Решение системы уравнений подстановкой

В комментариях тут подбросили просьбу решить систему уравнений. По решению систем уравнений меня дрессировали уже очень давно, но кое что я ещё помню. И так, система уравнений выглядит следующим образом:

x-3y=2
xy+y=6

Я не знаю, как правильно решаются такие системы уравнений с двумя неизвестными, но лично я его могу решить методом подстановки. Второе уравнение системы я трогать не советую, произведение двух неизвестных икс и игрек ничего хорошего нам не обещает. А вот из первого уравнения мы можем запросто выразить икс через игрек.

х=3у+2

Вот теперь мы можем это значение икса подставить во второе уравнение. Наше самое страшное в мире уравнение превратится в квадратное уравнение с одним неизвестным. А это уже не смертельно.

(3у+2)*у+у=6
3у^2+2у+у=6
3у^2+3у=6

Разделим левую и правую части этого уравнения на число три, уравнение при этом не пострадает, полностью сохранив свое математическое равенство:

3у^2+3у=6 |:3
у^2+у=2

Я не помню, как решать квадратные уравнения, с детства не люблю в дискриминантах ковыряться. Внутренний голос подсказывает мне, что здесь игрек равен единице. Но интуиция не является математическим доказательством, по этому я воспользуюсь сервисом решения квадратных уравнений онлайн. Решаем полученное квадратное уравнение, приведя его к такому виду:

у^2+у-2=0

Стрянно, но решений получилось аж два - единица и минус два. Калькулятор умнее меня, спорить с ним я не буду. Тем более, что после подстановки обеих значений в это уравнение, проверка показывает, что калькулятор прав. Теперь оба эти значения у=1 и у=-2 подставляем в первое уравнение и находим значения иксов при этих значениях игреков:

х=3у+2=3*1+2=3+2=5
х=3у+2=3*(-2)+2=-6+2=-4

Осталось записать два полученных ответа: (5;1);(-4;-2)

Теперь моя любимая проверка. Подставляем полученные значения иксов и игреков в нашу систему уравнений и смотрим результаты. Первая пара приглашается на лед:

5-3*1=5-3=2
5*1+1=5+1=6

Вторая пара пошла:

-4-3*(-2)=-4+6=2
(-4)*(-2)+(-2)=8-2=6

Вау! Полная победа - система уравнений решена правильно.

Фотография честно стырена здесь. Откуда там её украли, понятия не имею.

Решение уравнений

Решение уравнений

На картинке вы видите пример решения уравнений с одним неизвестным. В первом примере применяется деление всего уравнения на число для его упрощения. Основан этот метод на таком математическом правиле: если левую и правую часть равенства умножить или разделить на одно и тоже число или выражение, то равенство не изменится. Во втором примере применяется точно такое же свойство равенств по отношению к сложению и вычитанию.

По заявкам посетителей решаем уравнение с применением этих методов. Первое уравнение имеет такой вид:

7,3*k=9,2*10,9

Здесь нужно делить на то число, которое стоит рядом с неизвестным. Главный смысл - превратить это число в единицу. А что для этого нужно сделать - разделить или умножить - это вы думайте сами, для этого у вас голова предназначена.

В уравнениях подобного вида можно применять свойства пропорций, что даст точно такой же результат.

И так, делим наше уравнение на 7,3 или переносим число 7,3 из левой части уравнения в правую и вычисляем значение неизвестного:

k=9,2*10,9/7,3=100,28/7,3=13,737

Проверка: 7,3*13,737=100,28

k=13,737 - решение правильное.

