Два угла треугольника

Рассмотрим очень простенькую задачу про два угла треугольника, которые известны. Звучит эта задача так:

Два угла треугольника равны 53 градуса и 57 градусов. Найдите его третий угол треугольника.

У любого треугольника всего три угла. Именно поэтому треугольник так и называется. Величина двух углов из трех нам известна. Теперь я задам вам всего пару вопросов, которые помогут решить эту задачу.

Вопрос первый. Чему равна сумма углов треугольника? Это сакральное знание математики дразнят "Теорема о сумме углов треугольника". Как бы они не называли этот закон природы, суть его не изменится. Кстати, сумма углов треугольника относится к разряду тех математических знаний, которые запоминаются легко и надолго, но которыми вы никогда больше пользоваться не будите в своей повседневной жизни. Бесполезное знание? Нет, но пользуются им люди весьма ограниченного круга профессий, например, геодезисты.

Сумма углов треугольника

Вопрос второй. Если вы знаете, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, с арифметикой сами справитесь? Здесь всё просто. От суммы углов треугольника в 180 градусов отнимаем два известных угла и получаем значение третьего угла треугольника.

180 - 53 - 57 = 70 градусов

Не хотел приводить здесь готовое решение, но... Во-первых, у калькулятора много разных кнопочек и их случайно можно перепутать. В подобных случаях у ученых исчезают спутники на Марсе, а великая космическая держава рассея свои космические аппараты тупо разбивает об Луну. Так что готовое решение, для контроля, не помешает. Просто проверите себя.

Во-вторых, это очень удобный случай проделать то, что математики настоятельно нам делать не рекомендуют. Нас учат выполнять задания с минимальными затратами времени, и по возможности без записи промежуточных результатов. Собственно, я так и сделал. С одной стороны, это правильно. С другой стороны, это не дает нам возможности понять, а что же мы, собственно, делаем?

Лично мне очень нравится рассматривать решения математических задач под микроскопом в замедленной съемке. Иногда впечатление такое, что наблюдаешь за фокусом в исполнении иллюзиониста и все секреты фокуса тут же вылезают наружу. Давайте рассмотрим подробное решение этой задачи о двух известных углах треугольника и одном неизвестном. Вот как это выглядит.

Задача про два угла треугольника

И так. Кто-то измерял углы в каком-то реальном треугольнике. Измерения выполнили только для двух углов. Человек учился в школе и знает, что третий угол можно просто вычислить. Это и есть условие задачи. Теперь подробное решение и описание смысла выполняемых нами действий.

1. Записываем закон, который устанавливает связь между углами треугольника, в алгебраической форме. Я уже говорил, что в математике он называется "Теорема о сумме углов треугольника". Геометрическая форма этого закона представлена на первой картинке.

2. Преобразуем алгебраическую форму закона об углах треугольника под решение нашей конкретной задачи.

3. Вводим в полученную формулу данные из поставленной перед нами задачи. Переходим от алгебраической формы к физической.

4.Анализируем физическую модель решения задачи. Математический аппарат представлен десятичной системой счисления чисел, другие системы счисления отсутствуют. Физический аппарат представлен градусной мерой углов, другие единицы измерения углов отсутствуют. Только при этих условиях мы можем выполнять сложение и вычитание.

5. Переходим к математической модели физической задачи и выполняем математические действия с числами при помощи калькулятора, листа бумаги или в уме.

6. Получаем готовое решение задачи в физической форме.

Вот такой роман почти в стихах у меня получился для одной очень простой задачи. На точность описания сей литературный опус не претендует, поскольку в школе меня такому не учили, выдумывать пришлось на ходу. Все описанные действия мы выполняем автоматически, не вдаваясь в подробные объяснения. Я согласен с математиками в том, что глупо каждое решение задачи расписывать так подробно. Но ещё глупее тупо выполнять те действия, которым тебя учат. В этом случае образование превращается в обычную дрессировку животных.

Тригонометрия прямоугольного треугольника

Я не буду вам вдалбливать в голову правила и определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике. Математики это с удовольствием сделают без меня. Вам я просто покажу картинку, на которой изображена тригонометрия прямоугольного треугольника.

