Фрактальная структура теоремы Пифагора

Все вы знаете теорему Пифагора - пифагоровы штаны на все стороны равны. А знаете ли вы, сколько карманов в этих штанах? И в каждом кармашке спрятана целая куча самых разных интересных штучек. В одном кармашке мы нашли нашли основное тригонометрическое тождество, формулы для двух углов и многомерных пространств, в другом - единицы измерения в теореме Пифагора. Сегодня мы пороемся в том кармашке, где спрятаны фракталы.

Что такое фракталы? Это когда часть подобна целому. Красота фракталов поразила воображение не только математиков, но и обычных ротозеев. Дерево имеет структуру фрактала - ствол, толстые ветки, более тонкие ветки, веточки ещё тоньше, листья, жилки на листике... Получается фрактал, если часть целого заменить уменьшенной копией всего целого, а потом часть уменьшенной копии снова заменить на ещё больше уменьшенную копию и так до бесконечности. Вот пример построения фрактала из Википедии.

Фрактал

Числами обозначены шаги в построении фрактала. Первое - это целая фигура, второе - первый этап развития фрактала и так далее. Нижний фрактал изображен на четвертом этапе. В левой части я специально дорисовал исходные фигуры, чтобы нагляднее показать развитие фрактала. Так вот, в статье Википедии о фракталах нет упоминаний о теореме Пифагора. У меня два варианта объяснения этого постыдного факта:

1. Математики сами ничего не знают о фрактальной структуре теоремы Пифагора.
2. Они знают, но скрывают от нас свои тайные знания, как жрецы в древности.

Думать о том, что математики считают теорему Пифагора не достойной фракталов, даже мне стыдно. Восстановим справедливость. Первый момент, на который я хочу обратить ваше внимание - это развитие фрактала. Математики во всех направлениях развивают фрактал одинаково для получения симметрии. Я так делать не буду, поскольку и в природе фракталы могут развиваться в разных направлениях по-разному - некоторые ветки деревьев усыхают. Ещё я хочу сделать картинки более понятными и меньшими по размеру за счет развития фрактала только в одном направлении. И последнее. Таким образом мы получим линейный фрактал (кстати, он мне чем-то напоминает полимер из химии).

И так, возьмем прямоугольный треугольник. Все вы знаете, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - это и есть теорема Пифагора. Теперь один из катетов мы представим как гипотенузу другого прямоугольного треугольника, у которого есть пара своих катетов. Заменим катет первого прямоугольного треугольника мы заменим двумя катетами второго треугольника. Один катет второго треугольника заменяем двумя катетами третьего треугольника. Так можно поступать с любой стороной треугольника, продолжая замену до бесконечности. Вот как это выглядит на рисунке - две замены для одной стороны дают нам представление о фрактальной структуре теоремы Пифагора.

Фрактальная структура теоремы Пифагора

Кстати, если гипотенузу треугольника заменить на два точно таких же катета, отраженных симметрично, мы получим прямоугольник. Для прямоугольника теорема Пифагора будет звучать так: сумма квадратов сторон прямоугольника равна квадрату диагонали. Как видите, теорема Пифагора прячется практически везде, за что бы мы не взялись. Это самая вездесущая теорема математики.

Теперь перейдем к самому интересному - формулам треугольного фрактала. С классическим видом теоремы Пифагора никаких проблем нет. Заменяем квадрат самого первого элемента формулы на сумму квадратов и подставляем в формулу. Красным цветом выделены те выражения, которыми мы пользуемся при подстановке. Вопреки всем существующим правилам записи математических выражений, каждое подставляемое выражение я возьму в скобки, чтобы вам было понятнее, какие выражения появляются после подстановки.

Фрактальная структура теоремы Пифагора

Как видите, полученная нами формула легко складывается в теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника, если мы пойдем по этим формулам в обратном порядке. То есть два элемента последней формулы, выделенные скобками, заменим одним. Напоминаю, что разложить мы можем как любую сторону треугольника, так и все сразу. Я раскладывал только первый элемент и для наглядности, и для экономии места на рисунке. В результате у меня получилась теорема Пифагора для линейного фрактала.

Если мы с вами запишем теорему Пифагора для любого треугольника, не только прямоугольного, тогда любой многоугольник мы сможем представить как фрактал треугольника. Зачем это нужно? Понятия не имею, просто прикольно. А вдруг кому-то пригодится? Но об этом как нибудь в другой раз. Сейчас же продолжим терзать наши прямоугольные треугольники.