Вторым примером выполним ещё одну заявку и решим простое уравнение с одним неизвестным, но представленном в уравнении во множественном числе:

453-19х-12х-6х=9

Прежде всего, нужно выполнить все действия в неизвестными, так сказать загнать всех баранов в одно стойло. Мы вынесем неизвестное за скобки:

453-(19+12+6)*х=9
453-37х=9

Число 453 из левой части равенства переносим в правую, не забывая сменить знак на противоположный, выполняем действия с числами:

-37х=9-453
-37х=-444

Либо сразу ищем икс, используя свойства умножения и деления, не забывая при этом про минусы:

х=(-444)/(-37)=444/37=12

Либо сперва умножаем на минус единицу:

-37х=-444 |*(-1)
37х=444
х=444/37=12

Для проверки правильности решения можете подставить значение икс в первоначальное уравнение и посмотреть результат. Лично мне лень)))

Число в дробной степени

Если число необходимо возвести в дробную степень, например, 2,71 в степени 1,32, тогда нужно воспользоваться калькулятором. Для получения результата возведения числа в дробную степень используем кнопочку "икс в степени игрек".

Делается всё достаточно просто, на уровне дрессированных обезьян, но порядок нажимания кнопочек нужно знать, иначе результат получится не правильным. В отличии от обезьяны, я сам устанавливал порядок нажимания кнопочек, используя метод научного тыка и анализируя полученный результат. Вот что у меня получилось.

Число в дробной степени

Набираем число 2,71, потом нажимаем кнопочку х^у (икс в степени игрек), набираем число 1,32 (показатель степени), нажимаем кнопочку равно. Всё, операция по добыче дробной степени числа победоносно завершилась.

2,71 ^ 1,32 = 3,72837394175188

Чтобы не писать столько цифр в тетрадь, результат нужно округлить. Мне захотелось округлить результат до четырех цифр после запятой, получилось 3,7284. Это гораздо более удобовоспринимаемый вид.

Я обезьяна любопытная, по этому на калькуляторе я нашел ещё одну кнопочку, которую решил попробовать - корень игрек из числа икс. Если перевести это на язык первой кнопочки, то это означает "икс в степени единица, деленная на игрек". Да, число в степени одна вторая - это извлечение квадратного корня из числа. Естественно, если извлечь корень 1,32 степени из числа 2,71 мы получим совсем другой результат.

Число в дробной степени

Во втором случае я возвел число 2,71 в степень 1/1,32. Поскольку показатель степени меньше единицы, то и результат получился меньше первоначального числа. Действительно, 2,1282 меньше, чем 2,71.

Космические масштабы нашей глупости

Эх, Америка...

11 декабря 1998 года в Соединенных Штатах Америки была запущена ракета с орбитальным спутником Climate Orbiter для исследования климата Марса. Вместе со стартом этой ракеты наша глупость начала приобретать космические масштабы. Девятимесячный полет прошел без каких-либо проблем, для полной победы человеческого разума оставалось выполнить не сложный маневр торможения спутника в верхних слоях атмосферы Марса. Это бесплатный способ снизить скорость спутника без расходования топлива, чтобы спутник не пролетел мимо Красной планеты.

Такой не хитрый маневр уже не раз успешно применялся до этого, но 23 сентября 1999 года спутник Climate Orbiter навсегда исчез на теневой стороне Марса. Космический зонд ценой 200 000 000 (миллионов) американских долларов был потерян. Причина выяснилась довольно быстро – вместо запланированных 140 километров, спутник опустился до высоты 57 километров от поверхности Марса и на такой космической скорости просто сгорел в более плотной атмосфере. Из-за обычной человеческой ошибки. А точнее, из-за нашей глупости.

Дело было так. Навигационную программу разрабатывала американская Локхид Мартин и использовала национальные единицы измерения – футы и мили. Космическое агентство США НАСА пользуется международными единицами измерения – метрами и километрами. На это никто не обратил внимания. Число ввели правильное, но при взаимодействии с заложенными в программе единицами измерения фактический результат получился таким, как получился – спутник сгорел.

