Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Подскажите, как это переварить?
 |
| Прямоугольный параллелепипед площадь поверхности |
Вопрос, конечно, не простой - что такое прямоугольный параллелепипед, как и с чем его едят? В частности, как найти рецепт приготовления площади поверхности этого то ли фрукта, то ли овоща? Так, для начала давайте посмотрим, что это вообще такое - прямоугольный параллелепипед? Вот картинка прямоугольного параллелепипеда.
 |
| Прямоугольный параллелепипед |
Как видите, прямоугольный параллелепипед - это, собственно, обыкновенный кирпич. Кстати, если бы Ньютону на голову упала не сфера в виде яблока, а прямоугольный параллелепипед в виде кирпича, то в школе мы вряд ли бы учили его законы. Прямоугольная комната - это тоже прямоугольный параллелепипед, который позволяет вам совершить обзорную экскурсию по его достопримечательностям прямо изнутри. Если вы хотите произвести внешний осмотр достопримечательностей сего математического чуда, тогда возьмите в руки коробку из-под обуви и можете вертеть её, сколько душе угодно.
И так, прямоугольный параллелепипед на картинке дает нам возможность увидеть вершины, ребра и диагонали. Вершины мы можем потрогать пальцем, ребра мы можем измерять, диагональ можем высчитать. Нам сейчас диагональ не нужна. Закон движения учеников в классе знаете? Если леди-учитель покидает класс, класс движется быстрее. Закон решения задач очень похож: чем меньше всякой ерунды нам нужно искать, тем проще задача.
Первая проблема, с которой мы сталкиваемся в задаче, это проблема сленга. Задача сформулирована на бытовом сленге, а все формулы и определения в математике формулируются на математическом сленге. Поэтому нам самим предстоит выполнить перевод. Приступаем к поэтапному переводу, по фразам.
"Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины ..." - собственно, здесь говорится о тех ребрах, которые позволяют нам определить размеры прямоугольного параллелепипеда и на основании этих размеров выполнить все необходимые вычисления. На картинке это ребра a, b и c. Кто бы сомневался, что именно эти три ребра нам дадут по условию, но только не я. Ни один математик вам этого не скажет (не потому, что они этого не знают, а из боязни нарваться на очень неудобные вопросы), но если в условии задачи дать две длины параллельных ребер и одного перпендикулярного им, то нашу задачу в принципе решить будет невозможно. В прямоугольном параллелепипеде из любой вершины всегда выходит три взаимно перпендикулярных ребра. Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества.
Следующая фраза "... равны 1, 2, 3" обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил (или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет). Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся.
Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост - в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину инопланетяне? Мы вообще не знаем. Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются. Вот два способа получения результата в математике.
разные числа + одинаковые единицы измерения = разный результат
одинаковые числа + разные единицы измерения = разный результат
Приблизительно, как в этом счетчике. Крутим одно колесико - меняются числа. Крутим другое колесико - меняются единицы измерения. Так устроена настоящая математика, маленький кусочек которой мы сейчас рассматриваем.
 |
| Математика |
Это уже не детская математика, придуманная специально для того, чтобы мучить нас задачками. Это взрослая математика, одинаковая для всех.
В нашей задаче мы измеряем всё в абстрактных единицах измерения длины. Соответственно, полученная нами площадь будет измеряться в этих же единицах измерения, возведенных в квадрат.
Теперь нам осталось только достать из глубокого кармана шпаргалку с формулами для прямоугольного параллелепипеда и посмотреть, чего полезного для нас там имеется.
 |
| Прямоугольный параллелепипед формулы |
Что вообще есть в этой шпаргалке? Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда, формула объема. Есть несколько формул для площади поверхности: полная, основания, боковая. Вот одна из этих формул нам как раз нужна. Разберемся в площадях на примере коробки для обуви. Площадь основания - это площадь донышка или крышки коробки. Площадь боковой поверхности - это боковые стеночки коробки без донышка и крышки. Полная площадь - это боковые стеночки вместе с донышком и крышкой.
Теперь смотрим в условие задачи и определяем, "чё тебе надобно, старче?". А надобно ему (ей, им) "площадь поверхности". Если уточнений типа "боковой" или "основания" нет, значит искать нужно полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Длины трех граней у нас есть, формула тоже, можно произвести расчет. Заморачиваться с основаниями и боками нам нет смысла.
 |
| Прямоугольный параллелепипед решение задачи |
Как видим, полная площадь поверхности нашего прямоугольного параллелепипеда получилась равной 22 единицы в квадрате. Какие именно единицы? А какие вам не жалко или какие вы больше всего любите.
По просьбе учащихся добавляю картинку про сумму длин ребер прямоугольного параллелепипеда.
 |
| Прямоугольный параллелепипед периметр |
Сумму длин всех ребер параллелепипеда я обозначил через букву "P", поскольку она очень похожа на периметр прямоугольника. Кстати, в формуле длин всех ребер я этого не записал, но если мы возьмем три фигурообразующие грани прямоугольного параллелепипеда, которыми являются прямоугольники, то сумма длин всех ребер параллелепипеда будет равна сумме периметров этих прямоугольников.
Найдите площадь поверхности прямой призмы с боковым ребром , равным 5 , в основании которой лежит ромб с диагоналями , равными 3 и 4 .
