Свойства пропорций продолжение

Дальше свойства пропорций продолжают величайшие открытия современности: крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой средний; средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний. Блин, я забыл написать слово "каждый". Что теперь будет с математикой? Ужас!

Всё это вы должны вызубрить на зубок и тараторить на уроке, как по писанному. Печальная участь. Можно ли вам как-то помочь? Легко. Как выглядит пропорция в её классическом виде, помните? Разукрасим пропорцию, как детки разукрашку.

Красивая пропорция

Зелененькими у нас получились крайние члены пропорции. Прям, как зеленые человечки. Нет, не те, крымские дрессированные обезьяны, а те, которые из летающий тарелок. Они мне более симпатичны - с автоматами калашникова их никогда не видели, значит и явных намерений убивать у них нет. Синенькими у нас оказались средние члены пропорции. Холодно им, аж посинели. Вот и залезли они в средину пропорции - погреться. А теперь посмотрим на свойства крайних и средних членов пропорции, о которых так любят спрашивать математики.

Крайние и средние члены пропорции

Вот какой чудненький пейзаж получился. Или это портрет? Точно, групповой портрет членов банды пропорции. Прям виньетка. Что с бандой будет дальше? Как всегда - средние члены сбегут за границу, крайними окажутся крайние члены. Или я что-то напутал? Правильно, в математике крайние крайними не бывают. В математике, как на кладбище, все равны.

Ну вот, думаю, теперь запомнить свойство членов пропорции вам будет гораздо проще. Синенькие дружат с синенькими, зелененькие - с зелененькими. А можно даже этого не запоминать? Можно. Если вы будете знать ещё одну страшную тайну математиков. Нет, не про коэффициент пропорциональности. Здесь мы обойдемся без него.

Страшная тайна заключается в том, что это не свойства пропорции. Это свойства равенства и умножения. Если мы переносим один из сомножителей через знак равенства, то он из числителя попадает в знаменатель. Если мы из знаменателя переносим... Блин, а кого мы переносим? Знаменательный сомножитель. Во, как красиво я придумал. Ведь в знаменателе может прятаться целая банда членов алгебраического выражения! Так вот, при пересечении знака равенства, знаменательный сомножитель попадает в числитель.

Это как изменение знаков плюс-минус в равенстве со сложением и вычитанием. Только при равенстве с умножением и делением меняются числитель-знаменатель. Типа, перебежчики через границу. Там они были чужими, здесь - свои. Или на оборот. Разведчик и шпион - это один человек. Как мы его будем называть, зависит от того, с какой стороны границы мы на него смотрим. Если он рядом - значит шпион и враг. Если он по ту сторону границы - значит он разведчик и герой. Вот такая она, математика. Нет для неё ни своих, ни чужих. Вы не поверите, но в России и в Америке математика абсолютно одинакова. Ну, разве что маразмом слегка по разному приправлена.

Лично я не запоминаю тот бред, который придумали математики. Для меня достаточно знать, как математики дразнят свои члены. Пардон, называют члены своих пропорций. Я выясняю, чяво старцам надобно, и дальше просто пользуюсь математикой. Например, они хотят узнать, чему равен последний крайний член пропорции. Как не считай, хоть по часовой стрелке, хоть против, хоть зигзагом - это будет буква "d". А дальше я просто тасую буквы, как карты в колоде, в поиске нужной мне комбинации. Показываю в замедленной съемке.

Преобразование пропорции

Вот такая трехходовка у нас получилась, как сказали бы шахматисты. Когда вас вызовут к доске и попросят назвать свойства пропорций, ни один учитель не будет знать, что вы делаете во время молчания: вспоминаете священный текст из учебника или в уме буковки переставляете. Я всегда пользуюсь исключительно методом перестановки, свои священные определения математики пусть сами учат. Похоже, их математикой пользоваться никогда не учили.

Теперь нам осталось рассмотреть последнее свойство пропорции. А там всё ещё интереснее. 

Графический метод решения системы уравнений

График второго уравнения

Одним из методов решения системы уравнений является графический метод. Для всех жаждущих халявы даю ссылку на страницу, где можно получить графический метод решения системы уравнений сразу и бесплатно (лично меня Интернет по ссылке не пускает, причину я указал в конце страницы). Учитесь пользоваться благами цивилизации и не морочьте мне голову:))) Приводите уравнения к церковно-приходскому (пардон, каноническому) виду, вставляете коэффициенты уравнения в ячейки и нажимаете волшебную кнопочку "Ввод". В результате вы получите решение системы уравнений, к которому прилагается графический метод решения. Есть два существенных замечания.

1. Если перед каким-то коэффициентом стоит знак минус, значит вводить нужно число со знаком минус.

2х-у+5=0
2х-у=-5
(2)х+(-1)у=(-5)

2. Эта железяка не работает с нулевыми коэффициентами. Программа брезгливо игнорирует уравнения, в которых хотя бы один коэффициент равен нулю. Она считает себя слишком умной, что бы решать такие примитивные уравнения. Интересно, как к такой числовой дискриминации относится общество защиты нуля?

Сейчас мы сами решим графическим методом систему уравнений, один из коэффициентов которого равен нулю. И так, у нас есть система уравнений:

х+у=5
у=-х

В каноническом виде, удобоваримом для норовистой программы, эта система будет выглядеть так:

х+у=5
х+у=0

Система коэффициентов в этих уравнениях выглядит следующим образом:

(1)х+(1)у=(5)
(1)х+(1)у=(0)

Вот мы и нарвались на систему уравнений, в которой один из коэффициентов равен нулю. Но математикам нужно показать графическое решение этой системы. Без картинки они не поверят, что мы добросовестно пытались решить. Что делать?

