располагаются в начале числовых N-лучей, все четные числа расположены на N-лучах спирали.

На 2.0-витке находится одна единичная дуга размером 360°, в начале этого витка находится число 1. Это единственная числовая спираль, у которой на нулевом витке нет других чисел, кроме единицы. Количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (2).

2.1-виток разбивается на две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – 2 и 3. Здесь и на остальных витках количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (1).

Вычисления для 2-спирали

2.2-виток образуют четыре единичные дуги размером 90°, на котором располагаются числа 4, 5, 6, 7. Число 6 расположено на продолжении 3-луча.

2.3-виток образуют 8 единичных дуг размером 45°. На этом витке распложены числа с 8 по 15 включительно. Числа 10, 12 и 14 расположены на продолжении 5-луча, 3-луча и 7-луча соответственно.

Дальнейшее расположение натуральных чисел на 2-спирали можно проследить на рисунке выше.

3-спираль

3-спираль

Главную ось 3-спирали образуют последовательные степени числа 3. На 3.0-витке находится две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – это 1 и 2. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (2).

3.1-виток разбивается на шесть единичных дуг размером 60°, на нем располагаются числа 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (1). Число 6 находится на продолжении 2-луча и является результатом умножения числа 2 на число 3.

Вычисления для 3-спирали

3.2-виток образуют восемнадцать единичных дуг размером 20°, на нем располагаются числа с 9 по 26.

4-спираль

4-спираль

Главную ось 4-спирали образуют последовательные степени числа 4. На 4.0-витке находится три единичные дуги размером 120° и на нем расположено три числа – 1, 2 и 3.

4.1-виток разбивается на двенадцать единичных дуг размером 30°.

Вычисления для 4-спирали

4.2-виток разбивается на сорок восемь единичных дуг размером 7,5°.

Каждый виток 4-спирали содержит в себе два сжатых витка 2-спирали. Сжатие происходит неравномерно и задается структурой нулевого витка 4-спирали. Нулевой и четные витки 2-спирали сжимаются до 1/3 витка 4-спирали, первый и нечетные витки – до 2/3. Такое неравномерное сжатие обеспечивает равенство единичных угловых сегментов всех витков в структуре 4-спирали.

Подобное неравномерное сжатие происходит и на остальных спиралях, построенных на числах, равных степени числа а, больше первой степени. Так, для 8-спирали (а=2³), каждый виток которой содержит три витка 2-спирали, пропорции равны: 1/7, 2/7, 4/7.

5-спираль

5-спираль

Главную ось 5-спирали образуют последовательные степени числа 5. На 5.0-витке находится четыре единичные дуги размером 90° и на нем расположено четыре числа – 1, 2, 3 и 4.

5.1-виток разбивается на двадцать единичных дуг размером 18°.

Вычисления для 5-спирали

5.2-виток разбивается на сто единичных дуг размером 3,6°.

Подобным образом можно построить числовую спираль для любого натурального числа.

Продолжение: Анализ числовых спиралей.

Числовые спирали

Числовые спирали

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Если для визуального отображения натуральных чисел использовать произвольную спираль и единицы измерения углов, тогда все числа можно упорядочить по следующим правилам:

1. На главной оси а-спирали располагаются числа вида aⁿ в порядке возрастания, где а>1, n≥0.

2. Главная ось совпадает с нулевым лучом единиц измерения углов и имеет следующий вид:

Главная ось числовой спирали

3. Главная ось делит спираль на отдельные витки размером в 360°, которые целесообразно нумеровать по показателю степени числа а, расположенного в начале каждого витка. Например, а.0-виток, а.1-виток, а.n-виток. Расстояние между витками спирали произвольное.

4. Каждый виток а-спирали разбивается лучами на равное количество единичных угловых секторов, которые делят виток на единичные дуги. Каждая единичная дуга имеет произвольную длину и соответствует одной числовой единице. Единичные дуги разделяют два соседних натуральных числа, которые располагаются на пересечениях лучей и витков спирали.

5. Количество единичных секторов и количество натуральных чисел m_n для каждого а.n-витка определяется по формуле (1).

6. Для нулевых витков всех а-спиралей количество единичных секторов и натуральных чисел определяется по формуле (2).

Формулы числовых спиралей

7. Каждая единичная дуга из витка m_n на следующем витке m_n+1 делится на а единичных дуг новыми лучами.

8. В начале каждого луча (N-луч), на пересечении с витком, расположено натуральное число N вида P_a, простое по отношению к числу а.

9. На продолжении N-лучей, в точках пересечения с последующими витками, располагаются натуральные числа, кратные числу а, образующему главную ось а-спирали.