Как настоящие ученые, мы должны представить полученный нами линейный фрактал в тригонометрическом виде - ведь теорема Пифагора легко преобразуется в основное тригонометрическое тождество и обратно, что мы с вами уже подробно рассматривали. С нарисованным нами фракталом так легко не получится. Если мы просто заменим первый элемент формулы на сумму квадратов синуса и косинуса, как это сделано в традиционном представлении теоремы Пифагора, мы вляпаемся в равенство единица плюс квадрат косинуса равняется единице. А это равенство не является правильным. Здесь мы лицом к лицу сталкиваемся с таким математическим понятием, как переменные единицы измерения.

Что такое переменные единицы измерения и существуют ли они в природе? С эти вопросом, более детально, мы будем разбираться отдельно. Здесь же поговорим о треугольниках. Что является математической единицей измерения размеров треугольника? Для каждого треугольника математической единицей измерения длины является длина одной стороны. Какой именно стороны? Любой. Какую сторону вы выберите, та и будет единицей измерения для конкретного треугольника. Это причуды относительности математики. В школе, в повседневной жизни мы пользуемся не математическими, а человеческими единицами измерения для выражения размеров треугольника.

Больше о новых взглядах на математику и её проблемах смотрите на странице "Новая математика"

Интересная математика

Сегодня посмотрим несколько интересных примеров на умножение и сложение чисел, которые дают красивые числа. Эта интересная математика может применяться для проверки работы калькулятора. Особенно первый пример. Здесь между собой умножается одинаковое количество единичек, а в результате получается зеркально симметричный набор цифр от 1 до 9. При этом точкой симметрии в ответе является цифра, соответствующая количеству умножаемых единичек. Посмотрите, как красиво получается.

Интересная математика

В следующем примере мы берем девять цифр от 1 до 9, умножаем их на 9 и еще на одну цифру. В результате получаем набор из девяти одинаковых цифр с ноликом на предпоследнем месте. Цифры соответствуют последнему сомножителю.

Интересная математика

Дальше мы будем использовать умножение и сложение. При помощи этих математических действий также можно получить интересные результаты.

Интересная математика

Теперь пример, похожий на предыдущий, только в результате мы получаем разное количество единичек.

Интересная математика

В последнем примере мы получаем разное количество восьмерок.

Интересная математика

Это маленький пример красоты и симметрии математики. Ничего сверхъестественного в этих примерах нет - обычные математические действия. По логике вещей, если существуют такие красивые наборы цифр в числах, то эти числа можно каким-то образом получить. Оказывается, есть красивые способы получения не менее красивых чисел.

Почему умножение первое?

Почему умножение первое?

Вот какой интересный вопрос о порядке выполнения математических действий мне задали:

меня зовут Александр. меня подруга замучала вопросом почему умножение делается раньше сложения? например почему 1+2*3=7 а не 9 я просто не знаю как объяснить, просто знаю что 7 и всё!!))))

Традиционный ответ на этот вопрос будет звучать приблизительно так: правила математики гласят - сперва выполняется умножение, потом сложение. Нам нужно просто делать то, чему нас учат наши учителя, соблюдать математические правила и мы получим правильный результат. В математике абстрагирование от конкретных условий приводит к потере смысла выполняемых действий.

Так всё же почему умножение выполняется первое, а только потом сложение? Ответ довольно прост. При умножении двух разных единиц измерения получается новая единица измерения, при сложении единицы измерения не меняются. При умножении мы получаем эту самую новую единицу измерения. Если она такая же, как и у первого слагаемого, тогда мы можем выполнить сложение.

Вот задача, которая хорошо иллюстрирует сказанное. У нас имеется геометрическая фигура площадью 1 квадратный сантиметр. К ней прибавили прямоугольник размером 2 на 3 сантиметра. Какая общая площадь двух фигур? Если вы захотите к одному квадратному сантиметру прибавить два сантиметра стороны прямоугольника, то у вас ничего не получится. Нельзя сложить две величины с разными единицами измерения. Если вы умножите стороны прямоугольника, тогда вы получите его площадь. Площадь с площадью можно сложить и получить результат - 7 квадратных сантиметров составляет общая площадь двух фигур.

По умолчанию, в математике считается, что если между числами записан знак математического действия, значит это действие можно выполнять. Отсутствие единиц измерения превращает математику в бессмысленную детскую игру в числа.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Сегодня мы решим одну задачу и найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Для начала посмотрим, что это за математический зверь такой - прямоугольный параллелепипед. Вот как он выглядит.

