Величина как основа математики

Геометрическое изображение величины вида ka

Взаимодействие чисел и единиц измерения происходит в точке «единица» и выражается математическим действием умножением. Геометрически единица измерения перпендикулярна числовому лучу. Результат умножения чисел на единицу измерения в дальнейшем будет называться «величина». Все величины изначально имеют одинаковые математические свойства.

Геометрическое изображение любой величины

Все единицы измерения в окружающем нас мире можно изобразить двумя способами: с общей точкой «единица» и с общей точкой «ноль». Способ изображения не влияет на свойства составляющих элементов.

Если принять за общую точку единицу, тогда это будет окружность с числовым лучом, выходящим из центра окружности. Радиусами окружности будут являться единицы измерения.

Величины с общей единицей

Приблизительно так можно изобразить любую вселенную со всеми имеющимися в ней единицами измерения. Изображение всех единиц измерения в виде радиусов окружности подчеркивает то обстоятельство, что все единицы измерения изначально имеют одинаковые математические свойства. (Пояснение для блондинок: А вам не кажется, что этот портрет математики очень напоминает древнее изобретение человека - колесо? Вы точно уверены, что колесо изобрел именно человек? Может, кто-то пытался объяснить человеку, что такое математика, но он так ничего и не понял? На память о встрече с неизвестными учителями математики нам история оставила только колесо... Почему неизвестные учителя начали свой рассказ именно с этого? Потому, что не зная и не понимая таких элементарных вещей, понять математику практически невозможно. Что нам блестяще демонстрировали предыдущие поколения математиков.)

Величины с общим нулем

Приблизительно так можно изобразить момент появления вселенной, который принято называть «Большой Взрыв». В этом случае числовой луч графически можно представить в виде числового конуса.

В алгебраическом виде любая величина может быть представлена умножением коэффициента масштаба на единицу измерения. В качестве коэффициента масштаба выступают числа.

Уравнение величины

Геометрически любую величину, которая является результатом умножения коэффициента масштаба на единицу измерения, можно представить в виде гипотенузы прямоугольного треугольника, катетами которого являются единица измерения и часть числового луча.

Геометрическое изображение величины вида ka

Если коэффициент масштаба равен единице, тогда величина равна единице измерения.

Пояснение для блондинок: Вот теперь мы добрались до одного из видов математических углов и дальше мы рассмотрим, что такое угол масштаба и как происходит изменение угла масштаба.

Таблица умножения для аквариумных рыбок

Таблица умножения для аквариумных рыбок - это пример применения математики в ... да где угодно! Если вам нужна таблица умножения для детей, переходите по ссылке на специальную страницу сайта "Математика для блондинок". Здесь же мы посмотрим, как таблицу умножения Пифагора можно использовать для любителей аквариума.

В таблице умножения живут числа: строчечка вверху и строчечка сбоку (это те числа, которые умножаются), внутри таблички живут результаты умножения, которые тоже являются числами. В аквариуме числа не живут, там живут рыбки и растения. У разных рыбок, как и у разных чисел, есть свои названия. Заменим числа, которые умножаются в нашей табличке, на названия аквариумных рыбок. А вот результаты умножения рыбок с разными названиями будем определять относительно вашего кошелька.

Здесь можно выделить три типа результатов: рыбки полностью совместимы (свои деньги вы не потеряете), ограничено совместимы (лучше бы вы потратили эти деньги на что-нибудь другое) и абсолютно несовместимы (вы потеряете потраченные на рыбок денюжки). В результате всех этих манипуляций у нас получится такая вот таблица совместимости аквариумных рыбок.

Таблица умножения для аквариумных рыбок

Что означает красный цвет рыбки на пересечении двух названий аквариумных рыбок? Это означает, что либо ваша любимая рыбка съест вашу новую покупку, либо новая покупка съест вашу любимую аквариумную рыбку. В любом случае, вы потеряете часть потраченных вами денег на модернизацию своего аквариума.

Если вы хотите угодить своей любимой аквариумной рыбке, тогда для неё нужно составить что-то наподобие числовой оси. С одной стороны будут размещаться рыбки, которые могут съесть вашу любимую рыбку, в центре можно поместить всех, кто мирно уживется с вашей рыбкой, с другой стороны можно разместить всех тех рыбок, которые являются дорогим кормом для вашей любимой рыбки.

Кстати, вы знаете как узнать объем аквариума (в литрах), если известна длина, ширина и высота аквариума? Это осень просто - сплошная математика и никакой зоологии. Если у нас есть аквариум длиной 120 см, шириной 40 см и высотой 50 см, то сперва переводим сантиметры в дециметры - это 12, 4 и 5 дециметров. Потом по формуле нахождения объема прямоугольного параллелепипеда перемножаем длину на ширину и высоту. Получим объем аквариума сразу в литрах, ведь в одном литре содержится ровно один кубический дециметр. В нашем случае 12*4*5=240 кубических дециметров или литров, что одно и тоже.

