Задача про трубы

Маленькое предисловие к истории задач про трубы и бассейны. Как показывают археологические исследования, у пещерных людей в каменном веке не было ни труб, ни бассейнов. Иначе на многих наскальных рисунках мы бы видели задачу про трубы и бассейн. Появился этот атрибут роскоши на заре развития древних цивилизаций. Фонтаны, бассейны, купальни... Во все эти резервуары вода должна была втекать. А чтобы не произошел очередной всемирный потоп, из этих же резервуаров вода должна была куда-то вытекать. Где-то в то время родилась задача про трубы и бассейны, которую до наших дней так любят математики. Если вы не пытались решать задачу про трубы и резервуары, значит вы вообще ни где и ни чему не учились.

И вот, с просторов океана науки прозвучал отчаянный крик о помощи, прямо сигнал СОС:

Помогите выбраться из труб бедной школьнице (только помедленнее и поподробнее): Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 396 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба. Спасите, тону!

Да уж, допустить в наше время ещё одно крушение Титаника - это позор джунглям. Я внимательно прочел условие задачи. Если вам говорят о ком-то, что он в трех соснах заблудился - не смейтесь. Вы посмотрите, как математики сумели запутать две трубы! Вот кого нужно в разведку посылать! Даже если математики будут рассказывать врагу всё, что они знают, враги всё равно ничего не поймут.

И так... Начинаем с теории относительности Эйнштейна. Если первая труба пропускает меньше воды, значит вторая труба пропускает больше на те же 4 литра. Попробуем составить уравнение. Если из первой трубы вытекает икс литров за минуту, то со второй трубы вытекает икс плюс четыре литра в минуту. Это у нас скорость вытекания воды из трубы, которая измеряется в литрах, деленных на минуту.

Проверяем нашу логику. Чем дольше мы стоим со шлангом, тем больше лужа получится. Всё правильно. Записываем формулу:

скорость * время = объем

У скорости время в знаменателе, у времени просто время без прибамбасов. Оно при умножении попадет в числитель и сократится со знаменателем, в числителе остаются только литры нашей лужи. Правильную формулу мы составили!

(л/мин) * мин = л

Отсюда время наполнения лужи заданного объема (в задаче её назвали "бассейн") будет равно объему, деленному на скорость истекания жидкости из дырки в трубе:)

время = объем / скорость

И так, время заполнения бассейна первой трубой по нашей формуле равно 396/х минут, а то же действие из второй трубы займет 396/(х+4) минут. Разность по времени между первой и второй трубой составляет 4 минуты. Теперь можем записать уравнение:

396/х - 396/(х+4) = 4

Приводим к общему знаменателю, сокращаем на 4 и получаем квадратное уравнение:

х^2 + 4х - 396 = 0

Решить квадратное уравнение можно здесь. У нас получилось два корня: 18 и -22. Отрицательной скорость быть не может, поскольку отрицательным не может быть ни объем воды, ни время. Значит, ответ в этой задаче будет звучать так: первая труба пропускает 18 литров в минуту.

Прямоугольный параллелепипед и плоскость

Вот такая вот задача по геометрии про прямоугольный параллелепипед и плоскость:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AA1 = 6,  AB = 6, AD = 3 корня из 13. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK, где точки М и К делят ребра BB1 и CC1 в отношении 1:2, считая от прямой ВС.

Для её решения этой задачи нужно просто представить то, что нам дано по условию и понять, что нужно найти. Рекомендую условие разбивать на части и каждую часть рассматривать отдельно. Сейчас я покажу, как это делается.

Читаем с самого начала: "В прямоугольном параллелепипеде..." - всё, достаточно. И так, у нас есть прямоугольный параллелепипед - трехмерная геометрическая фигура, которую лучше всего нарисовать на листочке бумаги. Вот как выглядит прямоугольный параллелепипед на рисунке. В жизни это обычная коробка для обуви.

Прямоугольный параллелепипед

Дальше написано "...ABCDA1B1C1D1..." - это так обозначаются вершины прямоугольного параллелепипеда. Если показывать условие задачи на коробке из-под обуви, то можно обойтись и без обозначений. Но ни один фокусник не вылезет к вам из задачника с коробкой под мышкой. Вот и приходится вводить обозначения вершин, чтоб можно было понятно написать о том, что у нас есть и что нужно найти. Донышко коробки, оно же основание параллелепипеда, обозначаются буквами без цифр, крышка обозначается буквами с цифрами. Одинаковые буквы располагаем друг над другом.