Прямоугольный параллелепипед

Как видите, прямоугольный параллелепипед скорее похож на клетку для зверей, чем на самого зверя. Математики считают, что живет этот параллелепипед в геометрии, в 5 классе. Они просто забыли, что в детском садике параллелепипед был одной из их игрушек. Детский кубик - это тоже прямоугольный параллелепипед, у которого все грани равной длины. У параллелепипеда есть 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Это трехмерная (или объемная) фигура. Она состоит из двухмерных граней, одномерных ребер и точек вершин, которые обозначают границы трехмерного пространства, заключенного внутри параллелепипеда. Прямоугольным эту геометрическую фигуру называют потому, что все углы в ней прямые - равные 90 градусов. Внутренне пространство этой клетки называется объемом. Кстати, мы очень любим сажать друг друга в клетки параллелепипедов. Или прятаться внутри них - комнаты чаще всего имеют форму параллелепипедов. Стены, пол и потолок - так мы называем грани комнаты. Ребра мы называем углами, нижние ребра мы стыдливо прячем за плинтус, верхние ребра или выставляем на показ, или украшаем потолочным багетом. Точки, в которых пересекаются углы комнаты, являются вершинами параллелепипеда, в котором мы живем. Ой, что-то мы сильно отвлеклись на экскурсию по достопримечательностям параллелепипеда, давайте посмотрим, как нужно считать его объем.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Общий объем параллелепипеда состоит из маленьких кубиков единиц измерения объема, который на рисунке измеряется в кубических сантиметрах. Измерять объем можно и в других единицах измерения - кубических метрах (например, объем комнаты), кубических километрах (когда будем мерить планету), литрах (жидкости, но моря и океаны лучше измерять в кубических километрах). Объемы звездных систем и галактик можно мерить в кубических световых годах. Интересно, а в чем лучше измерять объемы разных вселенных? Как вы видите, любой трехмерный объем является умножением трех перпендикулярных единиц измерения длины. У прямоугольного параллелепипеда три ребра всегда перпендикулярны в вершинах. Длина таких ребер называется линейными размерами или измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда измерения

Если избрать единицу измерения и количество этих единиц в каждом из трех измерений, тогда легко можно высчитать объем прямоугольного параллелепипеда по формуле - перемножить все три линейных (перпендикулярных) размера.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисление

Математики никогда не обращают на это особого внимания, но нужно не забывать, что во всех трех направлениях единицы измерения длины должны быть одинаковыми. Если у какой-то штучки один размер значительно больше двух других размеров, то тогда такую штучку мы меряем в погонных метрах. Например, железнодорожные рельсы лучше измерять в погонных метрах (километрах), а не в единицах измерения объема. С математической точки зрения, один погонный метр - это единица измерения объемных тел, двумя размерами которых можно пренебречь.

Объем прямоугольного параллелепипеда измерения

Как видно из рисунка, одним и тем же единицам измерения длины мы присваиваем разные названия: длина, ширина, высота. Эти длины называются измерения прямоугольного параллелепипеда. Этим мы уточняем пространственную ориентацию нашего параллелепипеда. Длина и ширина располагаются внизу, при этом длина обычно больше ширины. Высоту мы отмеряем вверх. Все эти названия являются относительными. Если поставить наш параллелепипед на другую грань, названия сторон могут поменяться - длина или ширина превратится в высоту. Объем параллелепипеда не зависит от названий его размеров, поскольку при нахождении объема используются все три линейных размера.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты (произведению трех линейных размеров). Как бы мы этот параллелепипед не крутили. Числовое выражение объема зависит от тех единиц измерения, в которых мы выражаем размеры этой геометрической фигуры. В полном соответствии с теоремой Пифагора, все единицы измерения размеров должны быть одинаковы. Возможно, это и звучит, как нравоучение несмышлёным детишкам, но математики считают математику абстрактной наукой именно потому, что они не всегда понимают, что именно, когда и как они делают.

Объем прямоугольного параллелепипеда основание и высота

На этой картинке представлена другая формула. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Точнее, площади одной грани умноженной на перпендикулярный размер. Покрутите параллелепипед - у вас основанием каждый раз будет какая-то другая грань, при этом высота так же будет меняться. Крутить параллелепипед совсем не обязательно, достаточно вычислить площадь любой его грани (основания, боковой или торцевой грани) и умножить на перпендикулярный размер: основание на высоту, боковую площадь на ширину, торцевую площадь на длину. Во всех случаях результат будет одинаковым.