ОтветитьУдалитьпомогите пожалуйста понять !
На листочке рисуем ромб. В вершинах вертикально ставим четыре спички. Сверху мысленно дорисовываем такой же ром. Это наша призма - коробочка для подарка в виде ромбика.
УдалитьПлощадь поверхности этого создания равна, как и у всех призм, двум площадям оснований плюс площадь боковых граней (их четыре).
В основании ромб. Его площадь равна половине произведения диагоналей.
3*4/2=6
Площадь боковой грани равна произведению бокового ребра (5) на сторону ромба (?). Теперь нужно найти сторону ромба.
Диагонали ромба всегда расположены под прямым углом. Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Имеем четыре одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза - это сторона ромба. Теорема Пифагора - это то, что доктор прописал при подобных симптомах. Делим диагонали пополам, возводим половинки в квадрат, складываем в кучку и выковыриваем из этого квадратный корень.
sqrt(1,5^2+2^2)=sqrt(2,25+4)=sqrt6,25=2,5
Теперь ищем площадь боковой поверхности.
4*2,5*5=50
Полная площадь поверхности призмы равна:
6*2+50=12+50=62
Всё. Блюдо готово, прошу к столу. Кушайте, только не обляпайтесь:)
спасибо большущее , очень помогли !
УдалитьВот как так можно не решить такую простую задачу?
УдалитьСпасибо! у нас вобще даются только площади сечений образованными диагоналями оснований.
Удалитьчувствовала что дело в ромбе, но уверенности не было.
Ребро куба равно а м. от этого куба отрезан прямоугольный параллелепипеда, высота которого равна h м. Найдите обьём оставшейся части.
ОтветитьУдалитьОбъем параллелепипеда равен h*a^2
УдалитьОбъем огрызка куба будет равен
(a-h)*a^2 что равно a^3-h*a^2
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 12 см2. Найдите диагональ боковой грани,учитывая,что диагональ основания равна корень из 2 см.
ОтветитьУдалитьИз теоремы Пифагора находим, что диагональ квадрата равна корню из двух умноженному на длину стороны. Отсюда сторона квадрата равна диагонали, деленной на корень из двух. В нашем случае сторона квадрата равна 1 см.
УдалитьПлощадь боковой поверхности равна периметру, умноженному на высоту прямоугольного параллелепипеда. Периметр у нас 1*4=4 см, тогда высота равна 12/4=3 см.
По теореме Пифагора квадрат диагонали боковой грани равен сумме квадратов стороны основания и высоты 1*1+3*3=10
Сама диагональ боковой грани равна корню квадратному из 10.
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2:3, а диагональное сечение есть квадрат с площадью 169. Найдите объем параллелепипеда.
ОтветитьУдалитьОтвет 1014. Интересно было бы решение. Спасибо большое!
Методом научного тыка удалось выяснить, что диагональное сечение образовано диагональю основания и высотой. Высоту прямоугольного параллелепипеда определяем как корень квадратный из 169 и равна она 13. Диагональ основания так же равна 13.
УдалитьЗная соотношения сторон основания и диагональ основания, запишем теорему Пифагора, обозначив стороны основания 2х и 3х:
4x^2 + 9x^2 = 13^2
13x^2 = 13^2
x^2 = 13
Икс равняется корню квадратному из 13. Считаем объем параллелепипеда. Два корня из 13 умножаем на три корня из 13 - это площадь основания. Она равна 2*3*13=78
Теперь умножаем на высоту 78*13=1014
стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 дм и 5 дм, острый угол равен 60 градусов.Найдите высоту параллелепипеда, если его большая диагональ равна 25 дм.
ОтветитьУдалитьЗдесь много рисовать надо. Расскажу на пальцах. В основании лежит параллелограмм со сторонами 3 и 5 дм и углом 60 градусов. Нужно найти его длинную диагональ (формул не нашел, юзаем теорему Пифагора).
УдалитьКорень из {(5 + 3cos60)^2 + (3sin60)^2} = 7 дм
Диагональ параллелограмма, диагональ параллелепипеда и высота образуют прямоугольный треугольник. Теперь по теореме Пифагора находим высоту.
Корень из (25^2 - 7^2) = 24 дм
дан прямоугольный параллелепипед где АВ=3,ВС=2,ВВ1=4.Задайте прямоугольную систему координат Oxyz и определите сумму координат точки пересечения диагоналей грани DD1C1C.
ОтветитьУдалитьЗадача рассчитана на тупых дрессированных обезьян. Как я подозреваю, прочитав задание, мы должны поместить центр системы координат в вершину В, оси совместить с тремя гранями АВ, ВС, ВВ1 и приступить к вычислениям координат указанной точки, применяя теорему Пифагора. Наверное, именно такого решения ждут учитель и составители задачи. В таком случае, они вообще не представляют, что такое система координат, как и для чего нею можно пользоваться.
УдалитьЛюбое разумное существо центр системы координат поместит в точку пересечения диагоналей грани DD1C1C и сумма координат этой точки будет равняться нулю. В какую бы сторону мы не направили оси. Нам вычислять ничего не нужно. Задача по правильному размещению системы координат именно так и должна решаться. (Система координат принадлежит нам - куда хотим, туда и помещаем). Но за такое решение, скорее всего, вам поставят двойку. Дело в том, что учителя сами вынуждены выступать в роли дрессированных обезьян и выполнять то, что от них требуют. Таковы правила бюрократических игр в образование.
