Площадь ромба и параллелепипед

Однажды давным-давно, за лесами широкими, за морями глубокими... На опушке дремучего леса, в избушке на курьих ножках... Злая крикливая тётка (а вы как думали? даже Баба Яга была когда-то молодой) сочиняла задачки для учебника математики. Придумала она задачку про параллелепипед, но ей показалось этого мало. Не сильно трудной задачка получилась. Захотелось молодой карге сильнее над детишками поиздеваться. И придумала она ещё одну задачку про этот же параллелепипед, у которого в основании ромб...

Давно это было, но раскопали археологи развалины древней избушки, извлекли человеческие косточки и на них обнаружили древние задачи. (А на чем ещё Баба Яга могла писать? Бумажной промышленности тогда не было, вот и лес дремучий нетронутым стоял. Наши доблестные математики повертели косточки в руках и добросовестно переписали эти задачи в свои учебники, чтобы детишек просвещать. С тех самых пор по учебникам математики гуляет следующая задача:

Основа прямого параллелепипеда - ромб с площадью 32 корня из трех сантиметра квадратных и острым углом 60 градусов. Большая диагональ параллелепипеда создает с площадью основания угол 30 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

Я понимаю, что изучать журнал мод гораздо интереснее, чем решать какие-то задачи, но... наука, как и красота, требует жертв. Берем картинки с прошлой задачи и разрисовываем под новые условия.

Площадь ромба и параллелепипед

Казалось бы, найти объем такого прямого параллелепипеда не сложно, достаточно площадь основания умножить на высоту. Но, вместо высоты, злая Баба Яга придумала два угла. Один угол в 60 градусов между сторонами ромба (ромб у нас желтый, угол красным обозначен на верхней картинке), второй угол между основанием и большой диагональю параллелепипеда (эта диагональ и угол синеньким нарисованы). Нижним основанием второго угла является большая диагональ ромба, ведь высота перпендикулярна основанию у всех прямых параллелепипедов.

Зарисуем зеленым прямоугольный треугольник, из которого мы попытаемся найти катет, который одновременно является высотой параллелепипеда (обозначена красным на втором рисунке). Гипотенузу этого треугольника нам найти не удастся, а вот со вторым катетом можно повозиться.Он является длинной диагональю ромба, у которого нам известна площадь и острый угол в вершине. Открываем коробочку и смотрим на донышко.

Площадь ромба и параллелепипед

Вспоминаем формулу площади ромба. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла в вершине. Отсюда мы без труда выковыряем длину стороны ромба. Дальше на диагоналях рисуем прямоугольный треугольник (гламурненького цвета), применяем портрет тангенса и без особого труда соображаем,что длинная диагональ равна двум произведениям стороны на косинус половины угла в вершине.

Теперь самый интересный момент. Как найти высоту параллелепипеда, не роясь в тригонометрии? Очень просто. Пользуясь портретом тангенса, это можно сделать на уровне детского садика. Достаточно нарисовать картинки и разукрасить их надписями. Сперва рисуем наш треугольник и обозначаем на нем угол, высоту параллелепипеда и диагональ ромба. Затем рисуем второй треугольник и при помощи портрета тангенса выражаем его катеты через длину гипотенузы. А дальше совсем чуть-чуть элементарной математики...

Сравниваем картинки и записываем, чему равны нужные нам высота и диагональ. Смотрим на портрет тангенса и вспоминаем, что тангенс - это синус на косинус. И что в тригонометрии везде дроби. Записываем формулу тангенса. Потом числитель и знаменатель нашей дроби умножаем на диагональ. Дробь не поменялась, но в ней появилось что-то очень знакомое. Смотрим на верхние равенства и выражаем тангенс через высоту и диагональ. Теперь остается только записать формулу высоты из полученного выражения тангенса. Смотрите, как всё чудненько получилось.

Площадь ромба и параллелепипед

Всё, задачу мы практически решили. Можно на низать все формулы на одно выражение и получить большого динозавра. Можно каждую формулу вычислить отдельно. Я поленился писать большую общую формулу и значения подставлял в каждую формулу отдельно.

Площадь ромба и параллелепипед

Остается только добавить, что в данном решении одни и те же числовые значения соответствуют разным величинам. Будьте внимательны! Математики часто на такие мелочи не обращают внимания, отсюда и все проблемы в математике. У нас длина стороны ромба и высота прямого параллелепипеда равняются 8 сантиметров. Половина угла в острой вершине ромба численно равна углу при большой диагонали параллелепипеда и составляет 30 градусов. Если в условии вашей задачи другие числа, тогда ничего не перепутайте: "бабе - цветы, дитям - мороженое".

P.S. Чтобы вам, красивым и пушистым, всегда дарили роскошные букеты ... Возвращаемся к предисловию и начинаем читать заново:)