Продолжение: Описание числовых спиралей.

Числовые спирали введение

Числовые спирали

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Аннотация

Числовые спирали – это представление натуральных чисел на спирали в единицах измерения углов. Соблюдение определенных правил размещения чисел позволяет получить бесконечную спиральную таблицу умножения для любого натурального числа а>1. Внешний вид и структура конкретной а-спирали будут одинаковыми для любых единиц измерения углов в любых системах счисления натуральных чисел.

Введение

Визуальное изображение натуральных чисел известно давно и имеет вид числового луча.

Числовой луч

Для визуализации чисел на числовом луче используются единицы измерения длины. Числовой луч начинается с нуля, поскольку иначе невозможно изобразить единичный отрезок как единицу измерения. Расстояния между числами одинаковые и равны единичному отрезку.

В 1963 году Станислав Улам предложил изображение натуральных чисел в виде спирали. Сегодня это визуальное представление натуральных чисел известно как скатерть (или спираль) Улама.

Скатерть Улама

Двумерная плоскость разбита на квадраты одинакового размера. В центре спирали находится единица, вокруг неё в каждый квадрат вписывается одно натуральное число по спирали. Данная спираль построена без применения каких-либо единиц измерения, ноль отсутствует.

В 1994 году Роберт Сакс расположил натуральные числа по Архимедовой спирали и получил спираль, известную сегодня как спираль Сакса (в Википедии описана в разделе "Вариации скатерти Улама").

Спираль Сакса

Для построения спирали Сакс использовал единицы измерения углов для поворота и единицы измерения длины для определения расстояния от центра спирали до каждого натурального числа. В центре спирали расположен ноль единиц измерения длины, на нулевом луче единиц измерения углов Сакс расположил квадраты натуральных чисел.

Продолжение: Числовые спирали.

101 в кубе. Как не надо делать.

Как найти 101 в кубе, используя формулы сокращенного умножения? Я уже показывал, как при помощи формулы куба суммы можно вычислить сто один в кубе. Там я одно число 101 представил в виде суммы двух чисел 100 и 1. Использование более простых (более удобных в вычислениях) чисел облегчает вычисление.

На просторах Интернета я увидел другой пример применения формул сокращенного умножения, а именно сумму и разность кубов. Предупреждаю сразу, так не надо делать. Для нахождения 101 в кубе там берут числа 101 и 100. Вот как это выглядит.

101 в кубе. Как не надо делать.

Почему так не надо делать для нахождения 101 в кубе? Сейчас я вам покажу. Я не буду брать числа 101 и 100, я возьму другую пару: число 101, куб которого нам нужно найти, и ноль (у меня уже язык не поворачивается называть ноль числом). Смотрите, что получилось у меня.

101 в кубе. Убираем мусор.

При помощи нуля я убрал из вычислений весь математический мусор. Ведь вместо двух умножений (это возведение числа в куб) какой-то умник нам предлагает выполнять ещё четыре умножения и четыре сложения или вычитания. С чем это можно сравнить? Все знают, что из одной комнаты в другую, соседнюю, можно пройти через дверь. Но вот нашелся человек, который предлагает вылезть в окно в одной комнате и залезть в окно в другой комнате. Да, так можно можно сделать, но зачем?

Я понимаю, что когда математикам делать нечего, они занимаются вычислениями, но лучше бы они брали пример с котов.

Сто один в кубе

Сегодня мы разберем пример, как при помощи формул сокращенного умножения можно найти сто один в кубе. Другими словами, как число 101 возвести в третью степень при помощи формулы сокращенного умножения.

В комментариях раздался вот такой крик о помощи:

Помогите пожалуйста, задача (пример) из физ-мата 8 класс:

101^3

Я не понимаю, как это решить с помощью формул сокращённого умножения.

Возвести число 101 в куб очень просто - нужно набрать число 101 на калькуляторе и два раза умножить на такое же число 101.

101^3=101*101*101=1030301

Если под рукой нет калькулятора (мало ли, телефон только что украли), то можно вычислить на бумажечке в столбик (картинка будет в конце, как проверка и калькулятора, и формулы).

Применяем формулу сокращенного умножения.

В условии задачи сказано, что нужно не просто найти куб числа 101, а применить для этого формулу сокращенного умножения. По мнению учителей математики, эти формулы должны знать все. Наивные. А если вы не знаете, где её взять?