Прямоугольный параллелепипед с обозначениями

"...известны ребра AA1 = 6, AB = 6, AD = 3 корня из 13." Вот теперь мы можем прямо на рисунке подписать длину этих ребер. Смотрим на буквы, я выделил эти три ребра синим цветом.

Прямоугольный параллелепипед с размерами

Фактически нам даны размеры параллелепипеда. И хотя на рисунке длина ребер не совсем соответствует условию, ничего страшного. На алгебру решения это нисколько не влияет. Мы не используем рисунок для графического решения задачи. Он нам нужен только для того, чтобы понять ход решения. Одинаковые задачи для параллелепипедов самых разных размеров будут иметь одинаковый ход решения. В конце только числа разные будут получаться.

"Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK..." Ничего не понятно. Откуда взялись точки М и К? После этих слов в условии задачи ещё что-то написано. По этому пропускаем этот фрагмент и читаем дальше.

"...где точки М и К делят ребра BB1 и CC1 в отношении 1:2..." Ага, вот и точки появились. Ребра на рисунке мы можем найти, но как их разделить "... в отношении 1:2..."? Всё очень просто. Вспоминаем детский сад. "Разделите отрезок на три равные части и возьмите одну часть" - это очень простая задача, с которой справится даже ребенок. А мы уже взрослые. Как узнать, на сколько частей нужно делить? Выражение "Разделить в отношении 1:2" равнозначно выражению "Разделить на 3 части". Ведь 1+2=3. Длина всех вертикальных ребер равна 6 см. Одна часть будет равна 6/3=2 см. Нам нужно взять одну часть. Но какую? Нижнюю, верхнюю или среднюю? Читаем дальше условие задачи: "...считая от прямой ВС". Почему ребро ВС вдруг превратилось в прямую? Математики, как заправские карточные шулеры, очень любят подменять одни понятия другими, превращая простую задачу в настоящий ребус. Вот из-за таких ребусов многие ненавидят математику. Прямая ВС совпадает с ребром ВС и находится они на нижнем основании прямоугольного параллелепипеда, на донышке коробки. По этому мы берем нижнюю треть вертикальных граней. Обозначаем нужные точки на рисунке.

Прямоугольный параллелепипед с точками

Всё условие задачи мы разобрали до конца и теперь самое время вернуться к пропущенному фрагменту: "Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AMK...". Через точки М и К можно провести целое море плоскостей. Все они будут вращаться на отрезке МК, как шашлык на шампуре.

Прямоугольный параллелепипед и плоскости

Нас же интересует только та плоскость, которая проходит через точку А. Такая плоскость всего одна. Поскольку отрезок МК параллелен ребру ВС, а тот в свою очередь параллелен ребру АD, значит наша плоскость проходит через это ребро. В сечении у нас получается прямоугольник АDМК, расположенный под углом к основанию.

Прямоугольный параллелепипед и плоскость

Нам нужно найти площадь этого прямоугольника (на рисунке он закрашен голубеньким). Одна сторона у нас есть, нужно найти длину другой стороны. Если посмотреть на зелененький треугольник, то вторая сторона прямоугольника окажется гипотенузой прямоугольного треугольника АВМ. По теореме дедушки Пифагора мы без труда найдем длину этой гипотенузы. Как видите, детская задачка на два действия.


Вот только меня терзают смутные сомнения, что кто-то где-то запутался. Если для точек М и К брать не одну часть от ребер ВВ1 и СС1, а две части, тогда длина гипотенузы получается равной двум корням из тринадцати. При вычислении площади сечения число тринадцать вылезает из-под корня и площадь получается равной 78 сантиметров в квадрате. Явно кто-то ошибся. Либо математики при составлении своего ребуса, либо я не правильно расшифровал изящную словесность этого ребуса. Вот видите к чему могут приводить бездарные попытки казаться умнее, чем ты есть на самом деле. Это относится как ко мне, так и к математикам. Кстати, если бы в условии было указано соотношение 2:1, то и я бы правильно решил эту задачу и получил ответ без квадратного корня.

Для секущей плоскости А1МК решение получается очень даже красивое. Та же теорема Пифагора для зеленого треугольничка, та же площадь прямоугольника.

Решение для другой секущей плоскости

Как-то так.

Демидович решебник на китайском

Старая студенческая шутка. Во время сессии один нерадивый студент, который даже не знает, какие экзамены нужно сдавать, спрашивает у хорошиста:
- Что завтра сдаем?
- Китайский - решил пошутить тот.
- Китайский?! Ладно, будем сдавать китайский...