Тригонометрия прямоугольного треугольника

В верхнем ряду показано, кто есть кто в тригонометрическом зоопарке. Синус и косинус угла альфа - это отношения катетов к гипотенузе. Тангенс и котангенс - это отношения катетов. С гипотенузой обычно проблем не возникает, она одна и расположена напротив прямого угла. А вот катетов аж два и они разные. Один расположен напротив угла альфа и называется противолежащим (на картинке сторона а). Другой нежно прижимается к углу альфа и называется прилежащим (на картинке сторона b). Теперь, глядя на картинку, вы без труда сформулируете определения тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике.

Нижний ряд картинок показывает, как найти стороны прямоугольного треугольника, если нам известна одна сторона и угол альфа. Известная сторона выделена зеленым цветом. Используя эту сторону и тригонометрические функции, без труда можно найти две другие стороны прямоугольного треугольника.

Крутить картинку можно как угодно, переворачивать лицом вниз и смотреть на просвет - тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике от этого не изменяются.

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Вращение картинки.

Данная картинка вам может пригодиться в будущем, при изучении физики, теоретической механики, при выполнении инженерных расчетов. К тому времени вы уже прочно забудете, как определять и использовать тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.

И самое печальное в конце. Если бы математики учили вас пользоваться математикой, то такие картинки вы рисовали бы сами в течении нескольких минут, без всяких учебников. Ведь делается это элементарно просто.

Шестая проблема Гильберта

Автор Николай Хижняк

Тут у меня в комментариях появилась одна скромная просьба:

Помогите решить проблему связанную с распространением теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

Столько умных слов в одном предложении я давненько не встречал. У меня сразу закрались смутные сомнения, что не из домашнего задания всё это взято, а из какого-то другого места. Набираю в поисковике Википедии фразу "теорема Кронекера" и смотрю. Так и есть, мне подсунули двенадцатую проблему Гильберта, не решенную до сих пор. Типа, а вдруг дядька, с дуру, возьмет да и решит - во смеху-то будет!

Зря надеетесь. Для меня "абелевы поля","алгебраическая область рациональности" не больше, чем наборы букв. По высшей математике я дрессировку не проходил и понятия не имею, что нужно делать, услышав эти фразы. Более того, я даже не имею понятия, чем корень из единицы n-ой степени отличается от самой единицы. Я догадываюсь, что у математиков всё обстоит почти по Жванецкому: "Резолюция "ВЫПОЛНИТЬ" имеет самый широкий смысл - от "НЕ СМЕЙТЕ ВЫПОЛНЯТЬ" до "РЕШАЙТЕ САМИ". В математике одна и та же вещь может иметь разные названия, одно и то же название может обозначать самые разные вещи. Отсюда и проблемы.

Более ста лет назад Давид Гильберт сформулировал 23 кардинальные проблемы математики. Некоторые проблемы решены, некоторые решены частично, две проблемы остаются нерешенными до сего времени. Есть так же целый ряд проблем, которые просто замяли для ясности: "Слишком расплывчатая" или "Требует уточнения формулировки". Среди таких "замятых" проблем мое внимание привлекла шестая проблема Гильберта, которая звучит так: математическое изложение аксиом физики. Математики спрыгнули с решения этой проблемы с формулировкой "Слишком расплывчатая". Вот тут я с ними не согласен.

Формулировка Гильберта предельно четкая, вот только излагать нечего - не прижились в физике идеи математиков об аксиомах, как в свое время в химии не прижилась идея отрицательных чисел. Это математики все свои теории сверяют с аксиомами, физики же свои теории сверяют с результатами опытов. Есть в физике постулаты, но это всего лишь временные заплатки на белых пятнах наших знаний. Рано или поздно постулаты заменяются физическими законами. Временные постулаты физиков не идут ни в какое сравнение с монументальной незыблемостью аксиом математиков.

А вот здесь и появляется весьма неожиданное решение шестой проблемы Гильберта - на языке математики гораздо проще изложить "аксиомы" религии, чем аксиомы физики. Выглядит математическое изложение основ религии приблизительно так:

- священные тексты в религии - аксиомы и определения в математике;

- всё, что есть в этом мире, создал Бог - в математике фраза "Пусть нам дано..." по умолчанию подразумевает, что всё нам дает Бог;

- история о Ное, ковчеге и "каждой твари по паре" - теория множеств;

- человек состоит из тела и души - комплексные числа состоят из действительной и мнимой частей;

- Царство Небесное - комплексное пространство;

- Бог и дьявол, добро и зло - положительные и отрицательные числа;

- священный крест - декартова система координат.