Берем в руки главную математическую святыню - декартову систему координат - и пробуем её разукрасить своими каракулями. Такая себе разукрашка для взрослых.   

Декартова система координат

Теперь нам нужно определить точки пересечения первой прямой с осями координат. Для этого подставляем в первое уравнение значение икс, равное нулю, и получаем значение игрек.

х=0
х+у=5
0+у=5
у=5

Координаты первой точки 0 по иксам и 5 по игреку.

Теперь определяем координате второй точки. Приравниваем к нулю игрек и подставляем в уравнение.

у=0
х+у=5
х+0=5
х=5

Координаты второй точки 5 по иксу и 0 по игреку. Носим эти точки на декартову систему координат и проводим через них прямую. Мы получим график первого уравнения.

График первого уравнения

Для построения графика второго уравнения проделываем тот же фокус - сперва икс, потом игрек приравниваем к нулю.

х=0
х+у=0
0+у=0
у=0

Упс! При иксе, равном нулю, игрек то же равен нулю. Вот досада! Оказывается, наш график проходит через пуп Вселенной. Точнее, через пуп математики - центр декартовой системы координат. Координаты этой точки 0 и 0.

Ничего. Вторую точку графика мы можем получить, приравняв икс к единице.

х=1
х+у=0
1+у=0
у=-1

Вторая точка имеет координаты 1 и -1. Строим второй график.

График второго уравнения

Как видите, у нас получились две параллельные прямые, которые не имеют точки пересечения. В подобных случаях математики учат нас говорить: "Система уравнений не имеет решений". Рисуем в тетрадке два графика, переписываем глубокомысленный вывод и подаем всё это пред светлы очи учителя.

P.S. А, может, тупая железяка не так уже и глупа? Она не заморачивается с системами уравнений, у которых нет решений или решений бесконечное множество. Это только тупые математики заставляют всю эту муть решать. По-умному, прежде, чем записывать систему уравнений, нужно выполнить анализ самих уравнений. Могут ли данные уравнения образовывать систему уравнений? Тогда все системы уравнений будут иметь решения. А варианты "нет решений" и "бесконечное множество решений" будут отсеиваться на этапе анализа. Представьте, на сколько меньше глупостей будет в математике. А теперь подумайте, стоит ли тупо повторять то, чему вас когда-то учили?



Машина Времени, песня "Однажды мир прогнётся под нас". Парадокс состоит в том, что в этом мире меняется всё, кроме религии, математики и нас самих - диких, лживых, кровожадных тварей, гитлеровская и путинская армии тому пример. И всё же я верю в лучшее - диких тварей мы уничтожим, математику сделаем проще и понятней, а сами превратимся в богов, создающих новые вселенные.

Задача про маляров

Задача про маляров

Сейчас мы с вами решим задачу про маляров. Звучит эта задача так:

Один маляр может покрасить зал за 6 дней. Двое маляров смогут этот же зал покрасить за 2 дня. За сколько дней покрасит зал второй маляр?

Предупреждаю сразу - я не знаю, как правильно решать эту задачу. Кроме преподавателя, этого никто не знает. Решение зависит от того, какую тему вы сейчас проходите. Я могу в принципе решить эту задачу. Первый вариант решения задачи про маляров я выполню по действиям.

1. Какую часть зала красит первый маляр за один день?

1:6=1/6

2. Какую часть зала первый маляр покрасит за два дня?

2*1/6=2/6=1/3

3. Какую часть зала за два дня покрасит второй маляр?

1-(1/3)=(3-1)/3=2/3

4. Какую часть зала покрасит второй маляр за один день?

(2/3):2=(2/3):(2/1)=(2/3)*(1/2)=(2*1)/(3*2)=2/6=1/3

5. За сколько дней второй маляр покрасит покрасит зал?

1:(1/3)=1*(3/1)=(1*3)/1=3/1=3

Ответ: Второй маляр покрасит зал за 3 дня.

Эту же задачу можно решить через икс или через систему уравнений с двумя неизвестными. Но я сомневаюсь, что взрослым дядькам и теткам из старших классов преподаватели будут задавать такие простые задачки про маляров.

Здесь самое интересное не ход решения, а смысл решения этой задачи. Решать задачу ради оценки - это глупо. Сама математика возникла из практических потребностей человека. Вот практическое применение полученного решения - это уже гораздо интереснее. Какие же практические выводы можно сделать из решения этой задачи про маляров? А вот какие.

1. Второй маляр должен получать зарплату в два раза большую, чем первый маляр. Ведь он работает в два раза лучше.

2. В шею нужно гнать таких работников, как первый маляр. Лучше иметь одного хорошего работника, чем двух плохих. Помните народную мудрость: "За одного битого двух не битых дают"?

Свойства пропорций

Рассмотрим то, что математики называют "свойства пропорций". Для начала посмотрим картинку, где свойства пропорций расписаны, как пасхальные яйца.

Свойства пропорций

Под первым номером стоит следующее свойство пропорций: произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции. У меня возникает естественный вопрос - это свойство принадлежит равенству, умножению или пропорции? Лично я считаю, что пропорции оказались в этой очереди только потому, что они содержат знак равенства и умножение (оно же деление без фонограммы). Вспомните такое свойство равенства: если левую и правую часть равенства умножить на одно и то же число, равенство не изменится. Берем пропорцию, умножаем, сокращаем, смотрим, что в остатке.