Нахождение объема через площадь грани и перпендикулярный размер не является каким-то научным открытием. Это всего лишь констатация того факта, что мы не можем одновременно выполнить два математических действия умножения между тремя размерами. Сперва мы берем два перпендикулярных размера и умножаем их между собой - получается площадь. Потом эту площадь мы умножаем на третий размер - получается объем. Переместительный закон (или коммутативность) умножения и порядок выполнения математических действий являются родителями второй формулы вычисления объема параллелепипеда. (При этом важно отличать линейные размеры от их симметричных отражений. Умножив площадь основания на один из размеров этого основания, вы получите единицы измерения объема, но не получите объем самого параллелепипеда.)

Когда эта формула важна? Ну, например, ваши разведчики во вражеском тылу выкрали сверхсекретное значение площади основания параллелепипеда. Теперь вам просто нужно продолжить вычисление - умножить эту площадь на высоту. Тот объем, который известен врагам, теперь знаете и вы. А если серьезно, то площадь боковой грани можно найти по другой формуле площади прямоугольника - по длине диагонали и синусу угла между ними. Вам уже не нужно находить размеры этой грани, умножаете площадь на третий размер и объем у вас в руках. Этот принцип можно использовать при нахождении объемов любых геометрических фигур с любым количеством измерений. Достаточно четко понимать,на каком этапе вычислений вы находитесь и что вам ещё осталось сделать. Например, зная трехмерный объем, для нахождения объема шестимерного, вам нужно будет умножить его еще на три длины в недостающих измерениях. Ваши метры кубические превратятся в метры в шестой степени. При путешествии в шестимерное пространство не забывайте, что ваше собственное тело имеет всего три измерения. Нельзя в такое путешествие отправляться голышом, даже если вы одеты. Вам понадобится скин 3/4 для перехода в четырехмерное пространство, скин 4/5 для перехода из четырехмерного в пятимерное пространство и скин 5/6 для завершения перемещения в шестимерное пространство. В этом случае вы будете чувствовать себя приятно и комфортно в пространстве шести измерений. Правда, одновременное пребывание сразу в трех скинах может сопровождаться весьма своеобразными ощущениями.

Коль мы говорим о прямоугольном параллелепипеде, возможно, вам пригодятся некоторые другие сведения о нем.

Объем прямоугольного параллелепипеда прямая призма

На этой картинке прямоугольный параллелепипед обзывается прямой призмой. В математике главное не название, а смысл. Для математиков - с точностью до наоборот, главное название или определение. Под призмой подразумевается два параллельных основания в виде многоугольника и высота, под параллелепипедом - три линейных размера. Для трехмерной фигуры не имеет принципиального значения, каким образом получается её объем, главное - что он есть.

Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания на высоту. А вот в этом случае крутить параллелепипед (он же прямая прямоугольная призма), категорически не рекомендуется. Для разных оснований будет разное значение площади боковой поверхности. Возможны три размера оснований и три значения площади боковой поверхности.

Полная площадь поверхности параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей его перпендикулярных граней, по которым определяются линейные размеры. У параллелепипеда таких граней три - основание, боковая, торцевая.

Длина диагонали параллелепипеда определяется по основному тригонометрическому тождеству для многомерных пространств (или теореме Пифагора). Квадрат диагонали равен сумме квадратов линейных размеров параллелепипеда.

Наконец-то мы добрались до нашей задачи про нахождение объема. Нужно найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех граней у него равны 12, 15 и 20 сантиметров квадратных.

Объем прямоугольного параллелепипеда задача

Поскольку все площади граней разные, значит по ним можно определить линейные размеры. Пойдем традиционным путем. Составляем уравнения площадей этих граней. Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решаем эту систему, находим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, затем вычисляем его объем.

Объем прямоугольного параллелепипеда решение 1

Как следует из решения, точно такой прямоугольный параллелепипед мы рассматривали на картинках выше.

Но лично мне нравится другое, более простое и изящное, решение. Если мы возведем объем в квадрат и извлечем из него квадратный корень - объем останется прежним. Распишем объем в виде произведения линейных размеров. Используем коммутативность умножения и перегруппируем сомножители. Видите, под квадратным корнем оказывается произведение данных нам по условию площадей. Если мы перемножим площади, мы получим сантиметры в шестой степени - то шестимерное пространство, для прогулки по которому нам необходимо аж три скина. Если мы из сантиметров в шестой степени извлечем квадратный корень, мы получим нужный нам объем прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда решение 2

Этот фокус можно использовать при определении объемов фигур с любым количеством измерений. Объем многомерной геометрической фигуры можно определять по составляющим её элементам с меньшим количеством измерений. Главное, необходимо следить, чтобы линейные размеры получались в одинаковой степени. Например, четырехмерный объем гиперкуба можно определить как произведение четырех его линейных размеров abcd, произведение двух двумерных площадей (ab)(cd), корень кубический из произведения четырех трехмерных объемов (abc)(bcd)(abd)(cda). Для объемов с большим количеством измерений принцип вычисления объема остается таким же.