При желании, можно досконально изучить священные тексты религии и священные тексты математиков (аксиомы и определения) в поисках других соответствий. На языке религии математика довольно хорошо излагается.

На мой взгляд, проблемы у современных математиков и у верующих одинаковы - аутизм. Они живут в воображаемом мире и не обращают внимания на окружающую действительность. Преподавание математики очень напоминает миссионерские проповеди - нам нужно учить и делать то, что говорят проповедники. Все попытки обратить внимание проповедников на окружающую действительность заканчиваются отсыланием к священным текстам: "Читайте Библию", "Читайте определение".

Арктангенс на калькуляторе

Как всегда, самое интересное происходит в комментариях. Вот один из последних:

Извините за беспокойство.
Для супруги тут понадобилась тригонометрия, для юридического(!) института (маленький курс информатики - раздел "работа с калькулятором"). С синусами и косинусами я (завязавший с алгеброй 10 лет назад) кое-как разобрался.
В ступор вводит "элементарный" вопрос...
Есть tg3х=4, надо вычислить угол "х"...
Не знаю с какой стороны подойти...
Разъясните... Спасибо.

Этого зверя приручают через обратные тригонометрические функции. В нашем случае нужно использовать арктангенс. Выглядит это приблизительно вот так:

tg3х=4
arctg(tg3х)=arctg4

Дальше довольно просто (объясняю для юридического))))))) - арктангенс тангенса равен просто углу, в данном случае 3х. Это типа украсть и положить обратно))) Дословный перевод с бытовухи на язык тригонометрии будет звучать приблизительно так:

"Украли угол 3х" - tg3x;
"Украли и положили на место угол 3х" - arctg(tg3x).

Теперь совсем детский вопрос: "Что у на лежит на месте?". Правильно, угол 3х. С левой частью мы разобрались.

Рассмотрим правую часть. Тупые менты обнаружили у скупщика краденного число 4. Из оперативных данных известно, что перекупщик сдал краденный угол по курсу тангенса. Вопрос не для тупых ментов: "Какой угол был украден, если скупщик краденного по курсу тангенса получил за него число 4?". Для ответа на этот вопрос мы можем использовать таблицу значений тангенса в качестве прейскуранта обмена углов на числа среди скупщиков краденного. Но у нас тупо задана тема "работа с калькулятором". Значит мы обязаны пользоваться не бумажной таблицей (в век планшетов смешно звучит), а пластмассовым калькулятором.

Как найти арктангенс на калькуляторе? Я воспользуюсь тем, что у меня всегда под рукой. В калькуляторе "Виндовс" вводим число 4, затем нажимаем кнопочку "Inv".

Арктангенс на калькуляторе. Шаг 1.

При этом внимательно следим за кнопочкой "tan". На этой кнопочке должна появиться степень минус единичка. Четверка должна оставаться неизменной.

Арктангенс на калькуляторе. Шаг 2.

Вот теперь нажимаем кнопочку тангенса в минус первой степени и получаем значение угла, тангенс которого равен 4. Если у нас на калькуляторе включен пыптик "Градусы", то получим 75,963756532073521417107679840837 градусов.

Арктангенс на калькуляторе. Шаг 3.

Если на калькуляторе включен пыптик "Радианы", получим 1,3258176636680324650592392104285 радиан.

Арктангенс в радианах

Вот теперь мы можем восстановить картину до совершения преступления (в градусах и радианах картины маслом выглядят по-разному). Запишем с самого начала в градусах, округлив до трех знаков:

tg3х=4
arctg(tg3х)=arctg4
3х=75,964
х=75,964/3
х=25,321 (градуса)

То же самое, но теперь в радианах:

tg3х=4
arctg(tg3х)=arctg4
3х=1,326
х=1,326/3
х=0,442 (радиан)

Если у вас в руках калькулятор какой-либо другой конструкции, то вам нужно методом научного тыка выковырять из калькулятора нужный результат)))

Справедливости ради нужно отметить, что инквизиторы от математики могут потребовать учесть в ответе периодичность тригонометрической функции тангенс. В этом случае к полученному ответу добавляем маразм в виде "плюс пи эн" (для радиан) или "плюс 180 эн". Специально для особо ортодоксальных математиков можно указать, что эн равно нулю, плюс-минус единице, плюс-минус два и так далее до скончания века, пардон, чисел.

Ну, и особенно меня порадовал ответ на мои объяснения.