Свойство равенства

Как видите, первое свойство пропорций можно получить без всяких перестановок членов пропорции. Да, результат показывает, что произведения крайних и средних членов пропорции равны. Собственно, это и есть математика. Если результат правильный, существует много путей получения такого результата. Достаточно просто воспользоваться математикой. Давайте ещё раз посмотрим на первое свойство пропорций через коэффициент пропорциональности.

Первое свойство пропорций

Получилось абсолютное равенство, замаскированное под пропорцию. В противном случае у нас не будет ни равенства, ни пропорции. Только вот произведение состоит не из двух, а из трех сомножителей: числителя, знаменателя и коэффициента пропорциональности. Для превращения этого равенства в пропорцию мы используем переместительные (коммутативные) и сочетательные (ассоциативные) свойства умножения. Вопрос по ходу: коммутативные и ассоциативные свойства математических действий - это разные свойства или одно свойство под разными именами? То, что математики очень любят одно и то же называть разными словами, мы уже знаем. Что бы нас запутать и запутаться самим. Но зато математики знают очень много умных слов. Им есть чему нас, неуков, учить.

Это мы из пропорции получили умножение трех чисел. Теперь попробуем выполнить противоположную процедуру - из умножения трех чисел получим пропорцию. Давайте понаблюдаем за этим "божественным актом сотворения"пропорции.

Берем три числа x, y, z (без всякой задней мысли о неизвестных, просто чтобы с привычными a, b, c, d, k не путать), умножаем их между собой, сравниваем, коммутируем-ассоциируем и создаем пропорции.

Рождение пропорций

У нас получились три разные пропорции, созданные из трех разных сомножителей. В качестве коэффициентов пропорциональности в этих пропорциях выступает один из сомножителей. Интересно, эти три пропорции являются близнецами, тройняшками или дальними родственниками? Что-то общее у них должно быть. Например, произведение членов этих трех пропорций (средних или крайних - без разницы) равны между собой. Но это ещё ни о чем не говорит. Существует бесконечное множество других пропорций, произведение членов которых равны произведению членов этой, почти святой, троицы)))

Знают математики о принципах рождения пропорций? Понятия не имею. В учебниках я этого не видел. Возможно, где-то в какой-то диссертации это и описано, но искать крупицу истины в океане математического мусора? Вы меня извините, но пусть математики научатся сами искать то, что умные люди создают. Речь не обо мне. Я говорю о тех многочисленных вещах, которые математики в упор не хотят видеть. Например, вы когда нибудь видели денежные купюры или монеты со знаком минус? И я не видел. А что нам математики рассказывают об отрицательных числах? Что они есть. Выводы делайте сами.

Дальше мы поговорим о втором и третьем свойствах пропорций. А пока, Adele поет песню "Skyfall" без всякой фонограммы.

Пропорции

Наконец-то мы добрались до пропорций. В математике пропорции - это самые настоящие пляски шаманов с бубнами. Это нам так говорят, что шаман своими плясками может вызывать дождь. На самом деле шаман смотрит на приметы и только тогда решает, плясать ему или не плясать. Но давайте посмотрим, что математики пишут о пропорциях.

Пропорции

И так, пропорцией математики называют равенство двух отношений. Это Святое Определение пропорции. Тупо учим и говорим его математикам. Если какой-нибудь садист от математики спросит вас "Что такое четвертое пропорциональное?" нужно отвечать "Это один из членов пропорции". А теперь отодвинем проповедников математики в сторону и попробуем сами разобраться, что же это такое - пропорции?

Еще раз. Пропорция - это равенство двух отношений. А что такое отношение? Отношение - это простая дробь. Простая дробь - это рациональное число. Рациональное число - это деление. Деление - это отношение... Короче. Получается, что Маша - это Ксюша, Ксюша - это Люба, Люба - это Таня... Как зовут девочку? А фиг вас поймешь. Вот теперь пора вывести мошенников от математики на чистую воду.

Берем математическую библию и внимательно читаем: "Рациональные числа записываются в виде дробей неоднозначно. Так, дроби

Рациональное число

выражают одно и то же рациональное число. Поэтому для записи рациональных чисел употребляют лишь несократимые дроби.

Одно и то же рациональное число может быть записано разными вариантами одной дроби. Математики нас учат сокращать дроби. Как заправские шулеры, в этот момент они прячут туз в рукав. Сокращение дроби - это туз в рукаве. Когда математики достают свой туз из рукава? Когда начинают нам рассказывать о пропорциях.

Пропорция - это одно и то же рациональное число, записанное дважды со знаком равенства.

Пропорция - это банальное расширение дроби. Что такое расширение дроби? Это умножение числителя и знаменателя на одно и то же число.

Дальше у нас будут курсы кройки и шитья. Видите на картинке рядочек дробей? Сейчас мы их запишем чуточку по другому. Дальше берем ножницы, вырезаем две дроби и один знак равенства. Сшиваем это в кучку - всё, пропорция готова.

Расширение дроби и пропорция

Что мы делаем дальше? В старину брали гусиное перо, обмакивали его в чернила и ставили кляксу на одном из чисел в пропорции. Всё, классическая задача на пропорции готова, можно переписывать в учебник. Сейчас аэрозольные баллончики гораздо легче найти, чем гусиные перья и чернила.

Задачи на пропорции

Но в Святом Математическом Писании есть четыре буквы, обозначающие пропорции. Как быть с ними? Возьмем и мы в руки любимые цацки математиков и посмотрим, как из одной дроби получаются две.

Пропорция

Как видите, для наведения тени на плетень математики тупо подменяют две понятные буковки одной непонятной. На этом и держатся страх учеников перед неведомым и могущество пропорций в руках математиков. Ну чем не шаманы?