Картинки нагло взяты из Интернета, да простит меня Математика.

Теорема Пифагора

Здесь мы не будем рассматривать доказательство теоремы Пифагора. Доказательств много и вы их без труда найдете. Сегодня мы рассмотрим преобразование теоремы Пифагора из тригонометрического вида в другие виды с применением различных единиц измерения. Такие исследования математических свойств разных единиц измерения должны быть неотъемлемой частью математики. К сожалению, никто нас этому не учат. Но если вы хотите понимать математику, вы должны это знать.

Прежде всего, отметим те существенные моменты, которые влияют на применение теоремы Пифагора к окружающей действительности:

1. Две единицы измерения должны быть перпендикулярны.
2. Перпендикулярные единицы измерения должны быть одинаковыми (P.S. 26.03.23г. Не обязательно, единицы измерения могут быть разные).

Если две перпендикулярные единицы измерения будут разными, мы не сможем выполнить их сложение (P.S. 26.03.23г. Сможем. Главное, чтобы единицы измерения слагаемых были одинаковыми). Таковы правила сложения, которым нас учат в самом раннем возрасте и которые потом нас учат напрочь забывать. По умолчанию принято считать, что если между числами мы поставили знак плюс или минус, то эти числа имеют одинаковые единицы измерения. Весь окружающий мир не превращается в бесформенную серую массу потому, что даже одно число может иметь бесконечное множество единиц измерения. Именно единицы измерения удерживают разные величины от сложения в одно целое.

Тригонометрическая форма теоремы Пифагора, которую мы называем основным тригонометрическим тождеством, является формой записи теоремы Пифагора без единиц измерения. Это один из основных математических законов, который при введении разных единиц измерения превращается в разные физические законы.

Произведем преобразования основного тригонометрического тождества так, что бы мы могли потом подставлять любые единицы измерения и получать результат. Для этого введем нейтральные элементы в эту формулу.

Теорема Пифагора

Почему единица возведена в квадрат? Потому, что в математике так писать не принято, но это объясняет смысл того, что будет происходить дальше. Теперь мы приравниваем нашу единицу к длине гипотенузы прямоугольного треугольника и получаем теорему Пифагора в классическом виде - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Теорема Пифагора для треугольника

Заметьте, не имеет значения, что мы будем называть синусом, а что косинусом. Не имеет значения, какой из двух острых углов мы возьмем - теорема Пифагора работает для двух этих углов одинаково. Главным является то, что сумма квадратов отношений гипотенузы к катетам равна квадрату самой гипотенузы, всё остальное - это проявления относительности тригонометрических функций. Теорему Пифагора можно рассматривать как математическое доказательство переместительного закона (математики называют это коммутативностью) сложения - от перестановки слагаемых сумма не меняется. Коммутативность - ещё одно проявление относительности в математике.

Теперь посмотрим, что получится, если вместо единицы мы подставим радиус окружности.

Теорема Пифагора для окружности

Получается, что сумма квадратов координат точек окружности равна квадрату радиуса. Но, не нужно при этом забывать главное условие - центр окружности должен совпадать с центром декартовой системы координат. Если центр окружности и центр системы координат не совпадают, тогда это утверждение рассыпается, как карточный домик. Окружность и декартовы координаты - это две абсолютно независимые системы, которые могут располагаться, как угодно. Кто сказал, что центр окружности всегда должен совпадать с центром системы координат? Математики? Они пошутили.

Нужно обратить внимание ещё на один момент - знаки чисел. Теорема Пифагора их полностью игнорирует даже при наложении на окружность декартовой системы координат в классическом виде - с положительными и отрицательными направлениями. Возведение любого числа в квадрат полностью лишает это число знаковых признаков. Это свидетельствует о том, что в математике главным является само число, а не тот знак, который мы этому числу приписываем.

Дальше мы подставим вместо единицы длину отрезка.