Можно поискать в Интернете по запросу формулы сокращенного умножения. Есть у меня прямо здесь такая страница, если она не нравится - Гугл вам в помощь. Можно эти формулы найти в справочнике по математике, в учебнике по математике за какой-то там класс (врать не буду, а искать лень), можно спросить у знахарая-одноклассника, который знает формулы сокращенного умножения наизусть. Нужная нам формула сокращенного умножения называется "Куб суммы". Ниже вы её увидите.

И теперь ответ на самый каверзный вопрос: как из одного числа получить сумму чисел? Нужно это число разложить на слагаемые. С точки зрения математики, количество слагаемых может быть любое, но... Формулы сокращенного умножения для возведения суммы в куб я нашел только для двух и трех слагаемых. Формула куба суммы трех слагаемых - это просто лютая жесть. А вот куб суммы двух слагаемых выглядит даже симпатично. Основной принцип разложения на слагаемые для применения формул сокращенного умножения заключается в том, чтобы числа можно было легко перемножать в уме, не используя калькулятор. Для числа 101 самым лучшим вариантом будет 101=100+1. Сто и единичку без проблем можно перемножать в уме. Давайте посмотрим, что у нас получится.

Сто один в кубе

Не знаю как вы, но я без бумажки обойтись не смог. Да, записывал я всё в строчку, а не в столбик, но тем не менее. И в заключение, выполним проверку нашего решения, умножив в столбик на бумажке.

Сто один в кубе в столбик

Ну, как-то так. Зачем всё это нужно вам? Чтобы вы знали, что умножать можно не только на калькуляторе или в столбик, но иногда можно эффективно применять и формулы сокращенного умножения. Если, конечно, вы их знаете.

Минус на плюс что дает?

Положительные и отрицательные числа придумали математики. Делать им было нечего, вот они и придумали. Правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел придумали всё те же математики. Специально для того, чтобы нам жизнь мёдом не казалась. Как же нам быть? Нужно выучить эти правила, чтобы говорить математикам то, что они хотят от нас слышать.

Запомнить правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел очень просто.

Если два числа имеют разные знаки, в результате всегда будет знак минус.
Если два числа имеют одинаковые знаки, в результате всегда будет плюс.
Рассмотрим все возможные варианты. Что дает минус на плюс? При умножении и делении минус на плюс дает минус. Что дает плюс на минус? При умножении и делении в результате мы тоже получаем знак минус.

Минус на плюс, плюс на минус

Как вы видите, все варианты умножения и деления положительных и отрицательных чисел исчерпаны, но знак плюс у нас так и не появился. Это мы сформулировали правило для себя, чтобы запомнить. Что говорить математикам? При умножении или делении положительных и отрицательных чисел в результате получается отрицательное число. Всегда.

Что дает минус на минус? Всегда будет получаться плюс, если мы выполняем умножение или деление. Что дает плюс на плюс? Здесь совсем просто. Умножение или деление плюса на плюс дает всегда плюс.

Минус на минус, плюс на плюс

Надеюсь, это вы запомнили: минус на минус дает плюс, плюс на плюс дает минус. Что говорить математикам? При умножении и делении положительных или отрицательных чисел в результате получается положительное число.
Если с умножением и делением двух плюсов всё понятно (в результате получается такой же плюс), то с двумя минусами ничего не понятно. По логике, если два плюса дают плюс, то два минуса должны давать минус. Такой большой, жирный минус. Но не тут-то было. Математики думают иначе. Так почему минус и минус превращаются в плюс?

Могу вас заверить, что интуитивно математики правильно решили задачу на умножение и деление плюсов и минусов. Они записали правила в учебники, не особо вдаваясь в подробности. Для правильного ответа на вопрос, нам нужно разобраться, что же означают знаки плюс и минус в математике.

Давайте попробуем применить правило умножениея и деления положительных и отрицательных чисел на практике. Придумаем какой-нибудь пример из нашей жизни. Думаю, вы слышали про бочку мёда и ложку дёгтя, которая может испортить весь мёд. Пусть мёд - это положительные числа, а дёготь - это числа отрицательные. Пробуем. Смотрим на картинки и описываем правила.

Если в бочку дёгтя добавить ложку мёда, получится бочка дёгтя.
Если в бочку мёда добавить ложку дёгтя, получится бочка дёгтя.
Если в бочку дёгтя добавить ложку дёгтя, получится бочка мёда.
Если в бочку мёда добавить ложку мёда, получится бочка мёда.

Первых два примера с натяжкой можно принять. Последний пример вообще не вызывает вопросов. А вот с предпоследним примером возникают очень большие проблемы - в жизни такого не бывает.

Здесь возможны два варианта:
1. Математики не правильно записали свое правило.
2. Мы не правильно применяем математическое правило.

