Чему равен синус 60 градусов?

Лига лени: синус 60 градусов равен корень из трех, деленный на два. Картинки можете не смотреть.

В поисках ответа на вопрос "Почему синус 30 градусов равен одной второй?" мы использовали машину времени. Если кто-то ещё не вылез из этой машины - просьба покинуть аппарат. Больше он нам не понадобится. Теперь мы будем разбирать те материалы, которы были собраны во время экспедиции в прошлое. Сегодня рассмотрим вопрос "Чему равен синус 60 градусов?".

Высота равностороннего треугольника

Берем равносторонний треугольник со стороной, равной единице, и с проведенной через вершину треугольника высотой. Этот рисунок мы рассматривали прошлый раз.

Высота равностороннего треугольника

В этот раз мы не будем поворачивать рисунок, а просто уберем его половину - один из двух прямоугольных треугольников.

Косинус 60 градусов.

Где-то там, в глубине веков, какой-то знахарь математики нам громко кричал про синус и нашептал о косинусе. Шепот гласил, что косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Нас интересует угол в 60 градусов.

Косинус 60 градусов

Прилежащий к углу в 60 градусов катет расположен горизонтально внизу прямоугольного треугольника. Длина этого катета равна одной второй. Гипотенуза этого треугольника равна единице. При делении на единицу число не меняется. Вот и получается, что в этом треугольнике длина прилежащего катета равна косинусу 60 градусов, а значит косинус 60 градусов равен 1/2.

Синус 60 градусов.

Высота этого прямоугольного треугольника будет равна синусу 60 градусов. Как найти высоту прямоугольного треугольника? У нас есть старая добрая теорема Пифагора. Вот её и используем.

Синус 60 градусов

После не сложных вычислений у нас получилось, что синус 60 градусов равен корню квадратному из трех, деленному на два. Прошу заметить, что вычисления для синуса 60 градусов точно такие, как для косинуса 30 градусов. Такова наша математика.

Почему синус 30 градусов равен одной второй?

Лига лени: просто смотрим картинки.

Самый простой ответ на вопрос "Почему синус 30 градусов равен одной второй?" будет звучать следующим образом: так исторически сложилось. Ничего не понятно? Согласен. Нужно глубоко вникать в кучу других интересных вопросов, типа: "Почему прямой угол равен 90 градусов?", "Почему синус мы считаем так, а не иначе?"и так далее. Но есть и другой, более наглядный ответ, если не вникать во всякие "Почему?".

Для этого выбрасываем всякую математическую дрянь из головы, садимся в машину времени и отправляемся на несколько тысяч лет назад, в прошлое. Древний Вавилон. Оказывается, местные аборигены о математике знают гораздо больше, чем о ней помнит среднестатистический наш современник. Корень из двух они легко подглядывают в своей глиняной математической шпаргалке. Какие счастливые люди здесь живут - о тригонометрии ничего не слышали! А это что такое? Так, так, так, учили в школе, знаем.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник

Перед нами равносторонний треугольник со стороной, равной единице. Все углы этого треугольника равны 60 градусов. Напомню, что в Древней Месопотамии (а Вавилон располагался именно там) была принята шестидесятеричная система счисления, которую мы с успехом используем сегодня для измерения углов и времени - 60 минут, 60 секунд. Так что для Древней Месопотамии равносторонний треугольник, с его углами в 60 градусов, был очень даже патриотичным.

Мы не станем отправляться в экспедицию по Древней Месопотамии в поисках других местных знаний о треугольниках. Сомневаюсь, что в те древние времена к любопытным чужеземцам относились иначе, чем сейчас. Лучше отправимся в Древнюю Грецию. Уж там точно знали толк в треугольниках.

Высота равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника

Думаю, что древнегреческие математики уже хорошо знали, что высота равнобедренного треугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Что высота треугольника всегда перпендикулярна его основанию. Высота разделила угол в 60 градусов в вершине треугольника на два угла по 30 градусов. Основание, равное единице, эта высота так же разделила поровну - 1/2 и 1/2. Очень демократичная дележка треугольника у основателей демократии получилась. И хотя о самих тригонометрических функциях древнегреческие математики ничего не знали, геометрические и вычислительные основы в фундамент тригонометрии они заложили.

