Решение тригонометрического неравенства

Решение тригонометрического неравенства

Большой проблемой современной молодежи (ой, прям как путин с телевизора вещаю и, естественно, вру) является решение тригонометрического неравенства. Меня до сих пор пронизывает дрожь при виде этого кошмара. Но крик о помощи заставляет меня действовать.

Решение тригонометрического неравенства

Я наберусь храбрости и попытаюсь вступить в смертельную схватку с грозным противником. Выглядит он весьма внушительно - синус 2 икс больше единицы, деленной на корень из 2.

sin2x больше 1/√2

Аркаем выражение - нагло приписываем к обеим частям неравенства неприличное слово "арксинус". По логике, знак не должен изменяться. Арксинус синуса превращается в пшик и у нас остается 2х. Арксинус единицы, деленной на корень из двух превращается из гадкого утенка иррациональных чисел в прекрасного лебедя величиной в 45 градусов. Помогает нам в этом волшебном превращении фея по имени Тригонометрическая таблица.

sin2x больше 1/√2
arcsin(sin2x) больше arcsin(1/√2)
2x больше 45 или
2х больше пи/4

Вот это уже больше похоже на математику. Наши славные 2х теперь больше 45 градусов. А чтобы найти икс, нужно 45 градусов разделить на 2... Хм... Не красиво получается... 22,5 градуса выглядят не эстетично с точки зрения утонченного взгляда математика. Оборачиваемся злым демоном и превращаем прекрасного лебедя величиной в 45 градусов в страшного монстра размеров в пи/4. Если мы разделим этого монстра пополам, то его внешний вид нисколько не пострадает, изменится только циферка в знаменателе: пи/8. При виде такого чуда любой математик расплывется в блаженной улыбке.

2х больше пи/4
х больше пи/8

И так, наши шаманские пляски убедили нас в том, что икс обязан быть больше пи/8. Проведем научный анализ полученного результата. При увеличении икса (угол увеличивается) синус тоже увеличивается. При пи/2 он достигает максимума своей величины и при дальнейшем увеличении возраста, пардон, угла, начинает стареть и дряхлеть, умирая естественной смертью при достижении "пи" - становится равным нулю.

Поскольку наше выражение не может быть меньше указанной величины, в преклонном возрасте необходимо наш икс подпереть костылем в точке пи - пи/8 = 7пи/8 Костыль упираем в спину иксу. В итоге получаем такую картину

7пи/8 больше x больше пи/8

Любой математик при виде такой записи оттопырит губу. Вывернем нашу запись наизнанку

пи/8 меньше x меньше 7пи/8

Математики счастливо улыбаются.

А если мы добавим к своей кабалистической записи навороты в виде периода в 2пи, математики будут визжать от восторга (во всяком случае, меня когда-то так учили). В итоге получаем

пи/8 + 2пи*n меньше x меньше 7пи/8 + 2пи*n

А выглядит наша славная победа вот так.

Решение тригонометрического неравенства

Прямо как крейсер "мос-ква" на дне Черного моря. Большой красный крест на картинке - это не приговор ВСУ российскому флоту, это у меня такая буква икс получилась.

Что такое математика и физика

Автор Николай Хижняк

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа о математике и расширении Вселенной.

- Как я и обещал, сегодня мы займемся изучением тригонометрических функций, – начал было я, на что получил незамедлительный вопрос от блондинок.

- А оно нам надо? – презрительно спросила одна из них.

- Хм… Действительно, в том виде, в каком нам математики преподносят тригонометрические функции, они вам уже не нужны. Школу вы благополучно окончили. За высшее образование вы уже заплатили и дипломы получили. В магазине у вас никто тригонометрию спрашивать не будет…

- Вот именно, – подтвердила одна из блондинок. Судя по всему, блондинки были решительно настроены против тригонометрии.

- Девочки, представьте, что вы очутились в совершенно незнакомом городе. Вокруг масса народу, но вы никого не знаете и не понимаете, что вам делать дальше. Неприятная ситуация?

- Да, приятного мало, – подтвердили блондинки.

- А дальше вы в толпе встречаете одного знакомого, второго, потом их появляется всё больше… Они ведут вас по городу, рассказывают о его интересных местах, показывают, как в этом городе не заблудиться. Вы уже понимаете, где вы находитесь и что можно делать дальше. Как в чужом городе вы можете узнать своих знакомых?

- Странный вопрос. Если я их знаю, то уж точно смогу узнать, – ответила одна из блондинок.

- Если вы хорошо знакомы с человеком, то вы его узнаете в любой одежде и в любом месте. Правильно?

- Ну, допустим, – осторожно вставила блондинка.

- А теперь смотрите. Вы не знаете место, где можете встретить своего знакомого. Вы не знаете, в какую одежду он будет одет. На вы безошибочно его узнаете. Вы запомнили лицо, голос, фигуру своего знакомого, его манеру поведения. То, что прячется под одеждой и не зависит от места пребывания вашего знакомого.

