Умножение

Тема занятий:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
На прошлом уроке мы рассмотрели
Переменные единицы измерения

Урок 8

Умножение

В результате умножения двух разных величин получается третья величина. При умножении изменения происходит как в области чисел, так и в области единиц измерения. Умножение возможно только для перпендикулярных величин. Умножение отражает качественные изменения величин.

Умножение сторон прямоугольника позволяет получить площадь.

Умножение сторон прямоугольника

Для перехода от площади прямоугольника к единичной площади необходимо площадь разделить саму на себя. В этом случае возможны два варианта алгебраических преобразований. Следует особо подчеркнуть, что рекомендация математиков по сокращению одинаковых величин в числителе и знаменателе дроби [1, стр.66] сознательно контролируется для выявления смысла полученного результата. Первый вариант преобразований выглядит следующим образом.

Первый вариант единичной площади

Тангенс и котангенс связаны обратной пропорцией. Стороны прямоугольника могут изменяться как угодно, от бесконечно большой величины до бесконечно малой. Если изменение сторон выполняется с соблюдением обратной пропорции, то площадь прямоугольника останется неизменной.

Второй вариант преобразований представлен в алгебраической форме и в физических единицах измерения.

Второй вариант единичной площади

Данное преобразование показывает, что в результате умножения двух разных единиц получается третья единица. Умножение – это взаимодействие двух перпендикулярных единиц измерения, в результате которого получается новая единица измерения. Поскольку любая величина является результатом умножения числа и единицы измерения, под цифрой «один» может подразумевается число, единица измерения или результат их взаимодействия.

Перпендикулярные единицы измерения никак не связаны между собой и могут иметь произвольный масштаб. Масштаб единиц измерения сомножителей определяет масштаб единиц измерения произведения, но не влияет на суть процесса – умножение приводит к качественному изменению исходных единиц измерения.

Площадь – это результат взаимодействия двух перпендикулярных измерений длины. Если умножить дюймы на метры или миллиметры на метры, то площадь будет выражаться в дюймах на метр или миллиметрах на метр. Традиционно, площадь принято выражать в одинаковых единицах измерения длины и ширины. На практике часто используются системы координат с разными масштабами по вертикали и горизонтали.

При определении площади квадрата размер стороны принято возводить во вторую степень. Но это совсем не означает, что сторона квадрата умножается сама на себя. Площадь по-прежнему можно определить только умножением длины на ширину, просто у квадрата они имеют одинаковые численные значения. Мы никогда не умножаем длину прямоугольника на длину или ширину на ширину, потому что результат таких действий не имеет смысла. Возведение в степень – это умножение разных перпендикулярных величин, имеющих одинаковые численные значения и единицы измерения.

Алгебраические преобразования произведения двух сумм в квадрат можно записать следующим образом:

Алгебраические преобразования

Если считать, что величина a при возведении в квадрат умножается сама на себя, то обратное преобразование квадрата в произведение двух сумм будет невозможно. Как можно выполнить подобное преобразование, показано ниже в разделе «Разложение на слагаемые».

Диагональ прямоугольника и угол между диагональю и стороной являются дополнительными характеристиками взаимодействующих величин.

На следующем уроке мы рассмотрим
Примеры умножения