Что такое буква "k" в наших формулах? Это коэффициент пропорциональности. Именно он превращает одну дробь в пропорцию. Для числителя и знаменателя этот коэффициент пропорциональности одинаковый. Если эти коэффициенты будут разными - никакой пропорции не получится. Это и есть главный секрет математических пропорций.

Коэффициент пропорциональности

Почему в математическом справочнике нет ни слова о коэффициенте пропорциональности? Либо математики сами об этом не знают, либо шаманы свято хранят свои тайны. Ведь с коэффициентом пропорциональности все волшебные свойства пропорций испаряются, как дым. Дым над водой - "Smoke On The Water" группа Deep Purple

Два в минус второй степени это

Иногда я подглядываю, что именно вы ищете в интернете и, в частности, на этом сайте. Один из вопросов звучит так: два в минус второй степени это... это одна четвертая. Вот какой я умный. Сейчас. А ещё десять минут назад я прочитал этот вопрос и подумал: "Блин, а это скоко?" Дробные показатели степени, отрицательные... Так сразу и не вспомнить. Десять минут изучения математического справочника - и вот я уже весь такой умный....

Знак минус в показателе степени означает обратное число, то есть дробь, у которой в числителе единичка, а в знаменателе само число. Ну, сейчас у математиков мода такая - лепить, что не попадя, в показатель степени.

Два в минус второй степени это...

Как видите, всё довольно просто. Если в показателе степени нет никаких знаков, значит это хорошая степень и прятать ничего никуда не надо. Если в показателе степени стоит знак минус - это плохая степень и число нужно спрятать, куда подальше. Дальше знаменателя в математике ничего нет. Вот туда число и опускаем. В числителе всё это маскируем единичкой. Поскольку наше число надежно спрятано в знаменателе, знак из показателя степени можно выбросить. Если знак минус не выбросить, число обратно вылезет из знаменателя. Кому это нужно? А никому не нужно. Пусть число сидит там, куда его Родина послала. Уточнять вопрос о том, чья это Родина, мы здесь не будем. Герои-подпольщики и вражеская подпольная агентура - это другая тема в учебниках математики.

Задачи на дроби

Сейчас мы посмотрим, какие задачи на дроби нам предлагает математический справочник.

Задачи на дроби

И так, нам показывают, как найти целое число по величине его части, как найти часть числа по его целому, как найти часть числа в долях целого. Решение этих задач описано на картинке. Лично я не зубрю всю эту галиматью про числа, части, числители и знаменатели. Я включаю логику и решаю задачу. Потом обязательно делаю проверку. Ведь моя логика может и ошибаться.

Что можно сказать о задачах на дроби? Очень актуальные задачи. Были. Несколько тысяч лет назад. В Библии и сегодня присутствует десятина - одна десятая часть, на которую тысячелетиями существуют посредники между Всемогущим и простыми смертными. Естественно, возникает вопрос: какой же Он Всемогущий, если без посредников обойтись не может? Но это так, к слову.

Безмозглые составители учебников по математике совсем не замечают, что сегодня правители для обдирания своих подданных уже давно не пользуются дробями, а применяют проценты. Но тупое переписывание учебников из поколения в поколение делает задачи на дроби очень популярными среди учеников и их мам. Если бы нас лечили так же, как учат математике, то лечение любой болезни начиналось бы с прижигания каленым железом. Ведь именно так лечили в древности.

Гораздо полезнее нам будет разобраться в пропорциях, которые остаются в тренде всегда.

Деление дробей

Математика - это жизнь. Изучать деление дробей мы начнем с истории, произошедшей со знаменитой британской группой Muse. Как я уже говорил в статье про умножение дробей, музыканты всегда играют в живую. На итальянском телевидении их заставили выступать под фонограмму. Музыканты группы Muse решили выразить свой протест, поменявшись перед выступлением инструментами: солист и гитарист сел за ударную установку, ударник встал с бас-гитарой за микрофон, а бас-гитарист взял гитару и встал за клавишные. После выступления ударник дал интервью в качестве фронтмена. Во время съемок никто из телевизионных продюсеров не заподозрил неладное. Понятно, что продюсеры были самими крутыми и самыми умными, как они о себе думали. В таком виде передача вышла в эфир.



Европа - территория сравнительно свободная от бюрократического маразма. Там мало кто из телевизионщиков заглядывает в рот (чтобы знать, кого хвалить) и в попу (чтобы знать, кого какашками забрасывать) своих правителей. Даже телевидение соседней Испании прокатилось по такому очевидному ляпу.



К чему это я? Деление дробей - это умножение под фанеру. Судите сами. Для того, чтобы разделить одну дробь на вторую, нужно вторую дробь перевернуть вверх ногами и умножить на первую. Что значит перевернуть вверх ногами? Попенять местами числитель и знаменатель. Чем не группа Muse, выступающая под фанеру? Вот и получается, что при делении дробей мы фактически выполняем умножение под фанеру математиков: "Деление, деление, деление..."

Давайте посмотрим формулы деления дробей с одинаковыми и с разными знаменателями.

Деление дробей

Естественно, у меня не может не возникнуть наивный детский вопрос: "А деление - это что такое? Самостоятельное математическое действие или переворачивание вверх ногами?" Если верить математикам - это самостоятельное математическое действие. Если смотреть фактам в глаза - это переворачивание вверх ногами. Если число перевернуть вверх тормашками, то мы получим обратное число. Помните, как древние вавилоняне изображали дробь? Как число, умноженное на обратное число.

Если перевернуть вверх ногами первую дробь и умножить на вторую, то мы получим деление второй дроби на первую.