На одном математическом форуме с удивлением обнаружил тему «Демидович решебник на китайском». В шести томах! (Это как же нужно было ненавидеть студентов, чтобы аж шестьсот страниц математических пыток выдумать! Если вам нужны ссылки для скачивания - Гугл в помощь.) Оказывается, китайцы передрали знаменитый задачник Демидовича и добрые души отпечатали к нему решебник. Очень хороший решебник, даже номера примеров совпадают (как пишут восторженные пользователи). И не беда, что на китайском. Ведь для большинства студентов, что китайские иероглифы, что кабалистические знаки матанистов – одинаково.

Решебник по Демидовичу на китайском, ссылки для скачивания

Обложка решебника по Демидовичу

Пример решения задачи по Демидовичу

Я не против Демидовича. Как составитель учебника по математическому анализу (в простонародье – матан), он не стал тупо передирать задачки из засаленных тетрадок церковно-приходских учителей или из учебников своих коллег. Он сам составил задачник для студентов и коллеги по достоинству оценили его труд. Задачник Демидовича стал популярным среди преподавателей.

Матанисты, как достойные потомки инквизиторов, стали повсеместно применять учебник Демидовича в качестве орудия пыток студентов. Орудие оказалось очень эффективным. Прогрессивный опыт пыток быстро распространялся в средние века. Современные инквизиторы так же охотно перенимают чужой опыт. Китайские матанисты долго голову не ломали. Они сделали то, что делает большинство составителей учебников – просто передрали задачник Демидовича. Нужно отдать должное китайским издателям, они сохранили имя автора и даже продублировали его русскими буквами.

Для помощи бедным студентам в России было выпущено специальное пособие под красноречивым слоганом «АнтиДемидович». Но… Судя по всему, главным недостатком этого творения проповедников матана было то, что они, как и Демидович, пытались обратить язычников-студентов в матанистов. А большинству студентов нужно было просто тупо передрать решение из решебника. Сдать матан и забыть навсегда этот кошмар – вот заветная мечта большинства студентов. А в Антидемидовиче, говорят, номера примеров не совпадают и найти нужное решение очень сложно.

Если вас интересует вопрос, китайский антидемидович для какого учебника составлен, то ответ довольно прост - для учебника Демидовича. Как антиполицай создан для борьбы с полицаями, так антидемидович создан для борьбы с Демидовичем. Но с Демидовичем уже поздно бороться. Нужно было с самого детства его в школу не пускать, тогда бы он и свой учебник не написал.

То, что очень многим студентам нужны не знания, а дипломы, ни для кого не секрет. В интернете очень много разных сервисов, где предлагаются решения задач и даже продаются готовые дипломы и диссертации. Даже государственные служащие разных стран не брезгуют плагиатом диссертаций или приписыванием себе не существующего образования. Таковы бюрократические правила игры во власть, в которой все средства хороши. Реальность такова, что даже на должность продавца продуктового магазина проводится конкурс дипломов разных ВУЗов (кстати, в зарубежном захолустье победил московский диплом). Скоро дворниками без вузовкого диплома принимать не будут. А как же вы без знания математического анализа будете рисовать графики функций метлой на асфальте?!

Теперь вопрос, кому нужно такое «высшее» образование? Тупым бюрократическим функциям. Диплом сегодня уже не является мерилом знаний. Его воспринимают скорее как свидетельство того, что обладатель сей бумажки способен тупо выполнять распоряжения руководства. А тупые исполнители очень даже нужны в любой бюрократической системе. Вот и получается, что бюрократическая система современного образования готовит тупые бюрократические функции для всех бюрократических систем.

Но вернемся к Демидовичу. Здесь возникает ещё один интересный вопрос: «Насколько сборник задач Демидовича помог ускорить экономическое развитие Китая?». Понятно, что это вопрос политический и изначально предполагает положительный ответ. Математически правильно вопрос будет звучать так: «Насколько сборник задач Демидовича помог ускорить или замедлить экономическое развитие Китая?». Для получения точного ответа на данный вопрос нужно иметь два абсолютно одинаковых Китая. В одном Китае нужно повсеместно применять Демидовича, а в другом Китае Демидовича не применять. Потом сравнить результаты. Поскольку двух Китаев быть не может, вопрос превращается в риторический.

Я сам окончил институт. И там меня учили математическому анализу. Кроме нескольких слов, я сейчас ничего не помню. Таково свойство нашей памяти, что она быстро избавляется от всякого мусора. Если бы проповедники матана на уровне детского садика объяснили мне, что такое математический анализ, для чего он служит, какие задачи с его помощью можно решать, где и кем он применяется, то в моей памяти могло что-то и остаться.

