Отрицательные числа: это долг

Автор Николай Хижняк

Нельзя отнять жизнь у мертвого.

В одном из научно-популярных фильмов математика приводит пример с отрицательными числами: «У вас есть минус одна рыба. Вы пошли на рыбалку, поймали одну рыбу и у вас ничего не осталось. Удивительный результат!».

Математическая запись этой истории выглядит так:

-1 + 1 = 0

Теперь предположим, что я рыбак. Вот как я вижу эту историю. Кто-то говорит, что у меня минус одна рыбина. Фактически же у меня ничего нет. Как я это могу записать? Я пишу ноль.

0

Я иду на рыбалку, мне удалось поймать одну рыбу. Теперь у меня есть одна рыба. Я прибавляю единицу.

0 + 1 = 1

После этого появляется тот, кто утверждал, что у меня минус одна рыба, и забирает мою рыбу себе. Прям как россияне в Украине.

0 + 1 - 1 = 0

Упс! Где здесь отрицательные числа? Это самый заурядный рэкет - "русский мир" пришел в мой дом.

Теперь давайте посмотрим, что значит взять в долг. Мне срочно нужны деньги, 1 доллар. Что у меня есть сейчас? Ничего, ноль.

0

Хороший человек (или злой банк) дал мне 1 доллар. Что у меня есть сейчас? У меня есть реальный положительный 1 доллар, который я могу потратить, как захочу. Но нет, я не буду тратить его зря. Я сохраню его как музейный экспонат.

0 + 1 = 1

Через некоторое время я заработал 1 доллар. Сколько у меня денег?

1 + 1 = 2

Я честный человек и оплачиваю свои долги. Сколько денег у меня останется?

2 - 1 = 1

Я одолжил деньги, вернул их, и у меня остался 1 доллар. Или у меня останется то, что я купил. Что это было? Были ли это отрицательные числа? Нет. Это была машина времени, позволяющая мне сегодня купить то, на что я смогу заработать только завтра.

Главное правило такое: нельзя взять в долг то, чего нет. Попробуйте взять в долг машину времени, вечный двигатель или летающую тарелку. Это невозможно сделать, потому что этих вещей для нас не существует. И сколько бы минусов мы не обещали, все равно этих вещей мы не получим. Нельзя отнять жизнь у мертвого.

Дальше я предлагаю провести соревнования по игре в числа.

Таблица простых чисел

Простые числа - это натуральные числа, которые делятся только на единицу и сами на себя. Простые числа играют видную роль в теории чисел. Основная теорема арифметики говорит о том, что любое целое число больше единицы либо является простым, либо его можно представить в виде произведения простых чисел. Спорить с содержанием этой теоремы не вижу оснований, а вот к названию лично у меня очень большой вопрос. Если это "основная теорема" арифметики, то у меня закрадываются подозрения, что начало учебника по арифметике наши математики выкурили в виде самокруток ещё в дошкольном возрасте, а в школе начали изучать то, что осталось.

Ниже представлена таблица простых чисел от 2 до 20000. Эта таблица простых чисел может вам пригодиться при сокращении дробей.

Таблица простых чисел от 2 до 1000

Таблица простых чисел от 1000 до 10000

Таблица простых чисел от 10000 до 15000

Таблица простых чисел от 15000 до 20000

Простые числа — любимая игрушка математиков. По состоянию на январь 2019 года самое большое простое число, известное математикам, имело 24 862 048 десятичных цифр. Эта игра с простыми числами настолько увлекательна, что даже я пристрастился к этой игре. Что я могу сказать по этому поводу? Игра в простые числа очень трудоемка и утомительна, но результаты могут быть очень интересными. Я придумал свои правила игры, о которых скоро вам расскажу. Надеюсь, это будет интересно математикам.

Сперва мне понадобились простые числа до 20 000. Я добавил эти таблицы сюда. Потом мне нужны были простые числа до 1 000 000. Потом я плюнул на это грязное дело потому, что мне надоело. Если вам вдруг понадобится, то здесь вы найдете простые числа до 21 000 000.

Каковы результаты моих "научных" изысканий? Ничего интересного, результат оказался всем давно известным - чем дальше в лес, тем больше дров по числовой прямой от нуля, тем реже встречаются простые числа. Разве что на ноль мне удалось взглянуть с неожиданной стороны. Всё красиво оформлю и поделюсь с вами.

Отрицательные числа: вычитание

Математики рассказывают нам о положительных и отрицательных числах. Только после этого они говорят об абсолютном значении числа (модуле числа). Я не доверяю математикам. Я считаю, что в природе всё обстоит с точность до наоборот - есть только числа с их абсолютными значениями, а уже потом к этим числам мы можем добавить знак "плюс" или "минус.

Существуют ли в природе отрицательные числа? Что означают знаки плюс и минус в математике? Мы попробуем разобраться в этом.

Математики говорят, что отрицательные числа появляются в арифметике при вычитании, когда из меньшего числа вычитается большее число. Меня тоже так учили.

Если мы всегда будем вычитать из большего числа меньшее число, тогда отрицательные числа никогда не возникнут. Это правило ничем не лучше и не хуже того правила, которому нас учат математики. Вы можете себе представить математику без отрицательных чисел? Математикам такое даже в страшном сне не приснится. А вот что получается на самом деле.