Лично я за второй вариант. Объясню почему. Математику не только нужно знать, но нею ещё нужно уметь пользоваться.

Приведу пример из собственного опыта. Один учитель математики на уроках нам говорил: «математика – это точная наука, два раза соври – получится правда». Это утверждение однажды мне очень пригодилось. Как-то я решал сложную задачу с длинным решением. Я точно знал, какой результат должен быть. Но результат был другим. Я долго искал ошибку в расчетах, но не смог ее найти. Тогда, за несколько действий до итогового результата, я изменил одно число так, чтобы результат получился правильным. Я в расчетах соврал два раза и получил правильный результат. Математические вычисления в тот раз никто не проверял и я получил хорошую оценку. Это очень похоже на правило «минус на минус дает плюс», не так ли?

Но вернемся к нашим бочкам. Кстати, говорят, именно с бочек с вином математики срисовали знак "минус". Виноделы этим знаком обозначали пустые бочки. После наполнения бочек вином они перечеркивали знак "минус" и получался знак "плюс". По сути, знак "минус" заменял виноделам обычный ноль, ведь он обозначал отсутствие вина в бочке. Но математики ловко присобачили знак "минус" к числам и назвали их "отрицательными".

Так что же не так с мёдом и дёгтем в бочках? Мои четыре примера описывают действие сложения - ведь мы прибавляем одно к другому, а математические правила мы рассматриваем для деления и умножения. Это абсолютно разные вещи, сколько бы математики не повторяли, что умножение это и есть сложение. Сложение - это изменение количества. Умножение - это изменение качества. При добавлении ложки дёгтя в бочку мёда, мёд не превращается в дёготь. Мы просто получаем бочку испорченного мёда. Точно так же и дёготь, добавленный в бочку дёгтя, не превращает всё в мёд. При сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел действуют совсем другие правила знаков.

В чем же отличие качественных изменений от количественных? В единицах измерения, которые в математике предпочитают игнорировать. Вот смотрите. Если мы к метрам длины прибавим метры ширины, мы получим метры периметра. А если мы умножим метры длины на метры ширины, то в результате будут метры квадратные площади. Теперь вопрос к математикам: сколько метров длины или ширины нужно сложить, чтобы получить один метр квадратный площади? Или вопрос к вам: сколько метров ниток вам нужно намотать на себя, чтобы одеться? Ведь ткань - это те же самые нитки, только в совершенно другом качестве. Ну и наглядный пример из алгебры:

2а+2а=4а
2а*2а=4а^2

В этом примере буква а выполняет роль единицы измерения. Кстати, правило умножения отрицательных чисел наводит на ещё один вопрос математикам: сколько отрицательных чисел нужно сложить, чтобы получилось одно положительное число?

(-2)+(-2)=-4
(-2)*(-2)=+4

Так что же такое знаки "плюс" и "минус" в математике? Существуют ли отрицательные числа? Об этом мы начнем долгий разговор со страницы под назанием "Отрицательные числа: вычитание".

А пока повторяем ещё раз для запоминания:

+ на - будет -
- на + будет -
- на - будет +
+ на + будет +
плюс на минус дает минус
минус на плюс дает минус
минус на минус дает плюс
плюс на плюс дает плюс

х умножить на х

Что будет, если х умножить на х? Будет икс в квадрате (он же квадрат икса, он же икс во второй степени, он же вторая степень икса, он же ...). Записывается это так. Пишем саму букву икс, а сбоку, справа в верху, дописываем маленькую цифру 2 - это показатель степени.

x умножить на x

Как видите, х умножить на х равно х² или икс в квадрате. Вообще-то, у математиков принцип очень простой - если какую-то фигню умножить саму на себя, получится эта же фигня в квадрате. Это касается чисел, букв, выражений. Называется эта пляска шаманов с бубнами "возведение в квадрат".

Возведение в квадрат

Принцип очень простой, любому дураку понятный. Если дурак прибавит к себе самого себя, то в результате получится два дурака. Если дурак умножит себя на себя же, то получится дурак в квадрате. Вот так дураки и размножаются. А всё потому, что ни один математик вам толком не объяснит, когда можно выполнять сложение или умножение, а когда нельзя. Все объяснения будут на уровне "если шаман разрешает - тогда можно, если шаман не разрешает - то нельзя".

Умножение на ноль в физике

В завершение разговора об умножении на ноль, рассмотрим пример из физики. Там все законы записываются с применением умножения. Но, в отличии от математиков, физики хоть чуть-чуть понимают, о чем они говорят.