- И к чему всё это? – возмутились блондинки.

- Дело в том, что математика – это физика без прикрас, а физика – это математика во всей своей красе и разнообразии. Одни и те же математические законы могут иметь самый разный вид в окружающем нас мире. В то же время, за разными физическими законами может прятаться один и тот же математический принцип. Безошибочно распознавая математические основы физических законов, вы будете свободно ориентироваться в окружающем мире и сможете предсказывать самые разные физические явления. Так вот, одним из основных математических законов являются тригонометрические зависимости.

- Всё-таки тригонометрия, – обреченно вздохнула одна из блондинок.

- Да, без неё никак. Я могу начать рассказывать вам о математике с самого начала, но тогда вы окажетесь в совершенно незнакомом месте. Если мы начнем с тригонометрии, то вам будет проще сквозь физику разглядывать математику. С тригонометрией вы немножко уже знакомы со школы.

- Нам снова нужно будет учить эти дурацкие правила, которые придумали математики, а вы их специально для нас переписали? – возмутились блондинки.

- Нет, зубрить вам совсем не обязательно. Достаточно понять основные принципы. Начнем мы с того, чего на самом деле нет у тригонометрических функций, но математики нас уверяют, что оно есть.

Тринадцать градусов ниже нуля как записать в цифрах?

В нашей жизни встречается много странных выражений, которые ставят нас в тупик при попытке перевести их на язык математики. Это касается не только блондинок, но многих других пользователей великого и могучего русского языка. Примером такого выражения является фраза "ниже нуля". Тринадцать градусов ниже нуля как записать в цифрах? Очень просто. Пишем цифры 13 и ставим перед ними знак минус. Будет совсем здорово, если после цифр вы нарисуете значок градусов и добавите букву "С", что означает "градусы Цельсия". Как на картинке.

Тринадцать градусов ниже нуля

Цельсий - это дядька такой, который придумал не сам термометр, которым мы измеряем температуру, а специальную шкалу к этому термометру. Есть ещё шкала Кельвина, которой любят пользоваться умные физики. Есть шкала Фаренгейта, которую обожают американцы. При чем, не только афроамериканцы, но евроамериканцы очень быстро отрекаются от шкалы Цельсия. Что удивительно, тетеньки в работах над термометрами участия не принимали или об их участии быстро забыли.

Так всё же, почему именно ниже нуля, а не вперед или в сторону? Первые термометры были устроены так, что при повышении температуры жидкость в столбике поднималась. При понижении температуры она опускалась. Командуют этим парадом силы теплового расширения и сила тяжести. Ну, а мы с детства привыкли к тому, что градусник висит на стене вертикально и от своих привычек отказываемся с трудом. В электронных градусниках циферки не скачут вверх от радости при наступлении весны и не падают в обморок осенью. Они просто меняются.

Какие ещё выражения мы используем вместо знака "минус" при разговоре об отрицательных температурах? "Тринадцать градусов мороза", "отрицательная температура", "тринадцать градусов холода", "низкая температура" и другие. Для температуры со знаком "плюс" используются похожие выражения: "выше нуля", "градусов тепла", "положительная температура", "высокая температура".

Как упростить выражение

Комментарии к этой странице переполнены и у меня нет возможности отвечать. Свои вопросы и пожелания оставляйте здесь.

Вот очередная просьба о спасении утопающего в тригонометрии. Есть набор тригонометрических символов, а что с ними делать - не понятно. Как упростить выражение? Рецепт очень простой - нужно использовать те формулы, которые вы учите сейчас. Или те формулы, которые вы учили когда-то, но напрочь забыли. Вот описание выражений.

Как упростить выражение

Теперь перепишем выражения, которые нужно упростить, в более удобоваримом виде.

Как упростить выражение

Не знаю, как вас, а меня красота математики иногда просто завораживает. Но не в этом случае - не люблю задачи, составленные людьми. Мы с блондинками недавно решали пример на упрощение: под корнем квадратным четыре выражения в скобках перемножаются между собой, каждая скобка содержит сумму из трех тригонометрических функций. Я даже сам сперва испугался такого монстра. Любопытство и вера в мудрость математики победили. Я начал перемножать скобки. Огромное выражение таяло, как снег весной, в результате сокращений. В итоге мы получи произведение двух тригонометрических функций. Даже блондинкам это понравилось: "Вау! Супер!" - так звучал их вердикт.

Процесс упрощения математических выражений очень похож на то, чему учат курсы кройки и шитья. Вырезаем один фрагмент и заменяем его другим. При этом математическими формулами мы пользуемся, как выкройками. Все формулы разрезаются по знаку равенства. Вместо того куска формулы, который присутствует в математическом выражении, мы вставляем другой кусок, который находится с противоположной стороны знака равенства.

Посмотрим на наших примерах, как это делается. Прежде всего, нужно определить, какие именно формулы необходимо использовать для упрощения выражений. В процессе обучения чаще всего используются те формулы, которые вы учили совсем недавно. В повседневной жизни для этих целей используйте справочники. Сейчас мы используем основные тригонометрические тождества.

