пятница, 11 ноября 2011 г.

Приведение углов

Приведение углов - это та задача, которую необходимо решить прежде, чем приступать к приведению тригонометрических функций по формулам приведения. Вот пример вопроса: "Приведите к тригонометрическим функции угла от 0 до 90 град. а) tg 137 град. б) sin (-178) град как решить?"

Начинать решение этой задачи нужно с другой, более простой задачи на приведение углов к значениям от 0 до 90 градусов. Для этого имеющийся угол нужно представить как сумму или разность, используя при этом угол в 90 градусов или кратные ему углы и угол в пределах от 0 до 90 градусов. Это написано всё очень заумно, а делается очень просто. Смотрите:

137 = 90 + 47

137 = 180 - 43


Мы разложили имеющийся угол двумя способами. Вариантов решения этой задачи так же может быть два. Для второго угла так же может быть два варианта:

-178 = -180 + 2 = 2 - 180

-178 = -90 - 88 = -(90 + 88)


Теперь займемся приведением тригонометрических функций. Для этого используем формулы приведения тангенса. На картинке я подчеркнул и подписал те формулы, которые мы будем использовать в первом и во втором случае.

Тангенс формулы приведения пример. Приведение углов. Решение задачи по тригонометрии. Математика для блондинок.
Тангенс формулы приведения пример

В первом случае мы применяем формулу сложения для 90 градусов, во втором случае мы применяем формулу вычитания для 180 градусов. Теперь запишем оба решения для тангенса угла 137 градусов.

tg 137 = tg (90 + 47) = -ctg 47

tg 137 = tg (180 - 43) = -tg 43


Всё, мы сделали то, что от нас требуется в задаче. Записывайте любой из вариантов, оба они правильные, поскольку численные значения полученных функций равны.

Теперь приступим к решению задачи про синусы. Угол мы уже разложили на составляющие, теперь нам нужно подобрать соответствующие формулы приведения синуса. Снова рассматриваем два варианта.

Синус формулы приведения пример. Решение задачи по тригонометрии sin. Приведение углов. Математика для блондинок.
Синус формулы приведения пример

В первом случае применяем формулу вычитания из угла ста восьмидесяти градусов. Во втором случае применяем сперва формулу нечетности синуса, а после этого формулу сложения углов для 90 градусов. Записываем эти решения.

sin (-178) = sin (2 - 180) = -sin 2

sin (-178) = sin [-(90 + 88)] = -sin (90 + 88) = -cos 88


Как водно из решения, второй вариант более громоздкий в записи.

В заключение, можно ещё посмотреть на те углы, которые мы рассматривали. Напомню, что положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные - по часовой стрелке. Для наглядности возьмем картинку из статьи про круг градусов и радиан.

Круг градусы и радианы применение. Положительные и отрицательные углы. Знаки тригонометрических функций. Математика для блондинок.
Круг градусы и радианы применение

Красными прямоугольниками выделены те тригонометрические функции, которые мы рассматриваем. Как видите, и для тангенса, и для синуса значения получаются отрицательные, что соответствует результатам, полученным нами по формулам приведения.

11 комментариев:

  1. Спасибо! очень занятно =D

    ОтветитьУдалить
  2. Спасибо Автору!!!

    ОтветитьУдалить
  3. спасибо,
    помогли разобраться)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ну, это только разбор математических полетов:) Со смыслом всех этих формул приведения мы ещё будем разбираться.

      Удалить
  4. Спасибо, все очень просто и понятно)))

    ОтветитьУдалить
  5. Спасибо, всё замечательно!)

    ОтветитьУдалить
  6. Спасибо за обзор с sin ( a- 90) и т.п. в справочниках пишут только в форме sin ( 90 - а). Доступное объяснение.

    ОтветитьУдалить
  7. спасибо огромное,все понятно и легко.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Да не за что. Внушать чужую дурь в невинные умы - большого труда не составляет)))

      Удалить
  8. Подскажите пожалуйста, как найти косинус -55,3 и синус -55,3. И как находятся значения с минусом. Спасибо!!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Для таких случаев математики придумали разделить тригонометрические функции на четные и нечетные. Вот формулы:

      четные
      cos(-α)=cosα
      sec(-α)=secα

      нечетные
      sin(-α)=-sinα
      tg(-α)=-tgα
      ctg(-α)=-ctgα
      cosec(-α)=-cosecα

      По тригонометрической таблице берите значение угла без знака, знак дописывайте потом в соответствии с формулами.

      Удалить