И так, для простоты, рассмотрим закон Ома. Самый простой вариант: умножение тока на сопротивление дает напряжение. Я специально использую язык и стиль математиков для описания физического закона. Ведь мы пытаемся разобраться в математике. Запишем это в физических обозначениях.

I * R = U

Дальше запишем математический пример умножения.

a * b = c

Теперь найдите четыре отличия. У нас только внешний вид трех букв разный, всё остальное - одинаково. Если кто-то из математиков станет утверждать, что первое выражение ко второму никакого отношения не имеет, тогда у меня вопрос: а зачем такая математика нужна? Тупо для зубрежки? Умножение отлично описывает физические законы, если под умножением понимать взаимодействие.

В результате взаимодействия тока с сопротивлением получается напряжение. Ток нам дает электростанция. Сопротивление обеспечивает проводка с лампочкой внутри комнаты. Взаимодействие этих физических величин дает напряжение, которое выражается в горении лампочки. Если есть ток и проводка, тогда есть и напряжение - лампочка горит.

Умножение и закон Ома

Рассмотрим случай, когда умножение не происходит. У соседа есть ток, у нас есть проводка, но напряжение у нас отсутствует. Свет не горит, поскольку соседский ток не взаимодействует с нашей проводкой и лампочкой. Этот прискорбный факт аналогичен нулю в формуле.

I и R = 0

a и b = 0

Сейчас мы рассмотрим два случая умножения на ноль. В первом случае у нас отсутствует ток, соответственно, и лампочка не горит. Взаимодействие отсутствует, умножение не происходит.

0 * R = 0

0 * b = 0

Во втором случае отсутствует сама лампочка. Чему же тогда гореть. Снова нет взаимодействия между сопротивлением и током. Опять умножение не выполняется.

I * 0 = 0

a * 0 = 0

Как показывает пример из физики, при умножении на ноль умножение не происходит. Священное Определение математиков "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю" является не больше, чем причитанием шамана во время пляски с бубном.

Умножение в математике

Давайте внимательнее рассмотрим умножение в математике. Ведь все физические законы представляют из себя математический каркас, состоящий в основном из умножения, одетый в одежду физического смысла. Математики очень хорошо "понимают", что такое умножение и доходчиво объясняют его "смысл". Вот картинка из Википедии.

Умножение в математике

Математики представляют умножение, как некий "черный ящик", в который мы засовываем множимое и множитель, а на выходе получаем произведение. Они даже термин специальный придумали - "оператор". Вот ещё одна цитата из Википедии: "Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела". Вот и получается, что в разных разделах математики свойства "черных ящиков" трактуются, как Бог на душу положит. В Евангилии от Арифметики - это одно. В Евангелии от Алгебры - это другое. В Евангелии от Матана - это третье. Вот только в реальном мире нет бирочек, на которых было бы написано, что к какому разделу математики относится.

С таким уровнем "понимания" математическая "наука" очень далеко пойдет. С тем же успехом можно ввести математическую операцию "главобрей" - засовываем в "черный ящик" черта волосатого, на выходе получаем черта лысого. Тем более, что в реальности такие "черные ящики" существуют и в простонародье называются "парикмахерская".

Вообще, у математиков очень интересный подход к делу. Они всё обобщают и расширяют. Как? Приблизительно вот так. Кто-то назвал корову "Умножение". Тут же находится умник, который обобщает умножение и расширяет свойства коровы на математическое действие. В результате умножение становится дойным математическим действием. После этого математики объясняют всем, что в примитивных разделах, например, в арифметике, в алгебре, получить молоко при помощи умножения нельзя. Но вот в высшей математике... По гиперкомплексным полям бродят счетные множества гиперкомплексных коров, которые при умножении дают гиперкомплексное молоко.

Насколько я понимаю, именно так умножение потеряло свою коммутативность, приходилось мне встречать такой взгляд. Объяснение выглядело приблизительно так: "Да, в примитивной арифметике умножение коммутативно, но вот во многих разделах высшей математики оно не коммутативно". Снова магические "черные ящики", каждый со своим Евангелие.

Если вам интересен другой взгляд на умножение, можете ознакомиться. Настоящая наука отличается от шаманства тем, что там не только расширяют и обобщают, но ещё сужают и разобщают.

Так же могу предложить мои статьи об умножении на ноль.

Умножение на ноль в геометрии

Рассмотрим умножение на ноль в геометрии. При умножении длины на ширину получается площадь. Что бы вам математики не рассказывали, все формулы площадей любых геометрических фигур сводятся к этой простой формуле. Просто для разных фигур есть разные поправочные коэффициенты, но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

И так, у нас есть прямоугольник и формула для нахождения его площади. Традиционно, это изображается так.