Синус 30 градусов

Проходят тысячелетия и тут появляется какой-то знахарь математики и сообщает нам радостную ну такую себе весть: "Я придумал тригонометрические функции!!! Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе! (Дальше шёпотом) А вот косинус угла равен отношению прилежащего угла к гипотенузе." Упс... И что нам теперь с этим делать? Остается только терпеть и попытаться разобраться во всей этой математической ерунде. Начинаем соображать. Прямоугольный треугольник мы знаем... В углах треугольника мы тоже кое-что понимаем... Вау! Да это же элементарно! Как найти значение синуса для угла 30 градусов? Я просто переворачиваю картинку на 90 градусов и удаляю всё лишнее.

Синус 30 градусов

И так, ещё раз: синус угла - это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. В нашем прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна единице. При делении любого числа на единицу, это число не меняется. Следовательно, длина противолежащего катета, равная 1/2, является значением синуса угла в 30 градусов. Как любят говорить математики: "Что и требовалось доказать".

Косинус 30 градусов

Косинус 30 градусов можно легко найти по теореме дедушки Пифагора, ведь треугольник у нас прямоугольный и применять этот математический шедевр мы имеем полное право. Берем в руки математику и считаем.

Косинус 30 градусов

После вычислений у нас получилось, что косинус 30 градусов равен корню квадратному из трех, деленному на два.

Вот как легко всё вычисляется, даже таблицы не нужны.

Классификация сумм

Аннотация

Если взять любую сумму, то все остальные суммы можно разделить на три группы: одинаковые суммы, суммы разложения и другие суммы. Критериями классификации являются слагаемые и результат сложения.

Одинаковые суммы

Одинаковые суммы объединяются в отдельную группу свойством коммутативности. Суммы из этой группы имеют попарно одинаковые по величине слагаемые и равное количество слагаемых. Результат сложения этих сумм одинаковый. Пример одинаковых сумм:

Одинаковые суммы

Количество сумм в данной группе определяется количеством слагаемых. Для бесконечных сумм оно равно бесконечности.

Суммы разложения

Если результаты сложения разного количества слагаемых или разных по величине слагаемых одинаковые, то такие суммы образуют группу разложения:

Суммы разложения

Любую из этих сумм можно получить разложением результата сложения на слагаемые при помощи линейных угловых функций. Получив при этом два слагаемых, любое из них можно также разложить на слагаемые и так далее. Пример разложения для первых трех сумм:

Разложение на слагаемые

Пример разложения числа на три слагаемых показывает, что разные варианты разложения могут давать одну и ту же сумму, что лежит в основе ассоциативных свойств сложения. Чем больше слагаемых содержит сумма, тем больше различных вариантов разложения может быть. Разложение на слагаемые можно продолжать до бесконечности. Разные углы и разные алгоритмы разложения позволяют получить разные варианты бесконечных сумм. Теория пределов позволяет определить результат сложения на основе анализа слагаемых. Разложение на слагаемые позволяет результат суммирования представить в виде бесконечного ряда слагаемых.

Для примера разложим единицу в бесконечную сумму по следующему принципу: разложение выполняется под углом 45°, каждое второе слагаемое раскладывается на два слагаемых:

Разложение на бесконечное количество слагаемых

В фигурных скобках указана сумма невидимой компенсирующей группы слагаемых, дополняющая результат сложения до целой единицы. Можно предположить, что любая сумма, даже бесконечный расходящийся ряд, в тригонометрическом виде равна единице.

Другие суммы

Если результат сложения любой суммы отличается от результата сложения рассматриваемой суммы, то эта сумма не имеет никакого отношения к рассматриваемой сумме и относится к группе «другие суммы».