Неправильное деление дробей

С пониманием смысла того, что мы обычно называем делением, нам ещё предстоит разбираться. Деление дробей - это ещё один гвоздь в крышку гроба моей веры в мудрость современных математиков. Тупые безмозглые калькуляторы, которые умеют решать те задачи, которые их научили решать - вот кто такие современные математики. Что такое деление? Чем число отличается от обратного числа? Чем единица измерения в числителе отличается от такой же единицы измерения в знаменателе? Это те вопросы, которые лежат в основе наших представлений об окружающем мире. Если мы не знаем на их ответов, то наши представления об окружающем мире ничем не отличаются от представления пещерных людей.

Если у вас есть пожелания или вопросы по поводу деления дробей, пишите в комментариях. А мы рассмотрим задачи на дроби.

Умножение дробей

С умножением дробей вообще всё просто. Никаких "знаменательных" правил, как при сложении и вычитании дробей. Тупо берем числители и перемножаем, результат записываем в числитель. Затем так же тупо берем знаменатели и снова перемножаем, результат записываем в знаменатель. Вот и вся премудрость умножения дробей.

Если у перемножаемых дробей одинаковые знаменатели, это ничего не значит. Тупо возводим знаменатель в квадрат, то есть умножаем число само на себя. Такой себе математический ... (не буду писать это неприличное слово, которое означает "тихо сам с собою"). Кстати, девочки, вот вам прикольный математический статус: "Мальчики, не занимайтесь возведением себя в квадрат, обратите внимание на девочек!"

Кстати, замечание совсем не пошлое, как может показаться на первый взгляд. Если вы попытаетесь выразить математическими действиями принципы размножения живых существ и понять причины их эволюции, вы неизбежно упретесь в вопрос "А что же такое возведение в квадрат?" И вы с удивлением обнаружите, что "сами с собою" могут только проповедники математики, в самой математике это в принципе не возможно. Возведение в квадрат - это не умножение числа само на себя, а перемножение совершенно разных чисел, имеющих одинаковую величину в данной конкретной ситуации. Это замечание будет вам особо полезно за пределами математики, например, в физике или технике. Даже в геометрии квадрат можно представить как прямоугольник с одинаковыми сторонами, а прямоугольник - как квадрат с разными сторонами. Математические свойства и квадрата, и прямоугольника абсолютно одинаковы.

Теперь мы посмотрим формулы умножения дробей с разными и с одинаковыми знаменателями.

Умножение дробей

Естественно, у вас возникнет вопрос, почему при умножении дробей одинаковые знаменатели перемножаются, а при сложении знаменатель просто переписывается. Я уже писал, что при выполнении математических действий с дробями, их знаменатели выполняют ту же роль, которую выполняют единицы измерения при целых числах. Сложение и вычитание выполняются в пределах одной единицы измерения. Сама единица измерения не меняется. Бестолковые математики никогда не пишут единицы измерения. При умножении две разные единицы измерения превращаются в новую единицу измерения. То же самое происходит при перемножении знаменателей дробей. Если математики не объясняют вам таких элементарных вещей, значит они сами в этом ничего не понимают.

Что может быть проще умножения дробей? Только умножение целых чисел. Если в знаменателях дробей будут единички, наши формулы умножения дробей превратятся в формулы умножения целых чисел. Собственно, умножение дробей можно разбить на два умножения простых чисел - верх перемножается с верхом, результат записывается вверху (в числителе), низ перемножается с низом и результат записывается внизу (в знаменателе).

Думаю, этого будет достаточно. Если у вас остались ещё какие-то вопросы по умножению дробей, задавайте их в комментариях. Если смогу, отвечу.

Дальше мы рассмотрим деление дробей. А поможет нам в этом знаменитая британская группа Muse. На концертах они всегда выступают вживую. Живое выступление можно сравнить с умножением дробей. Давайте посмотрим, как выглядит песня Muse "Muscle Museum" на концерте.

Сложение и вычитание дробей

Какие действия над дробями можно выполнять? Сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Да и вообще, с дробями можно делать всё, что вы делаете с другими числами. Сравнивать дроби мы уже научились. Лично мне кажется, что математические действия не признают нашего числового расизма, для них все числа одинаковы.

Действия с дробями

При сложении и вычитании дробей действует "знаменательное" правило - складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями. Так сказать, слияние знаменателей. Сложение и вычитание дробей возможно только при условии слияния знаменателей. А условием слияния знаменателей является их абсолютное равенство. Кстати, в термоядерном синтезе, по уверению наших ученых, сливаются только ядра одинаковых элементов: синтез водорода, синтез гелия и так далее. Почему не происходит слияние ядер различных элементов? Неужели термоядерный синтез в физике подчиняется законам сложения дробей??? Но это так, только что мне в голову пришло. Записал здесь, чтобы не забыть такой интересный вопрос.

Сложение дробей

Обычно я тупо перемножаю знаменатели и получаю общий знаменатель, не заморачиваясь со всякими там наименьшими общими кратными (НОК). После сложения всё лишнее сократится. Выглядит это приблизительно так.

Сложение дробей неправильно

Естественно, для тупых бюрократических функций правильность выполнения всех действий имеет принципиальное значение. Какой же это шаман, который даже танец с бубном правильно станцевать не может? Математике-то по барабану - делайте, как хотите, лишь бы результат был правильным. Вот как нас нас математики учат правильно складывать дроби.

Сложение дробей правильно

Как видите, в конце нам ничего сокращать не нужно. Но зато со знаменателями возиться приходится - искать наименьшее общее кратное. Школьникам нужно делать так, как учителя требуют. Иначе хороших оценок не видать. Взрослым можно делать как угодно. Им плохие оценки не угрожают.