Площадь прямоугольника

Кажется, всё правильно. Но... В алгебре мы сперва записываем два сомножителя, затем пишем знак равенства и, только после этого, записываем результат умножения. Это целый сериал получается, а не одна картинка. Давайте геометрически изобразим все то, что мы записываем алгебраически. Стороны прямоугольника a и b - это отрезки. Математическое действие умножения геометрического представления не имеет. Знак равенства я заменю вертикальной чертой, разделяющей картинку на две части - до умножения и результат умножения. Площадь прямоугольника S - это, собственно, и есть сам прямоугольник. Вот что получилось.

Умножение в геометрии

Два перпендикулярных отрезка до умножения превращаются в площадь прямоугольника после умножения. Теперь нарисуем умножение на ноль.

Умножение на ноль

В результате умножения на ноль мы площадь не получаем. Длина у нас есть, а вот ширина отсутствует. Естественно, площади просто неоткуда взяться. Смотрим на результат умножения нуля.

Умножение нуля

Теперь у нас есть ширина, но отсутствует длина. Снова площадь получить невозможно. Дальше изображаем умножение нулей - ноль, умноженный на ноль, равняется нулю.

Умножение нулей

Ни длины, ни ширины, ни площади. Ничего не берем, умножаем ни на что и в результате ничего не получаем. А теперь самое интересное.

Давайте попробуем изобразить геометрически тот интимный момент, когда мы умножения не выполняем. Даже алгебра стыдливо умалчивает об этом. Как алгебраически записать тот факт, что у нас имеется два отрезка, которые можно трактовать как длину и ширину, но математическое действие умножения между ними мы не выполняем? Ни одному дураку такое в голову не придет, вот дураков этому и не учат. Разумные существа отличаются от дрессированных животных тем, что они могут делать не только то, чему их научили дрессировщики. Нас приучили к тому, что умножение мы выполняем только по команде "Бобик, умножай!" или когда видим знак умножения, все остальные случаи мы просто игнорируем. Вот по этому в математике символ "не умножай" отсутствует. Вместо него я использую союз "и".

Умножение не выполняем

Если мы умножение не выполняем, площадь отсутствует. Вот теперь мы можем сравнить полученные результаты. Если мы выполняем умножение, то в результате получается площадь. Если мы умножение не выполняем, площадь отсутствует.

Вывод: при действиях с нулем математическая операция умножения не выполняется.

Выполнять умножение с нулем можно, только выполнить его нельзя - не получится. Это как пилить воздух. Вы берете в руки пилу, двигаете нею взад-вперед и всем по телефону рассказываете, что вы пилите. Только при этом не уточняете, что пилите вы то, что в принципе распилить невозможно. Кстати, физику умножения на ноль мы рассмотрим отдельно.

Умножение на ноль

В комментариях к статье "Умножение на ноль" мне задали интересный вопрос:

Николай, я прочитал статью наполовину, но всё же... Лежат передо мной два яблока (факт). Дальше, я как "колдун", умножаю их на ноль и всё равно вижу перед собой два яблока! Хотя, по законам арифметики, они должны были исчезнуть у меня! Что говорит математика по этому поводу? Спс за ответ.

Два яблока

Вот они, красавцы. Лежат и улыбаются. Типа, ну и что вы на это скажете? Так что же такое умножение на ноль? Давайте попробуем в этом разобраться.

Обратите внимание, вопрос сформулирован очень хитро: не "что говорят математики?", а "что говорит математика?". На первый вариант вопроса ответить проще всего. Проповедники говорят: "Читайте Библию", математики говорят: "Читайте Определение". Тупо так отвечают. Ничего никому объяснять не нужно. А дотошным всегда можно, с умным видом, лапши на уши навешать.

Дальше рассмотрим ситуацию с позиции "колдуна". Колдун заявляет, что он умножил яблоки на ноль. Дальше колдун должен сказать: "Закройте глаза и не открывайте. Видите? Нет. Великое чудо умножения на ноль свершилось - яблоки исчезли!". Колдун-математик обязательно добавит: "Что и требовалось доказать".

Теперь пара слов о математиках. Они, как гордые орлы, парят высоко в облаках своих абстрактных идей. На нашу грешную землю математики спускаются только тогда, когда видят корм - задачу, которую они могут решить. Математики очень здорово научились отрывать числа от реальности и выполнять с ними разные манипуляции. Когда возникает необходимость вернуть числа в реальность, иногда возникают очень большие проблемы. Умножение на ноль - одна из таких проблем.

