Первозданная математика для блондинок, не ворованная. Математикой должны заниматься блондинки - они врать не умеют. Математика, геометрия, тригонометрия без фанатизма и стереотипов.
Нашел на одном сайте про наименьшую полную площадь поверхности цилиндра. Мое внимание она привлекла наличием ошибки в решении. Давно уже заметил, что чужие ошибки я вижу гораздо лучше, чем свои собственные. Интересно, я один такой? Кстати, поводом для поисков были частые просьбы в комментариях решить задачу про наименьшую полную площадь прямоугольного параллелепипеда. Мне было интересно, как в принципе решаются такие задачи. Ответ меня разочаровал. Решаются задачи такого типа через производные функций. Я же производные с детства не люблю. Ниже я привожу решение, каким я его впервые увидел - с ошибкой. Красным цветом я всё поправил и пересчитал. Сейчас на сайте ошибка исправлена.
Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра
Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра
Наименьшая полная площадь поверхности цилиндра
Задача звучит так: какой из цилиндров с объемом 128 пи сантиметров кубических имеет наименьшую полную поверхность? Ошибка, которая была допущена при решении, заключается в том, что - при вынесении за скобки 4 пи эр, один радиус взят из числителя, второй радиус взят из знаменателя. Обычная невнимательность, ведь свойства дробей говорят следующее: чтобы дробь осталась неизменной, нужно числитель и знаменатель умножить на одинаковое число. В данном случае это радиус. В числителе дроби радиус отсутствет. Чтобы он там появился, а дробь осталась неизменной, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на радиус. Так у нас в знаменателе появляется радиус в кубе. Только после этого мы можем радиус выносить за скобки.
Теперь делаем проверку - подставляем полученные результаты в формулу полной поверхности цилиндра. Наименьшая площадь полной поверхности цилиндра будет равняться 301,584 сантиметра квадратных.
Теперь я вижу здесь приведенное решение, которое раньше почему-то не было доступно. Сначала разберем его, а потом ответим на вопрос: "Но - позор джунглям! Правильное решение этой задачи должно давать результат ещё меньше того, что получилось у меня." Вторая же строка: h=(128pi)^(1/2) Что?! Откуда?! h в этом случае будет равным (128*pi/pi*r^2) = 128/r^2 Но ладно, сформулируем так: мы предположили, что h=(128*pi)^(1/2). Тогда проверим, существует ли цилиндр с заданными объемом и высотой - выражаем r, если это возможно: r = (2*2^(3/4))/pi^(1/4) (У вас есть ошибка при возведении дроби в степень) Подставляем полученные h и r в формулу полной поверхности цилиндра, получаем: S=64*2^(1/4)*pi^(5/4)+16*sqrt(2pi), а это примерно равно 358,5 Решение через производную дает результат меньший, чем ваш. По поводу самого решения: оно имеет место, если не знаешь, как решать такие задачи через производную - но так можно бесконечно подставлять разные значения, что не очень-то продуктивно. Не знаю, чем вас так не устраивает производная, может, вы просто не понимаете геометрический смысл решения с ее помощью? P.S. комментарий все не хотел корректироваться, пришлось переписать.
Правка комментариев не предусмотрена сервисом. Даже мне приходится копировать комментарий, вставлять в новое окошко и править до повторной публикации. Единственное, что я могу - это бесследно удалить комментарий.
Предположение,что мы сами задаем значение высоты - правильное. Да, про куб для радиуса я совсем забыл. Вот что значит тупо переписывать со старого черновика, написанного до исправления ошибки. Сейчас что-то ничего не соображаю, буду вникать в решение ещё раз.
Геометрический смысл производной я действительно не понимаю, там ещё есть над чем математикам голову ломать)))
Благодарю за помощь и приношу свои извинения за беспокойство - Вы оказались абсолютно правы. Текст решения я уже переделал. Лишний раз убеждаюсь, что калькулятор из меня ни-ка-кой)))
В данном случае все тривиально. Вот смотрите: у нас есть функция площади f(r)=2*pi*r^2+256/pi. При разных r она выдает разные площади поверхности. Нам нужно найти минимальную. Как это сделать? Известно, что в точке экстремума (экстремум - точка, в которой функция достигает своего минимального или максимального значения) производная функции равна 0. (Или вовсе не существует, но это не наш случай) Не буду вдаваться в подробности, говоря о теоремах Ролля и Ферма, дабы не тратить время. Потом мы берем производную и приравниваем ее к 0. Находим точку экстремума. Делаем проверку, максимум это или минимум. (А также проверку значений на концах области определения) И, собственно, все. Значения меньше этого быть не может, так как это минимальное значение, которое может быть в принципе. В этом можно убедиться, рассмотрев график функции.
Можно, но... Бумажный текст и текст в электронном виде - это разные вещи. Поиск в интернете происходит по электронным текстам. Лично я, как и большинство людей, не знаю, как значек "пи" ввести в поисковую строку. По этой причине специальный значек заменяется буквами. Какой смысл публиковать в интернете материал, который заведомо никто не сможет найти через поиск? Кстати, одна из рекомендаций поискового продвижения сайтов - писать в тексте поисковую фразу с ошибкой, как это часто делают пользователи. Например, не только "2 пи", но и "2пи", "2 ип", "2ип". Такова суровая правда современной жизни, когда интернет вносит существенные коррективы в академические догмы доинтернетовского периода.