основанием прямой призмы служит ромб,диагонали призмы 8 и 5,высота 2. Найти сторону основания
ОтветитьУдалитьНужно пользоваться теоремой Пифагора. Диагональ призмы, диагональ ромба в основании и высота призмы образуют прямоугольные треугольники. Находим длины диагоналей ромба:
Удалитькорень (8^2-2^2)= корень (64-4)= корень из 60
корень (5^2-2^2)= корень (25-4)= корень из 21
Две половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Рецепт тот же - теорема Пифагора:
корень ((60-21)/4)= корень (39/4) = 3.1225
Нужно пользоваться теоремой Пифагора. Диагональ призмы, диагональ ромба в основании и высота призмы образуют прямоугольные треугольники. Находим длины диагоналей ромба:
Удалитькорень (8^2-2^2)= корень (64-4)= корень из 60
корень (5^2-2^2)= корень (25-4)= корень из 21
Две половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Рецепт тот же - теорема Пифагора:
корень ((60-21)/4)= корень (39/4) = 3.1225
найти объём прямоугольного параллепипеда, если извесны его длина 3дм,ширина 3дм и высата 3дм. памагите решить
ОтветитьУдалитьА формулу объема записать забыл... Нужно умножить длину на ширину и высоту:
Удалить3*3*3=9*3=27 дм^3
Так как все размеры заданы в дециметрах, то в результате получается 27 кубических дециметров.
Николай, добрый вечер! Хотела спросить про формулу боковой поверхности параллелепипеда - как объясняется связь между суммой двух ребер и произведением высоты???!(( как это объяснить ребенку? или эта формула не выводится? она принимается, как факт? спасибо!!!
ОтветитьУдалитьВ математике выводится всё. Раскройте скобки и вы получите удвоенную сумму произведения ребер на высоту. Произведение ребра основания на высоту - это площадь одной прямоугольной боковой грани. В основании у нас прямоугольник, значит мы имеем четыре боковых грани. При этом противоположные боковые грани являются прямоугольниками и они равны.
УдалитьМожно посмотреть с другой стороны. Удвоенная сумма ребер основания - это периметр прямоугольника, лежащего в основании. Если этот периметр умножить на высоту параллелепипеда, мы сразу получим площадь четырех боковых граней.
В математическом виде все эти рассуждения сводятся к простому равенству:
2*c*(a+b)=a*c+b*c+a*c+b*c
Кстати, рекомендую попросить ребенка самого раскрыть скобки и довести выражение до четырех слагаемых. Потом показать ему, что каждое из этих слагаемых является площадью бокового прямоугольника. Потом предложите ему выполнить преобразования четырех слагаемых в обратном порядке, чтобы получилась исходная формула.
УдалитьСпасибо Вам огромное! я так и сделала. надеюсь, что ребенок мой не будет ленивой и захочет подумать сама))
ОтветитьУдалитьдиагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10 см а диагонали боковых граней 2 корня из 10 см и 2 корня из 17 см. найдите объем параллелепипеда.
ОтветитьУдалитьПомогите решить пожалуйста!
Это решение системы трех уравнений с тремя неизвестными. Неизвестные - это ребра прямоугольного параллелепипеда. Уравнения - это теоремы Пифагора для диагоналей. Квадрат диагонали ребра равен сумме квадратов образующих эту грань ребер (a и b, b и c, c и a). Длины диагоналей у нас даны. Решив систему, найдем длины ребер.
УдалитьА с объемом совсем просто - перемножаем длины ребер между собой:
V=a*b*c
Спасибо!)
УдалитьА=6,3см,Б=3,5см,С=10,4
ОтветитьУдалитьБерем три банана и складываем в кучку
Удалить6,3*3,5*10,4
После этого указательным пальцем (с предварительно обгрызенными ногтями) тыкаем в кнопочки калькулятора. Если удалось выковырять число 229,32 значит можно съесть один честно заработанный банан.
Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны 6см,6см и 8 см.
ОтветитьУдалить1.Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,проходящей через середины этих рёбер.
2.Найдите периметр этого параллелепипеда.
Пожалуйста,помогите решить данное задание.
Берем нож и отрезаем один уголок так, чтобы нож разрезал три перпендикулярных ребра ровно по середине. Отрезанная часть будет представлять из себя треугольную пирамидку.
УдалитьПериметр прямоугольного параллелепипеда определяется как сумма двух периметров основания и четырех высот. Можно в параллелепипед потыкать пальцем и высчитать, что каждое ребро встречается в этом чуде природы ровно четыре раза. То есть, сумма длин всех ребер (периметр параллелепипеда) равна сумме перпендикулярных ребер, умноженной на четыре:
4*(6+6+8)=80 см
Вот так.
аквариум иммет форму прямоугольного паралеллепипеда.Его боковые стенки стеклянные.Определите площадь поверхности стекла,если длина 50см,ширина 25см,а высота 30см.