Единицы измерения

В чем заключается наша с вами глупость? Да в том, что для измерения одних и тех же физических величин мы используем разные единицы измерения. Не одну единицу измерения в разных масштабах (километры, метры, сантиметры), а принципиально разные единицы измерения (мили и километры, литры и галлоны, граммы и фунты). В истории авиации погиб не один человек именно из-за того, что футы и метры пересеклись в пространстве и времени. Вы хотите умереть из-за того, что кто-то перепутал, например, градусы и радианы при вычислении значения тригонометрической функции? До тех пор, пока ситуация с единицами измерения не изменится, вероятность ошибки в их использовании будет оставаться такой же, как сегодня.

Я полагаю, что виноваты в измерительном маразме как бюрократические системы самого разного пошиба, так и математики. Они в совершенстве владеют искусством жонглирования числами, но совершенно не умеют работать с единицами измерения. Вот простой пример человеческой ошибки при выполнении математических действий с разными единицами измерения.

Космические масштабы нашей глупости

Это типографский плакат, отпечатанный для обучения школьников. Я не берусь судить, кого хотят воспитать бюрократы от образования, во второй строчке плаката утверждающие, что если к 14 дециметрам прибавить 2 метра, мы получим 2 метра и 14 дециметров, вместо 3 метров и 4 дециметров. Это только идиоты могут так работать с единицами измерения. Последняя строчка плаката полностью подтверждает мою правоту: после прибавления к 248 метрам с хвостиком 16 метров с хвостиком, мы получаем 26 метров со здоровенным хвостищем. Правда, не смотря на большой размер хвоста, конечный результат сложения дает 30 метров с хвостиком, что значительно меньше той величины, к которой мы прибавляли. Глядя на этот плакат, лично я себя чувствую полным идиотом. Может, меня не той математике в школе учили?

Вот теперь понятно, почему мы спутники в космосе теряем. Удивляет тот факт, что ракеты вообще от земли отрываются. Инженеры с таким уровнем знания единиц измерения даже набедренную повязку вряд ли в кучу слепят.

Но и это ещё не предел нашей глупости. Трудно придумать более дебильную единицу измерения, чем радианы, используемые для измерения углов. Применение этих единиц измерения в математическом анализе порождает полный маразм.

Космические масштабы нашей глупости

И так, в математическом анализе, при рассмотрении тригонометрических функций, ВСЕГДА СЧИТАЕТСЯ, что АРГУМЕНТ ВЫРАЖЕН В РАДИАНАХ. Но тут же, при рассмотрении этих самых тригонометрических функций, утверждается, что областью их определения является множество всех действительных чисел. Позвольте, а радианы куда подевались? Или мы уже углы начали измерять в числах? У чисел и углов совершенно разные единицы измерения. Не сомневаюсь, что большинство отсидевших курс матана свято верят в то, что между числами и радианами вообще нет никакой разницы. Если они, конечно, ещё помнят о радианах.

Я не пророк, но могу вас заверить, что мы как теряли в космосе спутники, так и дальше будем терять, что наши атомные электростанции как взрывались, так и будут взрываться. Инопланетяне будут только смеяться над нашей цивилизацией высокоразвитых идиотов, которые сами делают всё возможное, чтобы как можно чаще ошибаться.

Великая космическая держава

11 августа 2023 года в 2 часа, 10 минут, 57 секунд по московскому времени с космодрома "Восточный" стартовала российская ракета "Союз" с автоматической станцией "Луна-25" на борту. Эта станция должна была опуститься на Южном полюсе Луны. 19 августа 2023 года автоматическая станция "Луна-25" благополучно разбилась об поверхность Луны.

Со стороны россия выглядела приблизительно так: "Мы великая космическая держава и только мы способны разбить свой космический аппарат об Луну!" У меня только один вопрос: "А не проще было его разбить об забор на заводе?"

При подготовке статьи использованы материалы Википедии, сайта dw-world.de и другие материалы из Интернета.