Это ещё не всё про сложение дробей. Теперь возьмем любимые цацки математиков - буковки - и посмотрим, как сложение дробей выглядит в буквах. Сами математики почему-то стесняются нам показывать этот фокус. Сперва складываем две дроби с одинаковыми знаменателями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Вот такая простая формула сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели у складываемых дробей разные, формула по интереснее будет.

Сложение дробей с разными знаменателями

Вот какая крутая формула сложения дробей с разными знаменателями. Ну, и как из двух разных буковок выковырять наименьшее общее кратное? Математики, ау! Такая фигня, как НОК, математической формулой не предусмотрена. Это всё тупые бюрократические функции из министерства учебников придумали. С точки зрения математики, поиск наименьшего общего кратного не является обязательным элементом сложения дробей.

Ради математической справедливости нужно рассмотреть сложение дробей в древневавилонском отображении, то есть, заменить дробь умножением числа на обратное число.

Сложение дробей в древнем Вавилоне

В первой строчке сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше - сложение дробей с разными знаменателями. Как видите, всё чудненько работает, только грамматика записи чуть-чуть другая. Впрочем, эта грамматика нисколько не противоречит современным формам записи математических выражений. Приведенные формулы можно считать доказательством того, что в древнем Вавилоне могли легко складывать дроби. Я не думаю, что тогда люди были глупее нас. Судя по нашим школьным учебникам математики - гораздо умнее. За пять тысяч лет можно не только поумнеть, но значительно поглупеть. Особенно, если постоянно забивать мозги всякой дрянью.

Естественно, я буду не я, если к формулам сложения дробей не притяну за уши убогое определение рациональных чисел. То, в котором буквы "пэ" и "кью".

Формулы сложения дробей

Что такое число "ка"? Это число, которое исчезает в результате сокращения дроби. Если при сложении дробей получилась несократимая дробь, значит у нас k=1, если в результате сложения дробей получилось целое число, значит у нас k=1, q=1.

В формулы сложения дробей вместо буковок a, b, c, d можно подставлять всё, что угодно - целые числа, дробные, квадратные корни, математические выражения... Эти формулы будут работать всегда. Это настоящая математика, которая не зависит ни от научной моды, ни от маразма научных правителей. С буковками p и q более печальная история. Маразм современных математиков разрешает подставлять вместо них только целые числа с целью получения рационального числа. Но это только в теории чисел. В других разделах математики в числителе и знаменателе дроби можно встретить всё, что угодно.

Вычитание дробей

Вычитание дробей выполняется точно так же, как и сложение, только знак плюс заменяется на знак минус. Я не стану полоскать вам мозги диссертацией про вычитание дробей с целью начитывания учебных часов. Если вы поняли принципы сложения дробей, то с вычитанием у вас проблем не будет. Формулы вычитания дробей могу показать, с тем же рациональным маразмом в конце, который нам напоминает о необходимости сокращения дроби в конце. Математиков тошнит от не сокращенных дробей.

Формулы вычитания дробей

И это ещё не конец. Теперь мы запишем формулы сложения и вычитания дробей в чистом виде, без всякого рационального маразма.

Сложение и вычитание дробей

Верхние формулы показывают сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нижние формулы для дробей с разными знаменателями.

А в заключение мы возьмем формулу сложения и вычитания дробей с разными знаменателями и посмотрим, как она превращается в сложение и вычитание целых чисел. То простое сложение, которому учат ещё в детском садике.

Дроби и целые числа

Вот так выглядит преобразование сложения и вычитания дробей в сложение и вычитание целых чисел. Если математики вам таких преобразований не показывают, значит они не хотят, чтобы вы что-то понимали в математике. Но чаще всего математики сами ничего не понимают в математике, а тупо повторяют то, чему их научили.

После сложения и вычитания дробей мы рассмотрим умножение дробей.

Сравнение дробей

Вот теперь можно рассмотреть сравнение дробей. Умный математический справочник по этому поводу пишет следующее.

Сравнение дробей

Для сравнения дробей с разными числителями и знаменателями их предварительно приводят к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем нескольких дробей называется наименьшее общее кратное (НОК, есть такая бяка в математике) их знаменателей.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, находим НОК знаменателей дробей и берем его в качестве знаменателя каждой данной дроби. Числитель каждой дроби увеличиваем во столько раз, во сколько раз её знаменатель меньше общего.

Нет, это не я такой умный, два последних абзаца я тупо передрал из умного справочника. Не благодарите, лучше посмотрите пример сравнения дробей.

Пример сравнения дробей

Для того, чтобы сравнить две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Это если знаменатели у дробей разные. Если знаменатели одинаковые, тогда просто сравниваем числители дробей. Чем больше числитель, тем больше дробь. Если числители равны, то равны и дроби. Всё очень просто. После этого можно смело проставлять знаки больше, меньше или равно.

Еще раз повторим пройденный материал. Когда перед нами, на препараторском столе, находятся две дроби для сравнения, первым делом смотрим ниже пояса - в знаменатель. Если знаменатели одинаковые, переводим взгляд вверх, в числитель, и сравниваем "фейс ту фейс" (лицом к лицу, не путать с процедурой "фейс ин тейбл" - мордой об доску). Если портреты совпадают, то есть числители равны, значит дроби равны. Это кто-то пытается нам дважды втюхать одно и то же.

Если знаменатели разные, немедленно направляем пациентов в реанимацию, где их нужно привести к общему знаменателю. Только после выполнения всех "знаменательных" процедур, можно переходить к процедуре "фейс ту фейс".