Как упростить выражение

Вместо квадратов синуса и косинуса ставим единицу в наше выражение. У нас получилось новое тригонометрическое тождество, только угол у нас обозначен по-другому - бетта вместо альфа. В результате наше выражение превращается в единицу, деленную на косинус угла бетта в квадрате. Вместо этого можно записать секанс бетта в квадрате (по определению тригонометрических функций).

Для упрощения второго выражения необходимо немного преобразовать основные тригонометрические тождества. Используем обычные арифметические правила переноса слагаемых и сомножителей из одной части равенства в другую. Зеленые стрелочки справа показывают, из какого тождества получена нужная нам формула. Заменяем котангенс в знаменателе на тангенс в числителе. Мы избавляемся от дроби и получаем тангенс в квадрате. По теореме Пифагора в тригонометрическом виде заменяем единицу минус косинус альфа в квадрате на квадрат синуса альфа. Из определения тригонометрических функций заменяем тангенс на отношение синуса к косинусу. Сокращаем нашу дробь и получаем синус альфа в квадрате.

Как бы математики не гордились своей высшей математикой, но вся она построена на банальной кройке и шитье. Решение дифференциалов, интегралов и прочей ерунды сводится к поиску подходящих формул и преобразовании выражений до удобоваримого вида, которое принято называть "решение". Всё отличие математики высшей от математики обычной заключается в количестве формул, которые используются при решении. В высшей математике их ну очень много.

Если вы научитесь в уме жонглировать основными формулами, если вы научитесь в предлагаемых выражениях видеть куски, содержащие основные формулы, тогда с математикой у вас не будет никаких проблем. Вы будете решать всё, что от вас потребуют. Умение распознавать хорошо замаскированную суть и интуитивное видение решения - это то, что вы получите в результате тренировок по упрощению математических выражений.

Математика и расширение Вселенной

ффф

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа о телепортации в математике.

- Давайте запишем наше представление о расширении Вселенной в математическом виде. Числа увеличиваются, а единица измерения длины остается неизменной. Теперь посмотрим, как записывается сжатие Вселенной. На этот раз число остается неизменным, а уменьшается единица измерения. А как будет выглядеть неизменная Вселенная? Либо ничего не меняется, либо это можно выразить одновременным увеличением чисел и уменьшением единиц измерения. Наше утверждение о расширении Вселенной основано на вере в то, что единица измерения длины остается неизменной. Наложим нашу веру в неизменность единицы измерения на математическое описание стационарной Вселенной – ми получим расширение.

Математика и расширение Вселенной

- Это что же получается, нашу Вселенную действительно создал Бог? – удивленно спросила одна из блондинок.

- Нет. Это получается, что наша вера в расширение Вселенной ничем не отличается от веры в Бога. Хитрые ученые в этом случае сказали бы, что наша Вселенная одновременно и расширяется, и остается неизменной. Но это тоже заблуждение. Правда заключается в том, что когда мы говорим о Вселенной, всякие рассуждения о её размерах теряют смысл.

- Как это? – искренне удивилась одна из блондинок.

- Вот смотрите. Покажите мне вращение часовой стрелки.

Одна из блондинок вытянула вперед руку и описала круг по часовой стрелке.

- А теперь покажи это своей подружке.

Блондинка повернулась к своей подружке и снова рукой описала круг по часовой стрелке.

Математика и расширение Вселенной

Лицо второй блондинки вытянулось от удивления:

- Она… Она вращает руку не в ту сторону…

- Вот видите. Одна из вас наблюдает за вращением часовой стрелки как обычно, вторая – из положения кукушки в часах. Умные ученые будут вас уверять, что стрелка вращается одновременно по часовой стрелке и против. Это рассуждения пещерных людей. Вращение не имеет направления. Только когда мы переходим к относительному описанию вращения, тогда мы можем говорить о его направлении. Колесо вращается и всё. Вращается оно по часовой стрелке или против часовой стрелки зависит от того, с какой стороны мы будем на него смотреть. Два колеса могут вращаться либо в одном направлении, либо в разных направлениях.

- Точно, - сказала одна из блондинок.

- С движением нам удалось разобраться гораздо лучше. Мы хорошо различаем абсолютное движение и относительное. «Я иду» - это означает просто движение. «Я иду вперед», «я иду назад» - это уже относительное движение. Мы же никогда не говорим, что мы идем одновременно вперед и назад. Та же ситуация с вращением, со Вселенной. Да, это трудно укладывается в голове. Но только в первое время. Потом мы будем сами удивляться, как можно было не понимать таких простых вещей. Давайте будем заканчивать нашу встречу. Если я вас не сильно напугал, приходите ещё. Мы займемся тригонометрией.

- Чем?! – в ужасе воскликнули блондинки.

- С детства ненавижу тригонометрию, - добавила одна из них.

- Не бойтесь, там всё тоже довольно просто, совсем не так, как нам говорят математики.