Деление на ноль в физике

Деление на ноль в физике

Все законы можно разделить на две группы - придуманные нами и законы математики. Придуманные нами законы могут не работать, несмотря на то, что мы их придумали. Законы математики, отображением которых являются законы природы, работают всегда, не зависимо от того, знаем мы их или не знаем. Именно так обстоит дело с законами умножения и деления на ноль.

Есть старая студенческая шутка о том, что прибором, который выполняет математические действия умножения и деления на ноль, является обыкновенный выключатель. Лично я больше доверяю не зашоренному взгляду студентов, чем "научным" опусам разных "кандидата какая-то наука". Иногда первое впечатление является самым правильным.

Все математические выкладки, что были написаны здесь, я сперва удалил, поскольку считал, что вреда от них будет больше, чем пользы. Комментарии я так же почистил. Но потом передумал. Если я не расскажу о математических принципах работы электрического выключателя, то другие ещё не скоро на это решатся. И так, для начала комментарий:

"Идиот,закон ома правильно хоть запиши. Откуда у тебя ток не равен нулю при нулевом напряжении. И чего это сопротивление перегоревшей лампочки равно нулю?
Мало того ты или слепой или читать не умеешь. На ноль все отлично делится когда знаешь функцию зависимости. В большинстве случаев в результате получается бесконечность. А вот про неопределенности настоящие ты наверное вообще не слышал. Я уже не буду говорить все варианты которые я нашел во время прочтения где это работать не будет даже если закрыть глаза на грубые ошибки в примерах. Так что я делаю вывод - у тебя полное отсутствие мозга."

Это типичная реакция человека, натасканного на ноль, как дрессированная собака на команду "Фас!". При этом нужно помнить, что математика рассматривает абстрактные понятия, которые понимать не нужно. В итоге все мы превращаемся в дрессированных животных, которые думают именно так, как их учили. Знаю на собственном опыте, как тяжело избавляться от общепринятых стереотипов. По этому объясняю, что во всем дальнейшем изложении я буду говорить не о ЧИСЛОВЫХ значениях физических величин, а о ЕДИНИЦАХ ИЗМЕРЕНИЯ, которые в обычной математике не рассматриваются вообще.

Каждый из нас в своей повседневной жизни ежедневно по много раз применяет умножение и деление на ноль. Инженеры, так же как и мы, ничего не подозревая, создали специальный прибор, позволяющий умножать и делить на ноль. И всё это так прочно вошло в нишу жизнь, что без этих приборов сегодня невозможно представить наш окружающий быт. Но давайте начнем по порядку, с математики.

Все вы прекрасно знаете математический закон умножения:

a*b = c

На страницах этого сайта я рассказал о математических правилах умножения и деления на ноль. Возьмем с этой странички те формулы, которыми мы будем пользоваться:

ab*0 = 0 и a или b

a/0 = ab

Перепишем эти формулы в том виде, в каком мы ими будем их использовать в нашем конкретном примере:

a*b*0 = (a*0)*b = a*(b*0) = c*0

c*0 = {c=0; a=0; b≠0} = {c=0; a≠0; b=0}

a/0 = b/0 = a*b = c

Теперь мы с вами проверим, насколько эти алгебраические выкладки соответствуют реальности. Для этого представим самую заурядную бытовую ситуацию: вы вечером сидите в комнате и вдруг гаснет свет. Ваш вердикт? Правильно, либо исчезло электричество, либо перегорела лампочка. Если потужиться, можно придумать ещё два варианта: вы внезапно ослепли и вы внезапно умерли. Поскольку два последних варианта относятся больше к биологии, мы их рассматривать не будем. А вот насколько точно первые два варианта могут быть описаны нашими алгебраическими формулами, давайте посмотрим.

Свечение лампочки в физике описывается законом Ома, который выглядит так:

I*R = U

В этом виде закон Ома полностью совпадает в представленным нами законом умножения в алгебраическом виде:

a*b = c

По этому, в своих дальнейших выкладках, мы можем заменить алгебраические элементы формул на физические величины:

a = I - это ток, который течет по проводам, он измеряется в Амперах;

b = R - это сопротивление электрическому току в спирали лампочки, оно измеряется в Омах;

c = U - это напряжение в электрической цепи, которое заставляет лампочку светиться от счастья и измеряется напряжение в Вольтах.