Начнем с самого начала. "Умножение - одна из основных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (множимого и множителя), результатом которой является новое число (произведение). ... Умножение на нуль (нулевой элемент) даёт число равное нулю: x ⋅ 0 = 0..." [цитата из статьи в Википедии].

Если перевести приведенную цитату на обычный человеческий язык, то для умножения необходимы два элемента (множимое и множитель). После их умножения получится новый элемент, который является результатом умножения. Записывать это принято так:

a*b=c

С левой стороны знака равенства записано то, что предшествует умножению. С правой стороны записан результат умножения. Один элемент умножается на другой элемент, получается третий элемент.

Если рассматривать логику математиков, то обозвав ноль "нулевой элемент", все "законы" умножения соблюдаются, подкопаться не к чему - при умножении на нулевой элемент все другие элементы превращаются в нулевой элемент. Остается только один вопрос: "Куда деваются яблоки?".

Сейчас я изложу свой собственный взгляд на проблему умножения на ноль. Сперва прочитайте мои рассуждения, а в конце я дам практические рекомендации, как использовать свои новые знания. И так, что говорит математика об умножении на ноль?

С точки зрения математики умножение на ноль невозможно, поскольку само действие умножения не происходит. Если в своих более ранних работах я утверждал что-то другое, значит я ошибался. Процесс познания непрерывен и то, что вчера казалось правильным, сегодня может выглядеть совсем по-другому.

Давайте вспомним позиционную систему записи чисел: единицы, десятки, сотни... Если в позиционной системе записи число присутствует, то мы его записываем. Например, 324 - три сотни, два десятка, четыре единицы. А если в отдельной позиции числа нет? Что тогда? Тогда мы пишем ноль вместо отсутствующего числа. Например, 304 - три сотни, десятков нет, четыре единицы. Я утверждаю, что отсутствие числа числом быть не может. Другими словами, ноль не является числом и правила чисел на него не распространяются.

В примере с умножением, ноль обозначает пустое место на месте одного из сомножителей и пустое место в результате умножения. Умножение, как математическое действие, не происходит. Это всё равно, что одной рукой пытаться хлопать в ладоши. Для получения звука ладошек должно быть две. Вот видите, какими умными мы стали: определили, что хлопанье в ладоши - это бинарная операция, которая может быть описана математическим действием умножением:

[одна ладошка]*[другая ладошка]=[аплодисменты]

Добавим сюда числа? Пожалуйста:

1[ладошка]*1[ладошка]=1[аплодисменты]

Заметьте, ладошки совершенно разные, а не одна и та же. Математики нам говорят, что при возведении во вторую степень число умножается само на себя. Умножить число само на себя так же невозможно, как невозможно создать аплодисменты при помощи всего одной ладошки.

Но вернемся к умножению на ноль. Заменим на ноль одну из ладошек и посмотрим на результат.

0[ладошка]*1[ладошка]=0[аплодисменты]
1[ладошка]*0[ладошка]=0[аплодисменты]

На обычный человеческий язык операции умножения на ноль можно перевести следующим образом:

0*b=0
Умножать нечего, результат умножения отсутствует.

a*0=0 
Умножать не на что, результат умножения отсутствует.

Математики утверждают, что при умножении на ноль умножение происходит. Вот здесь нужно разобраться, какая бяка-закаляка скрывается за фразой "нулевой элемент". Почему подмену нуля нулевым элементом я считаю такой важной? Рассмотрим пару примеров.

Отправляемся на стадион и смотрим футбол. Это как раз то, что нужно блондинкам. Во-первых, красивых болельщиц показывают по телевизору. Во-вторых, в футболе двадцать два миллионера с переменным успехом пинают один мяч. Где ещё блондинки найдут столько богатых женихов в одном месте? И так, игра в самом разгаре. Один игрок нарушил правила и его удаляют с поля. Что осталось на поле вместо этого игрока? Пустое место, которое в игре не может принимать участия, даже при всем своем желании. Если игроки - это числа, то пустое место - это ноль. Пустое место не является игроком, ноль не является числом.

Теперь рассмотрим "нулевой элемент", который ничем не отличается от "числовых элементов". Тот же футбольный матч, та же ситуация - игрока удалили. И вот главный фокус - вместо удаленного игрока на поле выходит "нулевой игрок" с номером "ноль" на футболке. Он включается в игру и вскоре забивает гол. Вот здесь и начинается "высшая математика". Одна команда доказывает, что нулевой игрок точно такой же, как и остальные игроки, поэтому имеет право забивать голы. Другая команда доказывает, что это удаленный игрок и права забивать голы лишен. Идиотизм подобной ситуации в комментариях не нуждается.