К чему я всё это веду? Пока проповедники матана будут обучать нас разговаривать на своем профессиональном сленге и решать разные задачи из Демидовича, все вокруг уже будут говорить на китайском. Я не расист. Но я очень не хочу, чтобы нашей цивилизацией правили тупые вожаки звериных стай хунвейбинов. Хотя, кровожадные своры мародеров, называвшие себя коммунистами или фашистами, взращенные цивилизованной Европой, ни чем не лучше. А ведь все эти убийцы где-то когда-то чему-то учились. Судя по всему, не так и не тому их учили. Или в том весь смысл обучения и заключается, чтобы превратить обучаемых в послушные инструменты правителей?

P.S. 02.08.23г. Путинская россия сумела повторить "подвиг" гитлеровской Германии. В 21-м веке эти кровожадные твари розвязали войну в самом центре Европы, а преступления российской армии не идут ни в какое сравнение с преступлениями гитлеровских солдат. Надеюсь, что для путина и его отморозков введут смертную казнь и все они закончат свое существование на висилице.

Как решить систему уравнений

Ничего нового вы здесь не найдете. Я просто помещу сюда некоторые комментарии к странице о решении системы уравнений. Уж слишком много их там собралось, нужно половину удалить. Но решения систем уравнений жалко выбрасывать навсегда. На следующий год их снова будут задавать, только уже другим ученикам. И они снова будут задавать вопрос "Как решить систему уравнений?". И так, поехали.

Скажите пожалуйста, как решить систему такую систему уравнений

6х - 10у = 11
5у + 7х = 19

Лично я не воспринимаю уравнения, записанные сикось-накось. У меня сразу начинает мозги выворачивать. Я люблю, когда иксы под иксами, игреки под игреками. Мое мнение - математики нас должны учить делать правильно. Как делать не правильно мы и без их помощи сделаем.

По этому, переписываем второе уравнение по человечески - иксом вперед. Теперь умножим второе уравнение на два. В результате у нас получится такая система уравнений

6х - 10у = 11
5у + 7х = 19 (*2)

6х - 10у = 11
14х + 10у = 38

После этого складываем два уравнения и получаем одно уравнение с одним неизвестным

(14х + 6х) + (-10у + 10у) = 11 + 38
20х = 49
х = 2,45

Подставляем найденное значение икс в первое уравнение и находим игрек.

6*2,45 - 10у = 11
14,7 - 10у = 11
10у = 14,7 - 11
10у = 3,7
у = 0,37

Выполним проверку решения и убедимся, что система решена правильно

6*2,45 - 10*0,37 = 14,7 - 3,7 = 11
5*0,37 + 7*2,45 = 1,85 + 17,15 = 19

А как на счёт такой системы уравнений? Нам сказали решить методом сложения.

6x - y = 4
3x + 5y = 13

А легко! Умножаем второе уравнение на минус два и выполняем сложение двух уравнений. Вычесть положительное и прибавить отрицательное - суть одно и тоже действие, только мы его называем по-разному, почему-то.

6x - y = 4
3x + 5y = 13 (*(-2))

6x - y = 4
-6x - 10y = -26

Складываем с первым и получаем

(6х - 6х) +(-у - 10у) = 4 - 26
-11у = -22
11у = 22
у = 2

Из первого уравнения находим икс:

6x - 2 = 4
6х = 4 + 2
6х = 6
х = 1

Помогите, пожалуйста, решить систему:

у - х - 4 = 0
у + 2х - 1 = 0

Эти уравнения имеют несколько другой вид, чем предыдущие, но ничего. Принципы решения системы уравнений не зависят от внешнего вида составляющих её уравнений. Первое уравнение умножаем на минус единицу.

у - х - 4 = 0 (*(-1))
у + 2х - 1 = 0

-у + х + 4 = 0
у + 2х - 1 = 0

Складываем оба уравнения в кучку

(у - у)+(2х + х)+(4 - 1)= 0
0 + 3х + 3 = 0
3х = -3
х = -1

Из первого уравнения находим игрек

-у + х + 4 = 0
у = х + 4
у = -1 + 4
у = 3

Проверяем решение системы уравнений

3 - (-1) - 4 = 3 + 1 - 4 = 0
3 + 2*(-1) - 1 = 3 -2 - 1 = 0

Решение правильное.

Как понять, на какое число надо умножать уравнение?

Нужно смотреть на числа возле иксов и на числа возле игреков. Нам нужно получить ноль в результате сложения одной из пар этих чисел. Ноль при сложении получается, если числа равны, но имеют противоположные знаки. Одну задачку решаете для чисел возле иксов, вторую - для чисел возле игреков. Какое решение проще (целое число), то и выбирайте. Обычно всё это прокручивается в голове. В принципе, любую пару уравнений из системы можно привести к виду, удобному для применения метода сложения уравнений. На другой странице я более подробно написал о том, как определять числа, на которые нужно умножать уравнения.