ОтветитьУдалитьНужно определить площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда. Она будет равна площади поверхности стекла аквариума. Для этого периметр основания (две длины плюс две ширины) нужно умножить на высоту:
УдалитьSбок=(2a+2b)c=2c(a+b)=2*30*(50+25)=4500 см^2
Получилось, что площадь поверхности стекла в таком аквариуме равна 4500 квадратных сантиметра.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ AC1=17, ребра AB=9, BC=8. Найти BB1
ОтветитьУдалитьИспользуем теорему Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали равен сумме квадратов перпендикулярных ребер. Два ребра и диагональ у нас имеются в наличии, ищем недостающее ребро.
Удалить289-81-64=144
Выковыриваем квадратный корень и получаем чудненькое ребро длиной 12 не понятно чего - мой любимый размер:)
В прямоугольном параллелепипеде периметр основания равен 16, площадь полной поверхности 142 см в кв,объем 105 см в кубе,найти диагональ
ОтветитьУдалитьДиагональ равна корню квадратному из суммы квадратов сторон. Вот теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда:
Удалитьa^2+b^2+c^2=d^2
Чтобы найти стороны этого чудовища, нужно решить маленькую систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Первое уравнение - периметр основания параллелепипеда
2a+2b=16
a+b=8
Второе уравнение - площадь полной поверхности
2ab+2bc+2ac=142
ab+bc+ac=71
Третье уравнение - объем прямоугольного параллелепипеда
abc=105
Из первого уравнения находим b
b=8-a
Из третьего уравнения находим с
c=105/(ab)=105/(a(8-a))
Берем эти две фигни и засовываем их во второе уравнение. Приводим уравнение к общему знаменателю, решаем и находим одну сторону по кличке "a". Формулы для нахождения других сторон у нас уже есть, из них получаем значения "b" и "c".
После этого подставить размеры сторон в теорему Пифагора и выковырять из этого квадратный корень - просто детская забава:)
Когда я решал точно такую же задачу с другими циферками, я попал на другой сайт и нашел точно такое решение. Но там я выполнил подстановку и вывел уравнение четвертой степени. Мельнула мысль: "Это какой же идиот дает подобные решения". Как оказалось, иногда я сам выступаю в роли идиота.
УдалитьИзящное решение этой задачи написано в комментарии от 10 февраля 2013 года (вопрос от 7 февраля). Там я вывел обычное квадратное уравнение. Как всегда, дальше я не решал. Опять наступаю на те же грабли.
Извините,помогите решить задачу:Найди объём прямоугольного параллелепипеда,измерения которого равны:4 м.,5 м.,7 м.,
ОтветитьУдалитьИзмерения - это как раз и есть те штуки, которые нужно перемножать, чтобы получить объем прямоугольного параллелепипеда:
УдалитьV=4*5*7=140 м3
И блондинки, и математики в слово "измерения" вкладывают одинаковый смысл - это то, что главное, а не то, что в принципе можно измерять. Кого интересует расстояние от пятки до мизинца у блондинки? Ни-ко-го. А вот 90, 60, 90 даже математики очень отчетливо представляют. Им даже единицы измерения указывать не нужно:)
Николай, прошу помочь мне пожалуйста. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна L и составляет с основанием параллелепипеда угол в 30 градусов, а с одной из боковой граней угол в 45 градусов. Нужно найти объем параллелепипеда.
ОтветитьУдалитьДва ребра будут равны диагонали, умноженной на синус одного из углов. Это эль, деленная пополам и эль, деленная на корень из двух. Третью грань находим по теореме Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали равен сумме квадратов трех ребер. Отсюда третье ребро равно эль пополам.
УдалитьПеремножив три ребра получим объем. Он равен эль в кубе, деленное на четыре корня из двух.
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:3. Найдите возможные измерения прямоугольного параллелепипеда, если высота параллелепипеда равна диагонали основания. Помогите решить)
ОтветитьУдалитьЯ не математик и не знаю, чего хотят эти изверги:)
УдалитьДиагональ, а следовательно и высоту, можно найти по теореме Пифагора. Теперь варианты.
Принимаем за "а" первую сторону основания. а=1 Тогда измерения равны "а", "3а" и корень из 10, умноженный на "а".
Принимаем за "а" вторую сторону основания. а=3 В этом случае измерения равны 1/3 от "а", "а" и корень из 10, деленный на 3 и умноженный на "а".
Наверное, так.
Известно, что в прямоугольном параллепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ DB1=15, AB=2, B1C1=5.Найдите объем параллепипеда
ОтветитьУдалитьОбъем равен произведению трех измерений (ребер). Два нам известны из условия. Третье можно найти по теореме Пифагора - квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех измерений (ребер). Размер диагонали известен по условию.
УдалитьДолжно получиться: третье измерение (высота АА1 или ВВ1 или...) 14 единиц, объем прямоугольного параллелепипеда равен 700 единиц в кубе.
стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда 8 дм,8 дм и 9 дм. найти S диагонального сечения.
ОтветитьУдалитьТакого прямоугольного параллелепипеда быть не может. Проверку теоремой Пифагора этот набор цифр не проходит:
Удалить9*9=81
8*8+8*8*=64+64=128 а ведь нужно ещё квадрат третьей стороны прибавить.
Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, где основанием АВСД является ромб, угол ВАД=30 грдусов, АВ=18, ВВ1=12, найти площадь АВСД1
ОтветитьУдалитьНиколай попробуйте это решить, пожалуйста!
А площадь действительно нужно найти той фиги, которая скручивается из буковок АВСД1. Это два треугольника, расположенные в разных плоскостях.