Вычитание

Минусы отвалились, как засохшая грязь. Остается кристально чистое сложение положительных чисел. Этот пример наглядно показывает, что отрицательные числа нельзя получить при помощи вычитания.

Я все сделал правильно. Меня так учили в школе. Если минус x равно минус единице, то x равно единице.

-х = -1

х = 1

В чем секрет этого фокуса? Математики неправильно решают задачу на вычитание. Если нам известен результат сложения и одно из слагаемых, то второе слагаемое мы можем найти при помощи вычитания. Для этого из известной нам суммы нужно вычесть известное нам слагаемое. А сумма всегда больше, чем любое из слагаемых. Если мы из слагаемого вычтем сумму, тогда знак минус нам укажет на то, что мы запутались.

Давайте посмотрим, как выглядят мои преобразования выражения на числовой оси.

Вычитание на числовой оси

В левой части рисунка показана неподвижная числовая ось. Ноль числовой оси остается на месте, отрезки, как блохи, скачут около нуля. В правой части рисунка отрезки неподвижны, а числовая ось мечется вдоль них. Ноль перемещается в пределах отрезков. При этом во всех случаях знак числа меняется при переходе через ноль. В алгебре это равносильно перемещению числа через знак равенства - знак числа меняется на противоположный. В дальнейшем мы ещё вернемся к числовой оси с целью более внимательного её рассмотрения. Знак равенства и ноль - это математическая граница, при пересечении которой шпионы становятся разведчиками, а разведчики - шпионами.

С вычитанием мы разобрались. Никакие отрицательные числа при вычитании не возникают. Дальше мы посмотрим, возникают ли отрицательные числа, если мы берем в долг.

Синус и косинус таблица

Лига лени: Оно вам надо?

Это самая необычная таблица синусов и косинусов. Идея сделать такую таблицу пришла ко мне в процессе написания этих статей:

Почему синус 30 градусов равен одной второй?

Чему равен синус 60 градусов?

Синус и косинус 45 градусов

Я настоятельно рекомендую вам прочитать эти статьи. Тогда вы узнаете, как легко вычислить значения синуса и косинуса самостоятельно. Из этих трех статей я сделал одну таблицу синусов и косинусов.

Синус и косинус таблица

Теперь разбор полетов моей фантазии. Есть много разных способов запомнить значения синуса и косинуса основных углов. Предлагаемый мною способ для тех, кто любит считать. Прежде всего, нужно хорошо запомнить, что косинус - это в сторону, по оси икс. Синус - это вверх, по оси игрек. Дальше изучаем таблицу.

В таблице показано, какие стороны треугольника нужно принять за единицу, чтобы было проще считать. Для 0 и 90 градусов треугольников не существует, это обычные отрезки. Значения синуса и косинуса для этих углов равны либо нулю, либо единице. Всё зависит от положения отрезка - либо вверх, либо в сторону.

Третий столбец таблицы показывает, как использовать теорему Пифагора для вычисления нужного значения синуса или косинуса. Для косинуса 30 градусов и синуса 60 градусов вычисления одинаковы. Для косинуса 45 градусов и синуса 45 градусов вычисление другое. Всё разнообразие таблицы сводится к наглядным картинкам и двум разным вычислениям, которые не трудно запомнить.

Внизу таблицы есть подсказки, как вычислить значения тангенса и котангенса, если вы знаете значения синуса и косинуса. Если вы забыли, как делить одну дробь на другую, воспользуйтесь еще одной подсказкой. Вам нужно умножить первую дробь на обратную вторую дробь.

Синус и косинус 45 градусов

Лига лени: синус 45 градусов равен корень из двух, деленный на два. Картинки смотреть? А зачем?

Наша экспедиция в прошлое помогла нам узнать, почему синус 30 градусов равен одной второй и чему равен синус 60 градусов. Теперь пришло время разобраться с синусом и косинусом 45 градусов.

Если вы были внимательны во время путешествия в прошлое, вы не могли не заметить квадрат, разделенный на две части диагональю. Одна половинка такого квадрата даст нам прямоугольный равнобедренный треугольник. Это очень редкий зверь в стаде треугольников. Математикам он известен уже много тысяч лет и математикам просто скучно возиться с ним.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Да, это уставший треугольник. Он лег на бочок отдыхать. Ну не вечно же равнобедренный треугольник должен стоять на основании, как пирамида Хеопса.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Катеты этого треугольника равны единице (я так хочу). Еще раз повторяю, что оба катета имеют одинаковую длину. Нам неизвестна длина гипотенузы этого треугольника, но мы можем легко вычислить ее по теореме дедушки Пифагора, с которым мы мило беседовали во время нашей экспедиции в прошлое.

Синус и косинус 45 градусов

Как сказал какой-то знахарь математики, синус и косинус угла равны отношению катета к гипотенузе. Поскольку катеты прямоугольного треугольника с углом 45 градусов равны, то значение синуса 45 градусов равно значению косинуса 45 градусов. Берем математику в руки и вычисляем это значение.

Синус и косинус 45 градусов

Почему я умножил числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из двух? Маленькие дети не любят комочков в каше. Математики не любят квадратные корни в знаменателях. Очень капризные дяди и тёти.