Первозданная математика для блондинок, не ворованная. Математикой должны заниматься блондинки - они врать не умеют. Математика, геометрия, тригонометрия без фанатизма и стереотипов.
Примеры введения данных в калькулятор пределов онлайн, в том числе дробей, показан на картинке ниже.
Решение пределов онлайн
Общие правила введения данных в калькулятор более подробно описаны на рисунке ниже.
Решение пределов онлайн
Если вас не устраивает этот калькулятор, то решение пределов онлайн можно посмотреть на других сайтах. Вот некоторые из них:
- здесь можно ввести функцию, предел которой нужно найти, в качестве предела функции вы можете ввести любое целое число или выбрать в качестве предела плюс или минус бесконечность, Пи, Пи/2, Пи/3, Пи/4 или Пи/6;
- есть на странице подробная инструкция, как нужно записывать функции и видиоинструкция по решению пределов на калькуляторе, в качестве пределов используются плюс-минус бесконечность и конечная точка;
- вводите функцию, вводите точку предела, можете выбрать точность вычисления предела, циферок очень много после запятой, регулируются кнопочками плюсик или минус.
Предел функции. Довольно интересная часть математики. Жаль, что я в этом не разбираюсь :))) Но если предел функции существует, значит он кому-то нужен. По этому привожу здесь несколько картинок, на которых приведены примеры пределов функций.
Таблица эквивалентов
Эту таблицу эквивалентов тригонометрических функций я стырил на одном из сайтов, ссылку не даю, поскольку мой антивирус там сильно ругался. Есть для вас еще несколько интересных картинок, надеюсь, они вам пригодятся. Сперва посмотрим на свойства пределов функции.
Свойства пределов функции
Эти свойства пределов функций, как и примеры пределов функций, которые расположены ниже, стырены с сайта . Там вы можете посмотреть теорию пределов и примеры решения пределов.
Что можно сказать о свойствах пределов? Ну, первое, что бросается в глаза, так это то, что число не подвластно пределам. В математике числа часто обзывают коэффициентами, как в данном случае. При этом нужно иметь в виду, что аргумент функции так же является числом. Но по теории функций получается, что число коэффициент это совсем не такое число, как число аргумент. Свойства у них разные. В данном случае это касается пределов функции. Но замнем этот вопрос для ясности. И так, первое свойство пределов очень похоже на вынесение числового коэффициента за скобки. Тут мы его можем выносить за знак предела или вносить во внутрь. Как кому нравится.
Второе свойство пределов можно прочитать так: предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций. Где-то что-то подобное я уже слышал. Не помню, где и что. Но главное здесь то, что умножение не подвластно пределам. Что значок умножения функций стоит внутри значка предела между функциями, что снаружи между значками пределов - разницы ни какой. Проходной двор какой-то, а не пределы.
Ну и третье свойство пределов функций. Если внутри функции сидит другая функция, как в матрешке (всё вместе это называется непрерывная функция), то внешней функции пределы по барабану - она может входить в предел и выходить из предела, как ей вздумается. Предел - как клещ, который намертво цепляется за самую внутреннюю функцию и уже не обращает внимания на всё остальное. Отсюда вывод - все многослойные функции, кроме самой внутренней, обладают депутатской неприкосновенностью в зоне действия теории пределов.
И так, повторим то, что мы выяснили о свойствах пределов: число, умножение и все внешние функции обладают беспредельным иммунитетом по отношению к пределу.
Ну, а теперь, обещанные весёлые картинки с примерами пределов.
Примеры пределов степенных функций
Примеры пределов показательная функция
Примеры пределов логарифмическая функция
Примеры пределов тригонометрические функции
Примеры пределов обратные тригонометрические функции
Ну что вам ещё сказать? Таблицы пределов функций - это хорошо. Но помните, что любой из приведенных пределов от вас могут потребовать доказать. Так что будьте готовы.
Формулы по тригонометрии кратные углы - прошу любить и жаловать. Здесь есть синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы двойного, тройного, кратного аргументов. Говоря простыми словами sin, cos, tg, ctg двух альфа, трех альфа, четырех и пяти альфа.
Для двойного угла все формулы написаны непрерывно через знак равенства. При упрощении тригонометрических выражений эти формулы принято читать как слева на право, так и справа на лево в любом порядке. Подобный способ составления нужных формул я называю "метод кройки и шитья". Вырезали там кусочек, там кусочек, вместе сшили знаком равенства - получилась готовая формула. Вырезать нужно выражение полностью, от одного знака равенства до другого. Составители задачек для вас именно так и делают. Ну, там ещё чего могут придумать, чтоб вас сильнее запутать.
Можно написать все эти формулы как положено, в столбик, используя один знак равенства в одной формуле. Но это будет похоже на молитву. Я в таких случаях обычно становлюсь на колени и начинаю биться головой об пол. "Синус двух альфа равен..." Бух! "Синус двух альфа равен..." Бух! "Синус двух альфа равен..." Ой! Больно! Правильно, заставь дурака тригонометрию учить, он и лоб разобьет.
Зачем нужны эти формулы тригонометрии? Для упрощения тригонометрических выражений, которые усложнили составители задачек. Возможно, они нужны ещё в каких-то случаях, но мне трудно такие придумать. Это нужно спрашивать у физиков и инженеров, приходилось ли им пользоваться этими формулами.
Основные тригонометрические тождества формулы - это основа тригонометрии. Первую формулу, обведенную красненькой рамочкой, называют основным тригонометрическим тождеством. Фактически это теорема Пифагора для тригонометрических функций.
Две другие формулы тождеств получаются, если первое уравнение разделить на квадрат косинуса угла альфа или на квадрат синуса этого же угла. Последняя формула - это тригонометрическая форма основного свойства всех чисел: если число умножить на обратное ему число (или разделить на такое же число, что одно и то же) то в результате получится единица.
Все остальные тригонометрические формулы - это уже навороты на основное тригонометрическое тождество и определения тригонометрических функций. В каком бы уголке Вселенной вы ни были, с представителями каких бы внеземных цивилизаций не общались, основы тригонометрии у всех будут одинаковыми. Только не нужно писать им формулы, пытаясь доказать, что вы разумное существо. Для любого инопланетянина все эти уравнения, обозначения и прочая муть то же самое, что для вас китайские иероглифы. Геометрия - вот тот язык, который легко может обходиться без переводчиков при общении с любым разумным существом с любой планеты. Животные не способны понять язык геометрии. Естественно, прежде чем общаться на языке геометрии, нужно самим научиться этим языком пользоваться.
Откуда появилось основное тригонометрическое тождество? Вот "Легенда о Синусе и Косинусе", в которой я рассказал свою версию появления этого тригонометрического чуда.
Степени тригонометрических функций формулы - весьма полезная шпаргалка при изучении тригонометрических функций. Здесь представлены квадраты, кубы и четвертая степени синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Ещё эти формулы можно назвать формулами понижения степени тригонометрических функций. В математике любят жонглировать разными формулами, эти формулы тригонометрии как раз для этого случая.
Если же вы возьмете конкретное значение угла, найдете для него значения тригонометрических функций из формул, а потом подставите эти значения в формулы и произведете вычисления, то левая и правая части равенства у вас должны получиться одинаковыми. О чем, собственно, и говорит знак равенства.