Век живи - век учись. С удивлением сейчас обнаружил, что знаменатели в дробях играют ту же самую роль, которую играют единицы измерения в обычных числах или физических величинах. Нельзя сравнить два числа или две физические величины с разными единицами измерения. Что больше, две секунды или два метра? Идиотский вопрос. Но идиотский он именно потому, что невозможно сравнить время и длину. Даже числа можно сравнивать только тогда, когда они в одинаковой системе счисления. Мы на полном автомате всегда пользуемся десятичной системой счисления. Но бывают и другие. Двоичная, например. 11 в двоичной системе счисления не равно 11 в десятичной системе счисления. Двоичная 11 - это 3 в десятичной системе счисления.

Математике по барабану, в какой системе счисления или с какими единицами измерения мы работаем. Фундаментальный математический закон всегда один: при сравнении единицы измерения должны быть одинаковы. Это правило вам пригодится на всю оставшуюся жизнь.

Кстати, мой вам дружеский совет - учитесь понимать математику через единицы измерения. Тогда вам не будет равных. Ведь сегодня для математиков единицы измерения то же самое, что для пещерных людей - огонь из газовой зажигалки. Они знают, что это есть, но не имеют ни малейшего представления, как это работает.

Правда, в понимании математики есть один подвох. Избрав математику своей профессией, вам придется бороться со всей мощью бюрократической системы, которая со времен инквизиции обрастает буйной плесенью "высшей" математики. Если же вы своей профессией изберете, например, физику, тогда вы сможете гонять математиков пинком под зад: "Мне всё равно, чему тебя учили в институте. Делай так, как говорю я!". Надеюсь, вас не съедят тупые бюрократические функции на долгом пути к знаниям. Ведь умных никто не любит.

Вот теперь мы готовы рассмотреть действия над дробями и начнем мы со сложения и вычитания дробей.

Дроби и свойства дробей

Тут недавно, в комментариях к интересной математике, меня попросили объяснить, что такое пропорция и отношение. Я так полагаю, что ни один математик сегодня не в состоянии толком объяснить пропорции. Почему? Во-первых, их этому не учили. Во-вторых, у них нет собственных мозгов, думают математики только определениями. Но начать нам нужно с темы "дроби и свойства дробей". Есть там один очень примечательный фрагмент, который нам и покажет, где рождаются пропорции.

Возьмем математический справочник и почитаем. Почему справочник? Там нет мусора, который так любят совать в учебники их авторы. Всё коротко, не совсем ясно, но пригодно для широкого употребления. Справочник рассчитан на учащихся средних специальных заведений. То есть, на тех, кто школу уже закончил и всё давно забыл, а учебники выбросил. А тут под рукой справочник - всё самое основное для быстрого восстановления памяти.

Дроби и свойства дробей

Начинается этот раздел из грозного определения рациональных чисел. Они же дроби. Лично я ничего не имею против дробей, но я против несокрушимой тупости определений. Буквы в определение можно вписать любые и смысл его от этого не изменится.

Варианты обозначения дробей

Я так же против деления чисел на натуральные, целые, рациональные и так далее. Этот числовой расизм - бытовой пережиток каменного века. Разделяй и властвуй - вот какой принцип заложен в основу деления чисел по внешнему виду. О чем это я? А вот о чём.

Вы внимательно прочитали текст на первой картинке? А теперь попробуйте ответить на вопрос "Что такое единица?". Что бы вы не сказали, я всегда могу возразить, что ваш ответ не правильный. Фокус в том, что однозначно правильного ответа не существует. Есть множество правильных ответов, из которых я всегда могу выбрать не тот, что сказали вы. Что бы поставить вам двойку. Или назвать ваш ответ правильным, что бы поставить отлично.

Смотрите. Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна единице и называется это неправильной дробью. Так что такое единица? Это и натуральное число, и целое число, и рациональное число, и неправильная дробь... Теперь попробуйте угадать с трех раз, какой ответ хочет от вас услышать учитель? А ведь у учителя в запасе есть и четвертый вариант.

Но дробь ещё можно называть отношением. Хотя, по другим источникам, отношением двух чисел называется частное этих чисел. То есть не само обозначение деления, а его результат. Но в таком случае и простая дробь, она же обыкновенная дробь - это не что иное, как недоделанное деление. Так сказать, "протокол о намерениях". Ведь в числите и знаменателе могут стоять натуральные числа (иррациональное число), одинокие буквы (простая дробь), математические выражения (алгебраическая дробь).

Вам ещё не страшно? Добавим к этому гаданию на кофейной гуще ещё один рецепт. Из древнего Вавилона. Дело в том, что у древних вавилонян не было понятия дробного числа. Дробь они изображали как умножение числа (натуральное число больше единицы) на обратное число (единица, деленная на число). Вот как это выглядит в классическом обозначении дроби.

Вавилонский вариант дроби

Наши математики такое развитие сюжета тупо игнорируют. Ведь здесь мы лицом к лицу сталкиваемся с вопросом: "А что такое умножение и деление?". Судя по всему, современные математики не способны внятно ответить на этот вопрос.

Лично я древним математикам верю гораздо больше, чем современным. Ведь математика в современном супермаркете отличается от математики на базаре древнего Вавилона только тем, что на современных ценниках присутствуют нули, которых пять тысяч лет назад не было. Числа, сложение, вычитание, умножение, деление, измерение длины, времени, углов, вычисление площади, объема, квадратного корня... Всё, чем мы ежедневно пользуемся сегодня в быту, и даже больше, появилось ещё в те незапамятные времена.