Другой пример из нашей жизни. Все мы когда-нибудь что-нибудь покупали в магазине. Что такое процесс покупки? Это обмен имеющихся у нас денег на товар, имеющийся в магазине. Сам процесс покупки можно смело сравнивать с умножением. Если у покупателя есть деньги, а в магазине есть товар, проблем никаких. Если у покупателя нет денег или в магазине нет товара, тогда покупка не совершается. Вы же не станете с пустым кошельком переться в магазин, чтобы услышать от продавца, что без денег ничего купить нельзя? Эту ситуацию можно рассматривать как пример умножения на ноль.

А теперь... Процесс покупки с "нулевым элементом". Представьте, что в вашем кошельке, после того, как все обычные купюры закончились, волшебным образом появляется купюра с надписью "ноль рублей". Вы идете с этой купюрой в магазин и меняете её на бумажку с надписью "ноль товаров". Формально, вы совершили покупку, не имея ни рубля в кармане и ничего не купив. Вот про подобное "умножение на ноль (нулевой элемент)" нам рассказывают математики.

Вот так подмена понятий может до неузнаваемости исковеркать нашу логику. Именно эта исковерканная логика заставляет нас искать умножение на ноль там, где его быть не может - в результатах умножения. Поскольку умножение на ноль не происходит, то и смотреть нужно не в пустоту (ведь результата умножения на ноль нет), а в первоначальные условия умножения. Два яблока как лежали, так и останутся лежать, даже после произнесения заклинания "Яблоки, я умножаю вас на ноль". Математически это записывается до банальности просто:

2*0=2*0

Всё это происходит потому, что наши математики не научились более-менее адекватно описывать реальность при помощи математики. Если вы хотите посмотреть на примеры умножения, взятые из реальной действительности, то сделать это можно здесь.

P.S. Что делать вам? Запомните, что ноль не является числом. И когда в математике речь заходит о нуле, отбрасывайте свою логику и здравый смысл и открывайте Святое Математическое Писание. Что там про интересующий вас случай написано, то математикам и рассказывайте. Вы же не станете в духовной семинарии утверждать, что Бога нет. Вот и с математиками спорить я не рекомендую - это чревато серьезными последствиями для вас. Когда станете взрослыми и математики исчезнут из вашей жизни, тогда можете говорить то, что считаете правильным.

P.S.S. 23.01.17 г. Дополнительно можете прочесть статьи об умножении на ноль в геометрии и физике.

Деление

Автор Николай Хижняк

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Разложение на сомножители

Урок 13

Деление

Вопреки общепринятому мнению, деление не является математическим действием. Это решение типовой задачи по нахождению одного из сомножителей, если известен другой сомножитель и результат умножения. Ещё в древнем Вавилоне дробь рассматривали как результат умножения числа на обратное другое число. Даже в современной математике не существует деления одной дроби на другую дробь, эта операция заменяется умножением делимого на дробь, обратную делителю.

Деление можно рассматривать как проекцию результата умножения вдоль одного из сомножителей. Например, длина – это проекция площади вдоль ширины, ширина – это проекция площади вдоль длины.

Наиболее интересной в этом плане является скорость, которая измеряется длинной, деленной на время. Если предположить, что длина является результатом умножения двух перпендикулярных направлений времени, тогда скорость – это проекция длины (площади времени) вдоль одного из направлений времени. Для понимания природы и сути скорости света, данный подход может быть весьма полезным.

На следующем уроке мы рассмотрим
Линейные угловые функции

Разложение на сомножители

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Ноль и бесконечность

Урок 12

Разложение на сомножители

Математическим действием, противоположным умножению по смыслу, является разложение на сомножители. Выполняется оно с применением бесконечных тригонометрических функций.

Разложение на сомножители

Простейшим примером разложения на сомножители под углом в 45 градусов является извлечение квадратного корня. Поскольку оба сомножителя в этом случае одинаковы, в качестве результата разложения принято записывать только один из сомножителей.

Разложение на сомножители можно применять тогда, когда известен только результат умножения и не известен ни один из сомножителей. Единицы измерения в результате разложении на сомножители следует подбирать интуитивно таким образом, чтобы в результате их умножения получалась первоначальная единица измерения. Количество пространственных измерений в единицах измерения сомножителей при разложении может быть разным. Например, трехмерный объем можно разложить на одномерные сомножители при помощи двух операций разложения, один из вариантов выглядит так:

Разложение объема

В данном примере углы α и β не связаны между собой. Если объём раскладывать в куб (a=b=c), то α≈35° – это угол между диагональю куба и диагональю основания, β=45° – это угол между диагональю основания и его стороной.

На следующем уроке мы рассмотрим
Деление