УдалитьТри измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1м, 2м, 3м. Найдите: а) Сумму длин всех его ребер; б)Сумму S всех его граней - площадь поверхности; в) Длины его диагоналей.
ОтветитьУдалитьа=1м, b=2м, с=3м
Удалитьа) Р=4(а+b+c)=4(1+2+3)=4*6=24м
б) Формула полной площади поверхности есть в статье на картинке. Подставляем, решаем, получаем 22 м2.
в) Формула для диагонали написана выше предыдущей формулы. Все диагонали одинаковые и равны корню квадратному из 14.
Три ребра параллелепипеда имеющие общую вершину равны 2м, 3м и 5м, а одна из диагоналей равна 6м. Является ли этот параллелепипед прямоугольным?
ОтветитьУдалитьЮзаем теорему деда Пифагора. Если сумма квадратов ребер равна квадрату диагонали, значит параллелепипед прямоугольный. Если равенство не сходится, значит вас в магазине обманули.
Удалить2*2+3*3+5*5=4+9+25=38
6*6=36
Таки, обманули.
диагональ одной из граней прямоугольного параллепипеда равна 15 см, а ребро, перпендикулярное к этой грани, имеет длину 8 см. найдите диагональ параллепипеда.
ОтветитьУдалитьПо теореме Пифагора для банального прямоугольного треугольника
Удалитьd^2=15*15+8*8=225+64=289
Извлекаем квадратный корень и получаем приз в виде диагонали длиной 17 сантиметров.
с рисунком!
ОтветитьУдалитьРисунок за отдельную плату!!!
Удалитьа без рисунка?
УдалитьРисунки будут к решению другой задачи, там разных рисунков целая куча. Сегодня будет опубликовано, по-позже. Заглянете и всё увидите, как из диагонали грани и ребра получается диагональ.
УдалитьДиагональ прямоугольного параллелепипеда образует с меньшей гранью угол B. Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол a. Зная, что пириметр основания равен p, найдите измерение параллелепипеда.
ОтветитьУдалитьИнтересно, найдется в этом мире человек, который научит математиков разговаривать по человечески? "Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол a" - что бы переварить это, мне нужно время. Я догадываюсь, что этим пытались сказать, но уровень чужого маразма всегда непредсказуем.
УдалитьОбъясняю по человечески. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда d и диагональю меньшей грани d1 равняется В. Сечение проходит через эту же диагональ d1 и образует угол с измерением "а" равный А. Фактически наши диагонали являются диагоналями двух перпендикулярных прямоугольников - сечение и малая грань. Стороны прямоугольного сечения равны "с" и d1, диагональ d. Стороны прямоугольной малой грани равны "а" и "b", диагональ d1. Сторона любого прямоугольника равна произведению диагонали на синус или косинус угла между одной из сторон и диагональю.Теперь тригонометрия. Выражаем измерения "a", "b" и "c" через диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Удалитьd1=dcosB
a=d1cosA=dcosBcosA
b=d1sinA=dcosBsinA
c=dsinB
Выражаем периметр через диагональ прямоугольного параллелепипеда. Отсюда находим, чему равна диагональ.
p=4(a+b+c)=4d(cosBcosA+cosBsinA+sinB)
d=p/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]
Теперь выражаем измерения через периметр.
a=pcosBcosA/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]
b=pcosBsinA/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]
c=psinB/[4(cosBcosA+cosBsinA+sinB)]
Приблизительно так.
БУДЬТЕ ТАК ДОБРЫ, помогите решить задачку с развернутым ходом решения.
ОтветитьУдалитьВ прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 3:4, а площадь боковой поверхности равна 28. Тогда площадь диагонального сечения АА1СС1
равна ...
Обозначим через икс одну часть отношения сторон. Тогда размеры основания равны 3х и 4х. По теореме дедушки Пифагора находим диагональ - она равна 5х. Пусть высота прямоугольного параллелепипеда равна h. В этом случае площадь боковой поверхности равна периметру основания (удвоенная сумма сторон) умноженному на высоту:
УдалитьSбок=2(3х+4х)h=14хh
Площадь диагонального сечения будет равна произведению диагонали основания на высоту:
Sсеч=5хh
Отношение диагонального сечения к площади боковой поверхности равно:
Sсеч/Sбок=5хh/(14хh)=5/14 (икс и высота сокращаются)
Отсюда находим площадь диагонального сечения:
Sсеч=5Sбок/14=5*28/14=5*2=10
Вот, готово.
Спасибо, Николай! Ни за что бы не додумалась соотнести Sсеч с Sбок, а про х мысли были.
УдалитьСам в шоке:) Кстати, очень интересный способ решения, в смысле избавления от любого количества неизвестных.
УдалитьНиколай, помогите пожалуйста решить следующую задачу.
ОтветитьУдалитьВ правильной треугольной пирамиде SABC М - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что ВС=3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SМ. Заранее Вам спасибо!
Пирамида правильная - проекция вершины совпадает с центром основания. Пирамида правильная треугольная - в основании лежит правильный, он же равносторонний треугольник. В этом случае площадь боковой грани равна 45/3=15, а её высота 2*15/3=10 Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник. У такого треугольника высота делит основание треугольника пополам. Так что найденная нами высота является искомой длиной отрезка SM.