Предположим, что для суммы a+b=c существует другой результат сложения d, не равный c. То есть, a+b=d. Представим эти два выражения с использованием линейных угловых функций, а затем переведем их в тригонометрический вид:

Разные результаты сложения

Предположение о наличии разных результатов сложения у одной и той же суммы выводит нас за пределы математики, где основные тригонометрические соотношения перестают работать:

За пределами математики

Почему одна и та же сумма слагаемых не может иметь двух разных результатов сложения? Понять это можно, рассмотрев обратный процесс – превращение тригонометрических функций в конкретные математические суммы. Более подробно мы рассмотрим это в отдельной публикации.

В завершение разговора о наличии двух разных результатов сложения у расходящихся рядов, я приведу пример из физики. В земной коре (сходящийся ряд [4]) существуют природные пещеры (сумма сходящегося ряда). Используя специальные механизмы (сходимость по Чезаро и др.) мы можем получить искусственные тоннели (сумма сходящегося ряда). В морях и океанах (расходящийся ряд) нет природных пещер (сумма ряда отсутствует). Применение специальных механизмов (сходимость по Чезаро и др.) позволяет нам получить искусственные тоннели (сумма расходящегося ряда) в водной толще. На основании этой, математически доказанной, теории можно спроектировать сеть тоннелей для автомобильных и железных дорог, опоясывающих всю земную поверхность. Такая теория вполне возможна, если мы не понимаем различия между твердыми телами (сходящийся ряд) и жидкостями (расходящийся ряд).

Вывод

Не существует математических методов, позволяющих получить другой результат сложения для рассматриваемой суммы.

Сдвиг в арифметике

Аннотация

Применение сдвига в арифметике приводит к сложению слагаемых с разными единицами измерения.

Рассмотрим результаты сдвига в арифметическом сложении. Сдвиг возможен при выполнении сложения в столбик. Для примера возьмём трехзначное число и прибавим к нему такое же число без сдвига, со сдвигом на одну позицию и со сдвигом на две позиции. При этом будем соблюдать правило, принятое при сдвиге бесконечных рядов – отбрасываем цифры второго слагаемого, выходящие за границы первого числа:

Сложение со сдвигом в столбик

Как и при сложении бесконечных рядов, сдвиг на разное количество позиций приводит к разным результатам. Можно записать эти же выражения в строку с последующим указанием единиц измерения каждого из слагаемых:

Сложение со сдвигом в строку

Вывод

Сдвиг приводит к изменению единицы измерения сдвигаемого слагаемого. Сдвиг является нарушением законов сложения - нельзя складывать слагаемые с разными единицами измерения.

P.S. 17.07.2023г. В журнальной публикации этого нет, но считаю необходимым добавить свой комментарий. Применение сдвига в арифметике наглядно показывает, чем "примитивная" математика отличается от высшей математики. В высшей математике можно делать всё, что угодно, если это принимается математическим сообществом. Придумали правила, написали определение и уже любой маразм выглядит как "научное достижение". С реальностью сравнивать никто ничего даже не пытается. Ведь в самом начале математики утверждают, что их наука изучает абстрактные понятия. Типа, "Чур, я в домике".

Кстати. Такая любимая математиками "абстрактная единица" - это не просто единица, а единица измерения чисел. Да, в терии чисел единицы могут иметь разный размер и определяется размер конкретной единицы системой счисления: двоичная, десятичная, шестнадцатиричная и так далее. Для выполнения математических действий с числами, они должны бить выражены в одинаковых системах счисления. Знаменатель дроби также обладает всеми свойствами единицы измерения. Нельзя сложить две дроби с разными знаменателями. Для сложения их приводят к общему знаменателю (в обычных единицах измерения это делается изменением угла масштаба). При умножении двух дробей с разными знаменателями мы получаем дробь с новым знаменателем. Всё, как с физическими единицами измерения.

Математические действия с бесконечными рядами

Аннотация

При выполнении математических действий с бесконечными рядами необходимо соблюдать правила позиционной системы счисления.