Теорема Пифагора для отрезка

У нас получилось, что сумма квадратов проекций отрезка на оси прямоугольной системы координат равна квадрату длины отрезка. Я не зря подчеркнул, что система координат должна быть прямоугольной. Для косоугольной (аффинной) системы координат теорема Пифагора будет выглядеть по-другому. Взаимное положение отрезка и системы координат значения не имеет. Так же не имеет никакого значения, есть в системе координат отрицательные направления или нет. Проективные свойства пространства проявляются уже в момент возникновения самого пространства, до того, как в этом пространстве появляемся мы со своими знаками чисел. Кстати, в момент появления пространства возникает и симметрия, которая заставляет нас применять отрицательные числа, что бы мы могли различать симметричные явления. Есть ли у инопланетян отрицательные числа? Понятия не имею. Но знаю точно, что у них обязательно есть что-то, что помогает им адекватно отображать свое отношение к симметрии. Поэтому, когда встретитесь с ними, не сильно удивляйтесь, что они не понимают ваших рассказов о плюсах и минусах.

Теперь подведем маленький итог. Всё то, что мы с вами рассмотрели - гипотенуза треугольника, радиус окружности, отрезок - это различные названия одной и той же единицы измерения длины. Все перечисленные геометрические объекты измеряются в сантиметрах, метрах, километрах и так далее. Просто в разных ситуациях нас научили называть длину по-разному. В повседневной жизни это удобно, в математических операциях эти различия в названиях не имеют никакого значения, вы всегда имеете дело с длиной. Все рассмотренные нами разновидности теоремы Пифагора - это различные варианты записи одного и того же математического закона для двух перпендикулярных измерений длины.

В качестве следующей единицы измерения возьмем единицу измерения времени. Для времени теорема Пифагора будет выглядеть так:

Теорема Пифагора и время

Сумма квадратов проекций времени на перпендикулярные направления равна квадрату самого времени. Естественно, здесь возникает целый ряд вопросов.

Существуют ли у времени перпендикулярные направления? Мы этого не знаем, но это совсем не означает, что у времени не может быть перпендикулярных направлений. Точно нам смогут ответить только физики. Думаю, на ближайшее тысячелетие им работы хватит.

Сколько измерений имеет время? Некоторые уверены, что одно. Некоторые высказывают предположение, что больше. Лично я рассуждаю так. У длины имеется минимум три пространственных измерения, в которых мы живем - длина, ширина, высота. У времени должно быть такое же количество измерений, как и у длины, иначе нарушаются основные математические принципы - симметрии и относительности.

Можно ли применить теорему Пифагора для времени? Да, можно. Совсем скоро я вам покажу то место, где разложение времени по теореме Пифагора будет смотреться очень естественно и логично.

Дальше рассмотрим другие единицы измерения. Для примера возьмем единицы измерения температуры и единицы измерения денег. Это точно такие же математические объекты, как и длина, но приметить теорему Пифагора к ним не возможно - эти единицы измерения не имеют точно таких же перпендикулярных единиц измерения. Посмотрите, что получается для температуры.

Теорема Пифагора и температура

И для денег. В качестве примера единиц измерения денег возьмем доллар.

Теорема Пифагора и доллар

Точно такая же картина вырисовывается, если мы будем пробовать подставлять в теорему Пифагора все другие, известные нам, единицы измерения. К ним теорема Пифагора не применима из-за отсутствия перпендикуляра у каждой из них. Следовательно, все эти единицы измерения обладают несколько иными математическими свойствами, чем длина и время - к ним нельзя применить тригонометрические зависимости, в том числе и теорему Пифагора.

В завершение наших исследований рассмотрим обратный процесс - превращение теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника в основное тригонометрическое тождество. Для этого разделим все элементы математического выражения на квадрат длины гипотенузы и выполним преобразования.

Теорема Пифагора и тригонометрическое тождество

Мы снова вернулись к тригонометрической форме теоремы Пифагора, с которой мы начинали.

В заключение хочу признаться, что совсем недавно я встречался с инопланетянами. Так вот, в процессе общения они нарисовали мне довольно странный рисунок. Вот он.

Теорема Пифагора для инопланетян

Что инопланетяне хотели этим сказать? Что они умеют рисовать палочки и кружочки? Как-то примитивно для них. Наверное, что-то другое. Инопланетяне умнее меня, ведь это они прилетели ко мне в гости, а не я к ним. Может быть, так выглядит их планета в комплексом пространстве двенадцати переменных? Знаете, наша планета в трех реальных измерениях длины выглядит гораздо красивее.