Удалить1)В прямой треугольной призме стороны основания равны 3 , 4, 5см. Полная поверхность равна 84 см². Найдите боковую поверхность призмы и высоту.
ОтветитьУдалить2)Стороны основания прямоегольного параллелепипеда равна 3 и 4см,а его полная поверхность равна 66 см2.Найти обьем параллепипеда
1) По теореме Пифагора треугольник в основании прямоугольный. Тогда площадь основания 3*4/2=6 см2. Площадь боковой поверхности 84-2*6=72 см2.
УдалитьВысота призмы - это площадь боковой поверхности, деленная на периметр основания 72/(3+4+5)=6 см.
2) Два размера у нас есть, нужно найти высоту, чтобы определить объем. Площадь основания 3*4=12 см2. Площадь боковой поверхности 66-2*12=42 см2. Высота прямоугольной призмы 42/(2*3+2*4)=3 см. Объем равен 3*4*3=36 см3.
Спасибо но вторую задачу я так и не понила
ОтветитьУдалитьЗаписал решение двух задач. Решения очень похожи, хотя фигуры дразнятся по-разному. В одной основанием является треугольник, во второй - прямоугольник. Форма основания на принципы решения задач не влияет. Просто по разным формулам находят площадь и периметр основания для разных геометрических фигур - треугольник, четырехугольник, круг, шестиугольник...
Удалитьздравствуйте.помогите пожалуйста решить задачу,если не трудно.найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда,если периметр его основания равен 26 см,площадь полной пов-ти -112,и объем-80
ОтветитьУдалитьНэ мала баба клопоту, купыла гэомэтрию... Я нашел пример решения этой задачи. При попытке решить задачу подобным способом я залез в уравнение четвертой степени. Решением таких уравнений я не занимаюсь.
УдалитьУ меня решение другое. Вот оно.
2(a+b)=26 это периметр основания
a+b=13
2(ab+ac+bc)=112 это полная площадь
ab+ac+bc=56
ab+(a+b)c=56
ab+13c=56
ab=56-13c
abc=80 это объем
(56-13с)с=80
13с^2-56c+80=0
Это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Печалька.
Вот Геометрия, 11 класс. Задачник (Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич) 2004 год. Страница 54, задача 2.149 периметр 16 см, площадь 168 см2, объем 108 см3. Эта задача сводится к квадратному уравнению
8c^2-84c+108=0
Это уравнение имеет корни 9 и 3/2, задача решается.
Кстати, методом научного тыка удалось установить, что прямоугольный параллелепипед с основанием 3 см и 10 см, высотой 2 см будет иметь периметр основания 26 см, площадь поверхности 112 см2, только объем его составляет не 80, а 60 см3.
Скорее всего, в учебнике банальная опечатка, а ленивый учитель не проверил решение задачи, которую задал.
Здравствуйте.Помогите пожалуйста решить задачу.
ОтветитьУдалитьОснование параллелепипеда-квадрат с диагональю 8 корней из 2 см.Одна из сторон нижнего основания является проекцией ребра параллелепипеда,составляющего угол 45 градусов.Найдите объем параллелепипеда
По теореме Пифагора находим стороны квадрата основания, они равны 8 см.
Удалитьa^2+a^2=2*8^2
2a^2=2*8^2
a^2=8^2
a=8
Площадь основания параллелепипеда равна 8*8=64 см2.
Параллелепипед является разновидностью призмы, а у призмы объем равен произведению площади основания на высоту. Ребро со стороной основания образуют угол в 45 градусов, следовательно высота, сторона основания и ребро образуют равнобедренный треугольник. Отсюда высота параллелепипеда равна стороне основания и составляет 8 см. Объем параллелепипеда равен 64*8=512 см3.
Здрвствуйте! Кричу о помощи, завтра контрольнаяяя(( помогите с задачами:
ОтветитьУдалитьЗадача 1.
Диагональ куба равна 6см. Найдите:
а) ребро куба;
б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
Задача 2.
Сторона АВ ромба АВСD равна а, один из углов равен 60градусов. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а:2 от точки D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости альфа.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАМВ, М принадлежит альфа.
в) Найдите синус угла между плоскостями ромба и плоскостью альфа.
Задача 1. Зная диагональ, ребро можно найти по теореме Пифагора для куба - квадрат диагонали равен трем квадратам ребра.
Удалить3a^2=36
a^2=12
Ребро равно двум корням из трех.
Косинус угла определяется как отношение диагонали грани к диагонали куба (вместе с ребром они образуют прямоугольный треугольник). Диагональ грани находим по теореме Пифагора, она равна двум корням из шести. Косинус угла равен корню квадратному из двух третьих.
Задача 2. Я об первую задачу чуть мозги не сломал. Сорри, но я не хочу её решать. Мне не интересно.
как найти площадь боковой поверхности прямой призмы с боковым ребром 4 см , в основании которого лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см
ОтветитьУдалитьПлощадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания (у нас периметру ромба) умноженному на боковое ребро (у нас оно дано). Диагонали ромба у нас есть. Они расположены под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. По теореме Пифагора можем найти сторону ромба 5 см, периметр составляет четыре стороны, т. е. 20 см. Площадь боковой поверхности 80 см в квадрате.