Первый вариант апокалиптического мрака предполагает выключение рубильника каким-то злым дядькой (в целях экономии электроэнергии без нашего на то согласия), в результате чего электрический ток перестает поступать в провода. Либо обрыв провода в результате аварии на электрических сетях.

U*0 = {U=0; I=0; R≠0}

Как видим, этот математический результат нам сообщает, что лампочка действительно перестала гореть, поскольку в проводах исчез электрический ток, но с нашей лампочкой всё нормально и она готова снова засиять, как только появится ток.

Теперь посмотрим на второй вариант полного затмения, когда у нас просто перегорела лампочка, а с током в электрических сетях всё нормально:

U*0 = {U=0; I≠0; R=0}

Как видите, в отличие от традиционного "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", мы получили не только констатацию факта потухшей лампочки U=0, но и две возможные причины этого досадного происшествия: {I=0; R≠0} и {I≠0; R=0}.

Здесь нужно отметить, что в традиционной математике умножение на ноль какого либо элемента равенства сводится к одному из основных математических равенств:

0=0

Обычно на этом вся математика заканчивается. В предлагаемом мною варианте умножения на ноль данная ситуация означает исчезновение первоначального равенства и переход к двум неравенствам - напряжение не равно силе тока и напряжение не равно сопротивлению электрической цепи:

U ≠ I

U ≠ R

В общем виде для алгебраического выражения a*b = c это выглядит так:

c ≠ a

c ≠ b

Для восстановления первоначального равенства необходимо выполнить математическую операцию деления на ноль. В нашем примере необходимо либо восстановить электрический ток в проводах, либо заменить перегоревшую лампочку. При этом происходит следующее:

I/0 = [I*(R*0)]/0 = I*(R*0/0) = I*(R*1) = I*R = U

R/0 = [(I*0)*R]/0 = (I*0/0)*R = (I*1)*R = I*R = U

В нашем случае используется равенство 0/0=1, где в качестве единицы выступают единицы измерения электрического того или электрического сопротивления. Введение в формулу любой другой единицы измерения не приведет к первоначальному результату, поскольку электрическое напряжение получается исключительно в результате взаимодействия силы тока и сопротивления. Вы можете ходить кругами, наматывая метры длинны и почесывая себя в затылке. Вы можете достать кошелек и разбрасывать деньги. Перегоревшая лампочка от этого светиться не станет:

I/0 = [I*(L*0)]/0 = I*(L*0/0) = I*(L*1) = I*L ≠ U

I/0 = [I*($*0)]/0 = I*($*0/0) = I*($*1) = I*$ ≠ U

Как видите, применение деления на ноль предполагает наличие разума, а не тупого выполнения математических действий.

В заключение хочу сказать, что инженеры уже давно сделали выключатели, позволяющие выполнять умножение и деление на ноль в электрических цепях. Этот прибор является основным элементом управления электрическими цепями. Выключателями оборудуются практически все электроприборы: лампочки, двигатели, телевизоры, мобильные телефоны и прочие.

P.S. 08.04.17 г. По поводу выключателя я был не прав. Это прибор, который не выполняет умножение и деление на ноль. В математике наиболее точно работа выключателя описываются математическим действием "умножение". Да, умножение нужно рассматривать как сложное действие, которое имеет начало взаимодействия, конец взаимодействия и продолжительность взаимодействия во времени. Когда выключатель включен, электрическая цепь замкнута, происходит взаимодействие тока и сопротивления, мы имеем результат умножения. Когда выключатель выключен, электрическая цепь разомкнута, взаимодействие не происходит, результат умножения отсутствует.

Больше о новых взглядах на математику и её проблемах смотрите на странице "Новая математика"