Только нужно иметь в виду, что рассчитанное при помощи математики количество воды вы в аквариум не зальете. Вам помешает закон Архимеда - ведь его никто не отменял и в аквариуме он действует точно так же, как и в океане. Не тот закон Архимеда, который про силу а тот, который про лужу - если сесть попой в лужу, лужа выйдет из берегов. Если вы в доверху наполненный аквариум опустите свою любимую рыбку, из аквариума вытечет количество воды, равное объему рыбки. Поэтому аквариумы никогда не наполняют водой до верху.

Единицы измерения и математические действия

Автор Николай Хижняк

Симметричность сложения и вычитания относительно точки ноль свидетельствует о том, что эти математические действия могут выполняться только с одной единицей измерения. Фактически, сложение и вычитание отражают сравнение трех чисел – двух имеющихся и результата. Для разных единиц измерения результат этих математических действий получить не возможно, поскольку числа имеют различные основания, и их сравнение не представляется возможным. Геометрическое отображение сложения и вычитания будет рассмотрено дополнительно.

Симметричность умножения и деления относительно точки «единица» позволяют представить деление как умножение на число, обратное любому числу:

а : b = a x 1/b

Точно так же, умножение на число, обратное любому числу, можно представить как деление на любое число:

а х 1/b = a : b

Традиционное определение простого дробного числа как результата деления двух целых чисел p и q равнозначно результату умножения целого числа p на число, обратное целому числу q:

p : q = p x 1/q

В дальнейшем изложении термин «умножение» будет подразумевать умножение и деление в общепринятом смысле ввиду их полной симметрии и относительности этих понятий.

Умножение – это взаимодействие двух различных единиц измерения под прямым углом в точке «ноль». В результате взаимодействия образуется новая единица измерения с началом в точке «ноль», что приводит к качественному изменению взаимодействующих единиц измерения. Математическим действием, противоположным по смыслу умножению, является разложение на сомножители. Разложение выполняется при помощи тригонометрических функций, которые могут иметь числовые и не числовые (0 и 1/0) значения. Простейшее подобие разложения под углом в 45 градусов – это извлечение квадратного корня. Более подробно разложение и тригонометрические функции будут рассмотрены дополнительно.

Площадь (например, площадь прямоугольника) – это результат взаимодействия двух перпендикулярных единиц измерения длины. Умножение параллельных единиц измерения не возможно (при умножении длин двух параллельных сторон прямоугольника, измеренных в метрах, можно получить метры квадратные, но нельзя получить площадь). Математические свойства единиц измерения будут рассмотрены дополнительно.

Поскольку в математике принято выделять отдельные множества чисел, которые частично входят в понятие «любое число», при желании можно сформулировать математически точные определения для некоторых из них. Например:

единица и все числа, которые можно получить сложением единиц, называются натуральными;

все числа, которые можно получить сложением или вычитанием единиц, называются целыми числами (при вычитании такого же количества единиц, которое имеется, числа обращаются в нуль);

числа, не являющиеся целыми, называются дробными.

Пояснение для блондинок: Теперь настала очередь посмотреть, как в математике взаимодействуют числа и единицы измерения. Эту штучку я назвал величина.

Относительность понятия «любое число»

Для получения числовой оси не имеет значения, какие из чисел приняты за любое число: положительные больше единицы, положительные меньше единицы, отрицательные больше минус единицы или отрицательные меньше минус единицы. Наложение обратной и зеркальной симметрий на любую из этих групп чисел приводит к получению всего ряда действительных чисел.

От выбора группы чисел в качестве любого числа будут зависеть результаты математических действий – это различные комбинации увеличения или уменьшения любого числа в результате конкретного математического действия. В таблице ниже возможные варианты понятия «любое число» обозначены точно так же, как соответствующие им фрагменты числовой оси в традиционно принятом виде. Для наглядности увеличение любого числа продублировано знаком «+», уменьшение – знаком «-», соответствующие ячейки выделены разным цветом.

Относительность понятия «любое число»

Как видно из таблицы, сложение и вычитание зеркально симметричны относительно точки «ноль». Умножение и деление зеркально симметричны относительно двух точек – точки «единица» и точки «ноль», при этом обратная симметрия зеркально симметрична относительно точки «ноль». Все рассуждения о первичности и вторичности математических действий являются заблуждением. Симметрия математических действий рассмотрена в отдельной статье.

Пояснение для блондинок: Дальше мы рассмотрим единицы измерения и математические действия.

Числовая ось

В математике принято изображать числа в виде числовой оси. Рассмотрим преобразование числового луча в числовую ось.

Обратная симметрия позволяет получить числа меньше единицы. Поскольку точкой обратной симметрии является единица, эта симметрия не зависит от единиц измерения. Обратная симметрия отражает относительность понятий «больше единицы» и «меньше единицы» при сравнении двух чисел. В случае сравнения двух чисел в обязательном порядке нужно принять одно из этих чисел в качестве единицы измерения.

После введения единицы измерения мы получаем абсолютную систему координат для любой единицы измерения. Единица измерения на рисунке изображена в традиционно принятом варианте – с наложением на область обратных чисел. При наложении зеркальной симметрии, точкой которой является ноль, мы вводим отрицательные числа и получаем относительную систему координат. Все перечисленные преобразования изображены на рисунке ниже, где знаком бесконечности обозначено любое число.

Числовая ось

Пояснение для блондинок: Дальше мы рассмотрим относительность понятия "любое число".