Что за бред. Если человек ищет что-либо про число "пи", он вводит в гугл "пи" и открывает первую ссылку - Википедию. В тексте статьи Википедии символ "пи" используется везде, но это не помешало вам найти статью. Под ссылкой на Википедию есть еще много ссылок. Но вот что интересно, какой идиот станет искать эту статью в интернете по запросу "2пи" и т. п.? Слово "пи" не может являться ключевым для этой "статьи". А тем временем, подобное написание выглядит совсем не презентабельно, и человек, привыкший к порядку в научных текстах, сразу закроет страницу. Ну да ладно. Теперь. К производным функций математик относится лишь как к инструменту, "не любить до ужаса" их может лишь человек, который совершенно не понимает их сути и совсем не смыслит в высшей математике. И еще кое-что. Математики вовсе не делают сложной математику, они с помощью математику делают решение многих задач простым. Собственно для того математика и изучается.
Этот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьТеперь я вижу здесь приведенное решение, которое раньше почему-то не было доступно. Сначала разберем его, а потом ответим на вопрос: "Но - позор джунглям! Правильное решение этой задачи должно давать результат ещё меньше того, что получилось у меня."
УдалитьВторая же строка: h=(128pi)^(1/2)
Что?! Откуда?! h в этом случае будет равным (128*pi/pi*r^2) = 128/r^2
Но ладно, сформулируем так: мы предположили, что h=(128*pi)^(1/2). Тогда проверим, существует ли цилиндр с заданными объемом и высотой - выражаем r, если это возможно:
r = (2*2^(3/4))/pi^(1/4) (У вас есть ошибка при возведении дроби в степень)
Подставляем полученные h и r в формулу полной поверхности цилиндра, получаем:
S=64*2^(1/4)*pi^(5/4)+16*sqrt(2pi), а это примерно равно 358,5
Решение через производную дает результат меньший, чем ваш.
По поводу самого решения: оно имеет место, если не знаешь, как решать такие задачи через производную - но так можно бесконечно подставлять разные значения, что не очень-то продуктивно.
Не знаю, чем вас так не устраивает производная, может, вы просто не понимаете геометрический смысл решения с ее помощью?
P.S. комментарий все не хотел корректироваться, пришлось переписать.
Правка комментариев не предусмотрена сервисом. Даже мне приходится копировать комментарий, вставлять в новое окошко и править до повторной публикации. Единственное, что я могу - это бесследно удалить комментарий.
УдалитьПредположение,что мы сами задаем значение высоты - правильное. Да, про куб для радиуса я совсем забыл. Вот что значит тупо переписывать со старого черновика, написанного до исправления ошибки. Сейчас что-то ничего не соображаю, буду вникать в решение ещё раз.
Геометрический смысл производной я действительно не понимаю, там ещё есть над чем математикам голову ломать)))
Благодарю за помощь и приношу свои извинения за беспокойство - Вы оказались абсолютно правы. Текст решения я уже переделал. Лишний раз убеждаюсь, что калькулятор из меня ни-ка-кой)))
УдалитьВ данном случае все тривиально. Вот смотрите: у нас есть функция площади f(r)=2*pi*r^2+256/pi. При разных r она выдает разные площади поверхности. Нам нужно найти минимальную. Как это сделать? Известно, что в точке экстремума (экстремум - точка, в которой функция достигает своего минимального или максимального значения) производная функции равна 0. (Или вовсе не существует, но это не наш случай) Не буду вдаваться в подробности, говоря о теоремах Ролля и Ферма, дабы не тратить время. Потом мы берем производную и приравниваем ее к 0. Находим точку экстремума. Делаем проверку, максимум это или минимум. (А также проверку значений на концах области определения) И, собственно, все. Значения меньше этого быть не может, так как это минимальное значение, которое может быть в принципе. В этом можно убедиться, рассмотрев график функции.
УдалитьСпасибо за разъяснение. Про необходимость делать проверки я уже давно забыл)))
УдалитьВместо "п" и "пи" можно бы использовать предназначенный для этого знак.
ОтветитьУдалитьМожно, но... Бумажный текст и текст в электронном виде - это разные вещи. Поиск в интернете происходит по электронным текстам. Лично я, как и большинство людей, не знаю, как значек "пи" ввести в поисковую строку. По этой причине специальный значек заменяется буквами. Какой смысл публиковать в интернете материал, который заведомо никто не сможет найти через поиск? Кстати, одна из рекомендаций поискового продвижения сайтов - писать в тексте поисковую фразу с ошибкой, как это часто делают пользователи. Например, не только "2 пи", но и "2пи", "2 ип", "2ип". Такова суровая правда современной жизни, когда интернет вносит существенные коррективы в академические догмы доинтернетовского периода.
УдалитьЧто за бред. Если человек ищет что-либо про число "пи", он вводит в гугл "пи" и открывает первую ссылку - Википедию. В тексте статьи Википедии символ "пи" используется везде, но это не помешало вам найти статью. Под ссылкой на Википедию есть еще много ссылок. Но вот что интересно, какой идиот станет искать эту статью в интернете по запросу "2пи" и т. п.? Слово "пи" не может являться ключевым для этой "статьи". А тем временем, подобное написание выглядит совсем не презентабельно, и человек, привыкший к порядку в научных текстах, сразу закроет страницу.
УдалитьНу да ладно. Теперь. К производным функций математик относится лишь как к инструменту, "не любить до ужаса" их может лишь человек, который совершенно не понимает их сути и совсем не смыслит в высшей математике. И еще кое-что. Математики вовсе не делают сложной математику, они с помощью математику делают решение многих задач простым. Собственно для того математика и изучается.
Артем
В высшей математике я ничего не смыслю - это точно. Согласен, гордиться не чем, но и стыдиться не собираюсь.
УдалитьСтыдиться или нет - это вы для себя сами решите. Но абсолютно точно то, что вы не можете писать о том, чего не знаете.
УдалитьА критиковать Вы что будете, блистая собственными знаниями? Не боитесь от тоски умереть?)))
Удалить