Удалитьнайти площадь боковой поверхности прямой призмы с боковым ребром 4 см в основании которого лежит правильный шестиугольник с меньшей диагональю 8 см.
ОтветитьУдалитьЕсли посмотреть на правильный шестиугольник, то это обычная гайка. Меньшая диагональ - это размер гаечного ключа, который аккуратненько скользит вдоль граней от одной меньшей диагонали до параллельной в конце граней. При скольжении вдоль граней меньшая диагональ проходит через центр шестиугольника. Не трудно заметить, что одна меньшая диагональ равна двум радиусам вписанной окружности. От этой печки можно начинать свою пляску с бубнами.
УдалитьРадиус вписанной окружности равен половине длины меньшей диагонали шестиугольника и составляет 4 см. Сторона правильного шестиугольника равна два корня из трех, деленные на три от радиуса вписанной окружности. Получается восемь корней из трех, деленных на три сантиметров.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру геометрической фигуры основания, умноженному на высоту призмы, она же боковое ребро. Периметр правильной шестиугольной призмы равен шести длинам стороны, что составляет шестнадцать корней из трех сантиметров. Площадь боковой поверхности равна шестьдесят четыре корня из трех квадратных сантиметра.
Помогите пожалуйста
ОтветитьУдалитьДана правильная треугольная пирамида.Сторона основания 12 см.Угол между плоскостями основания и боковой грани 60градусов.Найти объем и боковое ребро пирамиды.
Используем свойства правильной пирамиды, свойства равностороннего треугольника основания, теорему Пифагора, тригонометрию. Вершина пирамиды расположена над каким-то центром треугольника основания. Боковые грани - равнобедренные треугольники.
УдалитьДана прямая треугольная призма.Основание треугольник АВС: АС=ВС=12см АВ=10см. Через АВ и точку С проведена плоскость сечения.Угол между плоскостью основания и плоскостью сечения 60 градусов.Найти объем призмы и площадь сечения
ОтветитьУдалитьВ основании равнобедренный треугольник. Призма АВСА1В1С1. Сечение - это треугольник АВС1. Используем тригонометрию и теорему Пифагора.
УдалитьВ прямом параллелепипеде стороны основания длиной 3см и 4 см составляют угол 60гр., а боковое ребро есть средняя пропорциональная между сторонами основания. Определить диагональ этого параллелепипеда.
ОтветитьУдалитьСреднее пропорциональное, оно же среднее геометрическое, оно же корень квадратный из произведения чисел, оно же... Блин, математика действительно точная наука??? Что-то я сильно сомневаюсь...
УдалитьИз библейского учения о среднем пропорциональном следует, что боковое ребро равно двум корням из трех.
У такого прямого параллелепипеда будут две диагонали - малая и большая. По теореме Пифагора квадрат каждой из них равен сумме квадратов диагонали основания и бокового ребра. В основании находится параллелограмм, у которого нужно найти малую и большую диагонали. Мне лень их расписывать.
Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а . Диагональ боковой грани образует угол α с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда
ОтветитьУдалитьПо тригонометрии диагональ равна a/cosa Высота прямоугольного параллелепипеда равна (a/cosa)*sina=a*sina/cosa=a*tga
УдалитьТогда объем равен V=a^3*tga
Здравствуйте, помогите пожалуйста с задачей, не могу решить. Известно, что в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ АС1 равна 9, С1D1=1, А1D1=4. Найдите длину ребра DD1. Заранее спасибо! :)))
ОтветитьУдалитьПо теореме Пифагора квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех ребер. Два ребра и диагональ у нас в наличии, осталось найти третье ребро. Оно должно равняться 8 чего-то там, типа абстрактных единиц.
УдалитьВ прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер ав=24
ОтветитьУдалитьаd=10,аа1=22,найдите площать сечения,проходящего через вершины а,а1,с
Находим диагональ основания по теореме Пифагора и умножаем её на высоту - ребро аа1. Это и будет площадь искомого сечения, которое ещё называют диагональным.
УдалитьВ ПРЯМОУГОЛЬНОМ параллелепипеде измерения равны 5см,12 см, и 16 см. Концы трех ребер,выходящих из одной вершины,соединены.Вычислить периметр образовавшейся фигуры
ОтветитьУдалитьКонцы ребер соединяются по диагоналям трех граней. Берем в руки теорему Пифагора и складываем три диагонали на гранях 5 и 12, 5 и16, 12 и 16 см, три ребра 5, 12 и 16 см. Это и будет искомый периметр.
УдалитьОснованием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат,диагональ параллелепипеда равна 2(корень)из 6 см,а его измерения относятся как 1:1:2 .Найти: а)Измерения параллелепипеда; б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
ОтветитьУдалитьБерем деда Пифагора, обозначаем единицу длины через икс (в этом случае измерения х, х, 2х) и пишем формулу диагонали
Удалитьх^2 + x^2 + 4x^2 = 24
6x^2 = 24
x^2 = 4
x = 2
Отрицательной длины быть не может, значит измерения 2 см, 2 см, 4 см.
А синус угла - это отношение диагонали параллелепипеда к его высоте и оно равно половине корня из шести. По тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треуголнике можете проверить.