Количество слагаемых

Количество слагаемых бесконечного ряда, представленных в видимой части ряда, необходимо рассматривать как аналог записи числа при помощи цифр в позиционной системе счисления. Количество слагаемых в видимой части ряда аналогично округлению обычной десятичной дроби с определенной точностью, то есть до определенного количества знаков после запятой.

При выполнении математических действий с бесконечными рядами, для каждого примера необходимо использовать одинаковое количество слагаемых в видимой части ряда. Если не соблюдать данное правило, это может приводить к ошибочному результату. В математике не принято использовать в одном примере какое-либо число с разной точностью округления.

Сдвиг ряда

Сдвиг бесконечного ряда при выполнении математических действий автоматически приводит к неправильному результату. Это аналогично добавлению нулей в десятичную дробь сразу после запятой.

Рассмотрим пример. Если из любого ряда вычесть такой же ряд без сдвига, результат будет равен нулю. Если при вычитании использовать сдвиг и не учитывать компенсирующую группу слагаемых, то результат будет отличным от нуля. Пусть у нас есть ряд S. Запишем ряд –S и сложим эти два ряда. В результате должен получиться ноль. Выполнив сложение без сдвига, мы получаем правильный результат.

Сложение без сдвига

Сдвиг на одну позицию приводит к неправильному результату.

Сдвиг на одну позицию

Сдвиг на две позиции приводит к другому неправильному результату.

Сдвиг на две позции

Сдвиги на произвольное количество позиций позволяют получить бесконечное множество неправильных результатов.

Соблюдение правила об одинаковом количестве слагаемых бесконечного ряда в одном примере и использование компенсирующей группы слагаемых (выделена фигурными скобками) позволяет избежать ошибки. Но в приведенных примерах этот способ более трудоемкий, чем отказ от сдвига.

Сдвиг с компенсирующей группой слагаемых

Проанализируем несколько наиболее известных примеров определения сумм бесконечных расходящихся рядов.

Сумма ряда Гранди

В приведенном примере сумма ряда Гранди равна одной второй, что является не верным результатом.

Сумма ряда Гранди

Во второй строке стоит знак равенства между двумя разными суммами: одна сумма состоит из пяти слагаемых, не равных нулю, вторая – из четырех. В этом примере использована оптическая иллюзия равенства разных сумм, если одно слагаемое спрятать за троеточие бесконечности.

Сумма знакопеременного ряда

Ниже приведен знакопеременный ряд и решение по определению его суммы.

Сумма знакопеременного ряда

В предлагаемом решении один и тот же ряд представлен разным количеством слагаемых: от четырех до шести. При выполнении математических действий и перестановке слагаемых игнорируется компенсирующая группа слагаемых. Не рассмотрены два других способа получения суммы 4s: сложение рядов без сдвига и умножение исходного ряда s на 4. Оба эти способа дают одинаковый результат, что указывает на математическую точность выполненных вычислений.

Сумма 4s

Сумма натуральных чисел

Рассмотрим сумму бесконечного ряда натуральных чисел. Интуитивно, это расходящийся бесконечный ряд, который не может иметь конечного значения суммы. Но, вот пример вычисления суммы этого бесконечного ряда.

Сумма натуральных чисел

Типичные ошибки этих вычислений приведены в примере выше. Не выполнена проверка решения: исходный ряд с, умноженный на минус три, равен:

Проверка решения

Вывод

Все приведенные выше способы нахождения суммы бесконечного ряда являются не чем иным, чем подгонкой решения под заданный результат. Никто не мешает математикам устанавливать собственные правила виртуальных игр в числа. Но применение подобных результатов «вычислений» в законах физики приводит к неправильному их пониманию. Например, числовой коэффициент, обусловленный каким-либо физическим параметром или просто поправочный коэффициент, трактуется как сумма какого-нибудь бесконечного ряда. Примером ошибочного истолкования числовых коэффициентов будет следующее утверждение: площадь прямоугольного треугольника равна сумме ряда Гранди, умноженному на произведение его катетов.