Куб и угол между прямыми

Сегодня мы решим задачу про куб и угол между прямыми. Задача звучит так:

Точка Е - середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми DE и BD1.

Для начала нужно соорудить конструкцию куба и разукрасить её буквами обозначений. Затем попробуем разобраться, чего надобно этим старцам от математики. Рисуем куб и прямые линии.

Куб и прямые линии

Получилось, что одна прямая линия совпадает с диагональю куба, вторая прямая линия проходит через боковую грань куба. Математики такие лини называют скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми определяется (не в смысле математическое определение типа "бла-бла-бла", а когда конкретное дело делается) как угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. Это не я такой умный, это у меня книжка умная есть, там и вычитал.

Возьмем ту прямую, которая на боковой грани и проведем параллельную ей прямую линию, проходящую через вершину D1. В этом случае мы получили две пересекающиеся прямые, для которых уже можно определить угол.

Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Для определения угла нам нужны размеры куба. Без этого математика бессильна. Поскольку, по условию задачи, размеры куба нам не заданы, мы можем сами выбрать любой, благо все три размера у куба одинаковы. Примем длину ребра нашего куба за единицу. Получился куб в собственном соку, то есть в собственных единицах измерения. Весь этот математический фокус заключается в том, что угол между заданными нам прямыми совершенно не зависит от размеров куба. И в большом кубе, и в маленьком кубике углы между этими прямыми будут одинаковы.

Дальше всё просто, как в реанимации. Назначаем пациенту, то есть кубу:

1. Две теоремы Пифагора для двухмерного пространства.
2. Одну теорему Пифагора для трехмерного пространства.
3. Одну теорему косинусов.
4. Одну таблицу косинусов.

Теперь разберемся, к каким местам на теле куба всё это нужно прикладывать.

Два прямоугольных треугольника, диагональ куба, искомый угол в треугольнике

Рассуждаем от конца к началу. По таблице косинусов мы можем найти значение угла в градусах. Значение косинуса угла можно найти по теореме косинусов, если знать размеры сторон синенького треугольника из рисунка выше. По теореме Пифагора для трехмерного пространства мы можем найти диагональ куба - это одна из сторон треугольника. Две другие стороны треугольника можно найти на гранях куба по обычной (двухмерной) теореме Пифагора. А вот для применения теоремы Пифагора нам необходимы числовые размеры куба. Ведь просто слово "ребро" во вторую степень возвести не возможно. Вот для этого мы и приняли в самом начале размер ребра равным единице.

Мы проутюжили наше решение от начала к концу и от конца к началу. Лично у меня оно где-то по середине и срослось, на теореме Пифагора. Что бы там не утверждали наши современные математики, а математических инструментов мощнее тригонометрии и теоремы Пифагора они так и не создали.

Для полного счастья нам нужно ещё рассмотреть теорему косинусов. Ведь тупо записать её могут многие, а вот применять на практике этот калейдоскоп символов нужно ещё уметь. Посмотрите, как буковки в формулах переливаются! Это и есть первозданная красота математики.

Теорема косинусов

Что такое математическая функция арккосинус? Это очень умное выражение, которым нас пугают математики. А фактически это наша голова и таблица косинусов перед глазами. Или специальная кнопочка на калькуляторе. Только вместо команды "Бобик, фас!" ( косинус - найти число по значению угла), нужно выполнять команду "Фас, покусай Бобика!" (арккосинус - найти значение угла по числовому значению косинуса).

Пусть у нас неизвестный угол будет по кличке "гамма", а диагональку куба мы обзовем "а". Отрезок прямой, что расположен на грани куба прямо перед нами, будет именоваться "с", а на грани слева - "b". Вот теперь можно погонять циферки и получить числовое решение задачи.

Вычисление сторон треугольника для формулы

Вычисление косинуса и нахождение угла между прямыми

На картинке вы видите огрызок (математики это называют "отрезок") таблицы косинусов. Если кто забыл, напомню, что при уменьшении числового значения косинуса, значение угла увеличивается. Вот по этому мы вычитаем из значения косинуса шесть десятитысячных (на картинке у меня опечатка, просто шестерка, но переделывать не хочу, ещё неделю возиться буду) и прибавляем две минуты к значению угла. В итоге получилось, что угол между прямыми равен семьдесят пять градусов две минуты. Аминь (математики говорят "плюс константа").