Помогите пожалуйста:)Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2 корня из 6 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а)измерения параллелепипеда; б)синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
ОтветитьУдалитьЕдиницу измерения обозначим икс. Теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда гласит: квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений. Получаем
Удалить24=x^2+x^2+4x^2
24=6x^2
x^2=4
x=2 см
Измерения 2 см, 2 см, 4 см.
Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен отношению высоты к диагонали и равен два, деленное на корень из шести, или корень из шести, деленный на три.
Помогите,пожалуйста.В прямоугольном параллелепипеде диагонали соседних боковых граней, исходящие из одной вершины, образуют углы альфа и бетта с общим боковым ребром соответсвующих граней. Боковое ребро равно b, надо найти объем паралеллепипеда
ОтветитьУдалитьВспоминаем тригонометрию прямоугольного треугольника (диагонали - это гипотенузы, ребро бэ- это катеты) и получаем ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен бэ куб умноженный на тангенс альфа и умноженный на тангенс бета.
Удалитьво сколько раз увеличится объём шара,еслии его радиус увеличить в два раза?
ОтветитьУдалитьНужно взять отношение двух объемов. Три четверти пи сокращаются и остается отношение радиусов двух шаров в третьей степени. Радиус одного шара в два раза больше, чем второго. Имеем отношение
УдалитьV2/V1=(2R)^3/R^3=8R^3/R^3=8
При любом значении радиуса шара увеличение его радиуса в два раза приводит к увеличению объема в 8 раз.
основание параллелепипеда - квадрат, все боковые грани - ромбы. Две смежные боковые грани наклонены к плоскости основания параллелепипеда под углом B(бетта). Высота параллелепипеда равна H. Найдите объём параллелепипеда.
ОтветитьУдалитьБуду очень благодарна, если вы хотя бы подскажите.)
Уффф... Чует мое сердце, но разум доказать не может. Короче...
УдалитьУ ромба все стороны одинаковы. Значит, длина наклонного ребра будет равна стороне квадратного основания. Высота ромба равна
h=H/sinB
Рассматриваем грань, склонившуюся в трауре над основанием под углом бета. Проекция высоты ромба на основание равна
a=h*cosB=(H*cosB)/sinB=H*ctgB
Поскольку в основании параллелепипеда лежит квадрат, проекция вершины параллелепипеда, в которую упирается высота ромба, всегда будет лежать на диагонали квадрата. При взгляде сверху получается равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого проекция ребра - это гипотенуза, а проекция высоты и расстояние от начала высоты до нижней вершины ромба равны между собой и равняются а. Знаю, что всегда будет так, но пусть математики диссертации на эту тему защищают.
Теперь мы получили прямоугольный треугольник на боковой грани, у которого один катет равен высоте ромба h, горизонтальный катет равен а, гипотенуза равна длине ребра. По теореме дедушки Пифагора находим квадрат длины ребра
a^2+h^2=(H/sinB)^2+(H*ctgB)^2=(H^2)*((1/(sinB)^2)+(ctgB)^2)=(H^2)*(1+(cosB)^2)/(sinB)^2
Собственно, это и есть площадь основания, поскольку в основании лежит квадрат, сторона которого равна длине ребра. Если умножить эту площадь на высоту параллелепипеда, получим его объем. В результате будет Н в кубе, умноженное на ту тригонометрическую фигню.
два ребра прямоугольного параллелепипеда выходящие из одной вершины равны 3 4 площадь поверхности этого параллелепипеда равна 52 найдите третье ребро выходящие из той же вершины )помогите
ОтветитьУдалитьОбозначаем неизвестное ребро через икс и записываем формулу площади поверхности параллелепипеда:
Удалить2(3*х+4*х+3*4)=52
3х+4х+12=26
7х=26-12
7х=14
х=14/7 :)
х=2
Всё. Простенько, как в детском садике. Правда, для этой простоты нужно с параллелепипедом быть в хороших дружеских отношениях:)
В прямом параллелепипеде известны две смежных стороны 16 и 10см. и угол между ними 60градусов. Меньшая диагональ основания равна высоте параллелепипеда. Найти площадь диагонального сечения.
ОтветитьУдалитьВ основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм. Площадь диагонального сечения равна длине диагонали параллелограмма, умноженной на высоту параллелепипеда. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике помогут найти высоту параллелограмма 10*sin60=(10sqrt3)/2. По теореме Пифагора можно найти длину диагонали.
УдалитьВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=a, AA1= c. Найдите расстояние между прямыми AB1 и BC.
ОтветитьУдалитьРасстояние равно ас деленное на корень квадратный из а в квадрате плюс с в квадрате.
УдалитьНужно найти расстояние от диагонали передней грани до нижнего скрещивающегося ребра. Оно всегда равно перпендикуляру между двумя скрещивающимися прямыми.
Расстояние равно одной из заданных сторон, умноженной на синус угла между этой стороной и диагональю. Синус угла равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Длину диагонали определяем по теореме Пифагора и она равна квадратному корню из суммы квадратов сторон.
Помогите пожалуста) Ширина прямоугольного параллелипипеда составляет 60 процентов длины, а высота 120 процентов. Найти объем этого параллелипипеда если сумма длин его ребер равна 56 дм
ОтветитьУдалитьПомогите..не могу понять!!Сумма длин рёбер прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 80 м. найдите длины его рёбер.если у него одно из измерений на 3 см больше второго и на 20 см меньше третьего??
ОтветитьУдалить