Современные математики подарили нам ноль и никому не понятные толстые учебники. А ещё они здорово (или не очень) умеют решать те задачи, которые их заставляют решать. Но все эти решения больше похожи на пляски шаманов с бубнами, чем на осмысленные действия.

Но это всё так, старческое брюзжание. Для общего развития. Что делать вам? Тупо учите то, что вас заставляют учить, и отвечайте то, что от вас хотят услышать. Свое мнение оставляйте при себе. Может быть, когда-нибудь, вы сможете его высказать без вреда для себя. А пока... Если вы понимаете больше, чем окружающие, это уже ваш плюс в борьбе за место под солнцем.

Теперь вернемся к математике и рассмотрим сравнение дробей.

Тайна числа пи

В ходе дружеской переписки с Олегом Рофилтом, он мне показал, как можно построить окружность одной линейкой, без циркуля. Лично я считаю этот способ весьма сомнительным. Интересно, как без циркуля, на чистом листе бумаги, можно построить перпендикулярные и параллельные линии? На глаз? Это уже не геометрия, а рисование под линейку.

Естественно, в ходе обсуждения рисунка не мог не возникнуть вопрос: в чем заключается тайна числа "пи"? Ещё древние математики установили, что отношение длины окружности к её диаметру - число постоянное. Позже к этому числу прилепили ярлычок буквы "пи". Сегодня мы, как и положено калькуляторам, тупо берем число"пи", тупо его применяем. Где, как и почему возникает число "пи"? Этот вопрос интересует не одного меня.

Изучив алгоритм построения, я вынес свой вердикт: в основе картинки лежит банальное равенство sin(90-alfa)=cos(beta). А дальше... Дальше Олег Рофилт предложил следующие рассуждения:

"Пишу строго по рисунку. Берем два квадрата A'1 N'5 E M5 и A M'5 E' N5 с центрами O и O'.

Окружность и два квадрата

Для каждого из них справедливо sin(N-alfa)=cos(beta) N=0.....360
Это позволит описать две линии ломанной O' M M O (N5 M5)"

Формула явно не правильная. Да и с ломаной линией ничего не понятно. Какая именно линия имеется в виду? Я ответил следующим замечанием и рисунком:

"На рисунке преломление под углом в 45 градусов превращает синус в косинус или на оборот. Пересечение синуса и косинуса дает точки единичной окружности. Ничего особо интересного."

Тайна числа пи

Но Олега тайна числа пи явно зацепила. Дальше последовал целый набор рисунков.

Тайна числа пи. Окружности и квадраты.

Тайна числа пи. Два квадрата и окружность.

Тайна числа пи. Ломаная линия.

Тайна числа пи. Диагонали.

Тайна числа пи. Площади.

Составлять уравнения и ковыряться в формулах мне не хочется. Я не вижу путей достижения конечной цели. Возможно, среди вас найдутся не такие ленивые, как я? Свои результаты вычислений можете направлять мне (мой почтовый адрес в профиле) или Олегу Рофилту (ссылка на его страницу в начале этой статьи).

Дальше было ещё одно письмо от Олега: "Суть такова. Есть в рисунке всегда повторяющаяся часть (кроме 90 град). Эти два треугольника надо представить в виде формул и вывести точку О2. Не знаю, как это оформить. Высылаю рисунок."

Тайна числа пи. Расчеты.

Ещё одна цитата из письма Олега Рофилта: "Вот так проблема - тысячелетиями с места не сдвигается. Вы еще контактируете с парнем, который публиковался на вашем сайте, или еще с кем-то кто способен сложить 2+2 ?:)"

Лично я способен сложить 2+2, но я не вижу смысла в этом сложении. Что потом делать с результатом? Кое-какие свои соображения Олег выложил в очередных письмах.

Тайна числа пи. Рисунок с координатами точек.

Вот комментарий к этому рисунку: "Я там немного поспешил, я вам отправил исходный рисунок. В этой системе координат он свободно решается:) Т.е. исходную формулу на глаз (измерить и заменить цифры буквами ) получить не сложно. Даны два треугольника, по формуле с2=а2+в2. Затем записываем сторону треугольника через две точки (например 20-0). И выводим точку (с координатами (1/2; 1/2)). Так получаем первую формулу."

Тайна числа пи. Выведение формул.

"Следующий шаг довольно затруднительный , он будет по последнему рисунку. Надо будет вложить полученную формулу в другую. Вторая формула должна описать, что мы имеем четыре квадрата, составляющие один большой. И диагонали, минимум одну. Но, думаю, то же четыре, остальные потом, если что, можно выкинуть. Здесь проблема - из чего выводить формулу (периметр или площади)? Если большой квадрат состоит из четырех, то показать это можно только через ПЛОЩАДИ, но если при этом выразить сторону квадрата, то получится типа за основу взят 2Х МЕРНЫЙ ОБЪЕКТ. Я не фанат подобной идеи, но другие варианты вообще ничего не могут соединить."

Вот так и становятся математиками. В сентябре 2006 года я взялся за решение подобной задачи. Меня интересовали координаты конкретных точек четырехугольника и изменение этих координат при изменении внешних условий. Так появились на свет уравнения четырехугольника. У меня ушло девять месяцев на то, чтобы получить бриллиантовое колье четырехугольника и насладиться результатом. После этого были куб и окружность, но без формул. Уже в то время я увидел в математике более интересные задачи, чем координаты отдельных точек разных геометрических фигур.

Если вы считаете, что школьникам в математике делать нечего, вы глубоко ошибаетесь. Современные математики имеют очень и очень смутное представление о самых элементарных вещах. Боюсь, что раскрыть тайну числа пи в рамках существующих математических догм будет весьма не просто.