...Огромная вам благодарность за это математическое расследование...
Ваше объяснение настолько вдохновило, что на этой волне мы с супругой решили все «задачи с калькулятором». Ещё раз спасибо!
P.S. Почитал ваш профиль в гугле. И скажу, что ещё как гражданин России, разделяю ваши взгляды на террористические Донецк и Луганск. Желаю сил вам и украинскому народу додавить террористов и потихоньку возвращать себе К.R.Ы.М. Мы верим в Украину без кRемлR! Успехов вам!

Я тоже верю, что донецких и луганских террористов мы замочим даже в кремлевском сортире, что российская армия уберется с Украины, что путин перестанет совать свое свиное рыло в чужие дела и что Крым снова будет Украиной.

Сумма всех ребер параллелепипеда

Вот такая вот задача у нас имеется:

Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найдите длины ребер, если AB:BC:AA1=4:5:6.

Для начала, посмотрим, что это за зверь такой - параллелепипед и где именно у него расположены ребра.

Сумма всех ребер параллелепипеда

Этот зверек из геометрического зоопарка хоть и кривоват слегка, но всё равно симпатичный. А имеется у него три группы ребер, по четыре ребра одинаковой длины в каждой группе. Сумма длин всех этих ребер по своему смыслу является периметром параллелепипеда. По аналогии с периметром четырехугольников. Ну, да ладно, не нам математиков учить.

Решить эту задачу можно при помощи пропорций, выражая одну сторону через другую. Вот пример решения задачи про сумму всех ребер параллелепипеда, где через икс обозначена одна из сторон.

Сумма всех ребер параллелепипеда решение

Отношения сторон в этом варианте задачи выражены двумя пропорциями. За икс принята самая длинная сторона, чтобы дроби в решении получались правильные, то есть меньше единицы.

Но есть и более простое решение. Я бы назвал его "метод произвольных единиц измерения". Думаю, такого в учебнике вы не найдете. В чем смысл метода произвольных единиц измерения? Для начала давайте посмотрим, как появилась подобная задача.

Кто-то измерил длины трех разных граней параллелепипеда и высчитал по формуле сумму всех ребер. Дальше, от нечего делать, он начал смотреть на соотношение длин сторон этого параллелепипеда. Будучи фанатиком математики, этот кто-то взял и тупо сократил дроби. При этом сократились не только числа, но сантиметры. Вместо размеров параллелепипеда в сантиметрах у нас остались только числа 4; 5; 6. Да, это пропорции сторон параллелепипеда, которые останутся неизменными, в каких бы единицах измерения мы этого зверя не измеряли: в сантиметрах, в метрах, в дюймах, в попугаях или мартышках. Кстати, очень поучительный мультфильм о единицах измерения длины, называется "38 попугаев".

Вот и у нас получается, что заданные в пропорциях размеры параллелепипеда не понятно в чем измерялись. Если эту неизвестную единицу измерения мы обозначим через икс, то мы легко можем подсчитать сумму всех ребер параллелепипеда, только выраженную в иксах:

4(4х+5х+6х)=4*15х=60х

У нас периметр получился равным 60 непонятных (или произвольных) единиц измерения. По условию задачи известно, что этот же периметр равен 120 сантиметров. Составляем уравнение и находим величину произвольной единицы измерения. Это просто, как в первом классе.

60х=120см
х=(120/60)см
х=2см

Теперь остается только пересчитать размеры параллелепипеда в сантиметрах.

a=4х=4*2см=8см
b=5х=5*2см=10см
c=6х=6*2см=12см

Вот еще подобная задача:

Измерения прямоугольного параллелепипеда относиться как 9:13:7. Найдите сумму ребер прямоугольного параллелепипеда, если длина меньшей стороны 18 см.

Обозначаем через икс произвольную единицу измерения и находим сумму ребер прямоугольного параллелепипеда

Р=4(9х+13х+7х)=4*29х=116х

Длина наименьшей стороны нам известна и в произвольных единицах измерения, и в сантиметрах. Отсюда найдем величину произвольной единицы измерения.

7х=18см
х=(18/7)см

Теперь мы можем определить сумму ребер.

Р=116х=116*(18/7)см=(2088/7)см

Когда можно применять метод произвольных единиц измерения? Когда нам заданы размеры какой-либо геометрической фигуры в виде пропорции сторон и что-нибудь ещё (одни сторона, периметр, площадь или объем) в человеческих единицах измерения (сантиметрах, метрах или попугаях))).