Тригонометрический круг синус и косинус |
Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.
Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)
Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат - одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая - вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы - cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы - sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы - на диване перед телевизором по горизонтали.
В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат - там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).
Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.
Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.
Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.
Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).
Найти решение:
Синусы и косинусы круг - здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.
Угол 120 градусов в радианах - равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.
Значения синусов косинусов углов в радианах - на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.
Значение косинуса угла в 45 градусов - равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.
Тригонометрическая окружность - я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности - вылитая тригонометрия.
Тригонометрический круг рисунок - есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию - почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников "Перед вами всемирно известное полотно "Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках" - картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения ..." Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!
Круг синусов и косинусов - именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.
Угол 9 градусов сколько это в пи - в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20
Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.
Синус это вверх или в сторону - синус - это вверх, в сторону - это косинус.
Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.
Спасибо, тогда еще: (Пи/6+2Пи)/2=13Пи/6. Если подсчитано верно, то как привести это выражение? и можно ли его упростить не убирая Пи
ОтветитьУдалитьПодсчитано не правильно. После знака равенства записан результат вычисления выражения в скобках, а его нужно ещё разделить пополам. В итоге должно получиться 13пи/12. Со значением угла уже ничего не сделаешь, разве что записать как 1 и 1/12 пи. А вот тригонометрические функции с углом такого размерчика можно приводить по специальным формулам. Каждая тригонометрическая функция, имеет свои формулы приведения. Все тригонометрические функции любых углов можно согнать в стойло размером от 0 до 90 градусов. Формулы приведения заблудших овец мы рассмотрим в самое ближайшее время)))
ОтветитьУдалитьБлагодарствую. Хотя не представляю, как всё это буду заучивать... Но для шпаргалки самое то))
ОтветитьУдалитьА разве продавцы оценок ещё требуют и зубрёжки?))) Лично я предпочитаю понимать математику, а не зубрить дурацкие правила)))
ОтветитьУдалитьСпасибо за название "Математика для блондинок". 30 лет занимаюсь тем, что перевожу школьную математику на язык "математики для блондинок". Актуальность возросла с введением ЕГЭ. Я добавляю линии тангенсов и котангенсов (понимают).
ОтветитьУдалитьПримите мои искренние соболезнования))) В отличие от Вас, я имею право молчать. Как учитель математики, вы такого права не имеете. Вы обязаны объяснять ВСЕ темы, я об отдельных моментах могу просто не говорить.
ОтветитьУдалитьДа, линии тангенсов и котангенсов просто обязаны быть на тригонометрическом круге. Хотя я и ленивый, но постараюсь в ближайшее время нарисовать такую картинку.
Мне очень интересно, как Вы объясняете отрицательные и комплексные числа на языке блондинок?
сростовый сайт, автору респект и уважуха, хоть я и не блондинко, плохо рублю в математике, но все норм описано и понятным языком, спасибо
ОтветитьУдалитьСпасибо за комментарий. Не каждому дано рубить в математике - это во-первых. Во-вторых, должен же кто-то и математиков кормить, одевать, писать их портреты...
ОтветитьУдалитьИзвините, но косинусы углов четвертой четверти - положительны (в промежутке от 3П/2 до 2П).
ОтветитьУдалитьСпасибо за тригонометрический круг.
Спасибо за замечание. Я вечно путаю эти синусы и косинусы. Свой неправильный комментарий я удалил. Приятно, что вы не верите слепо всему, что написано.
ОтветитьУдалитьНе на самом деле идея с сайтом у тебя отличная вот жалко нет примеров решенных.
ОтветитьУдалитьПримеры решения конкретных задач в будущем непременно появятся. Сроков не уточняю, сейчас я другими проблемами занят)))
ОтветитьУдалитьЗдравствуйте,простите не поможете решить пример: корень из 2 умножить на разность синуса в квадрате от пи/8 и косинуса в 4 степени от пи/8, почти решила, не сходится никак с вариантами ответов((((
ОтветитьУдалитьСожалею, но такие сложные задачки я не решаю - я не вундеркинд))))
ОтветитьУдалитьЗадачка простая как мир, если через формулу двойного угла перейти к пи/4, а он и для синуса, и для косинуса = корень(2)/2. Для 4 степени учесть 4=2*2 :))
ОтветитьУдалитьНу, я бы не сказал, что мир так уж и прост))) А если честно, мне просто лень ковыряться в кем-то составленных уравнениях. Мне гораздо интереснее решать задачки, которые преподносит сама математика. Там можно либо предугадать результат, либо получить что-то совершенно неожиданное.
ОтветитьУдалитьпривет***
ОтветитьУдалитьрешите мне ну или помогите мне решить
задание упростите выражение синус 2 альфа минус 2косинус альфа разделить это всё на 1 плюс косинус 2 альфа и потом минус тангенс альфа
-1/cos aльфа = -sec альфа- кто даст больше?
ОтветитьУдалитьСперва тангенс альфа раскладываем как функцию половинного угла, приводим к общему знаменателю, потом косинус двух альфа в знаменателе раскладываем как функцию кратного угла и сокращаем то, что получилось в числителе и знаменателе.
4пи=720 градусов
ОтветитьУдалить10пи=1800градусов
как их разместить на оружности,я не понимаю?
На окружности ни размещаются там же, где и ноль градусов. Где будет минутная стрелка ровно через час (когда она повернется на 360 градусов)? А через два часа ( когда она повернется на 720 градусов)? А через 5 часов (когда стрелка повернется на 1800 градусов)? Там же, где была в самом начале, то есть в положении 0 градусов. По количеству градусов можно определять количество полных оборотов - вот весь смысл огромных чисел возле градусов или пи.
ОтветитьУдалитьУглом какой четверти явл-ся
ОтветитьУдалитьугол альфа если:
Синус альфа>0 и косинус альфа <0...помогите пожалуйста???
На картинке ясно видно, что такое сочетание знаков только во второй четверти - вверху слева от перекрестия осей координат.
ОтветитьУдалитьскажите,а чему равно пи на 7?
ОтветитьУдалитьпи/7 = 180градусов/7 = 25,7143 градуса
ОтветитьУдалитьспасибо)я не блондинка,а ученик 10 класса,но все равно,помогли)
ОтветитьУдалитьМатематике безразлично, что блондинки, что брюнетки, что академики :)))
ОтветитьУдалитьне встречала ни в одном учебнике математике такого круга, вот только в интернете вчера нарыла.. Страшно вспомнить свои попытки вразнобой выучить все значения,ибо в школе требовалось "наизусть".К сожалению не догадалась сама такой круг начертить.
ОтветитьУдалитьне считаю этот круг математикой для блондинок!Мы в школе чертили такой круг, когда проходили тригонометрию,в принципе всегда удобно когда такая вещица есть под рукой, всегда можно себя проверить!
ОтветитьУдалитьздравствуйте)))
ОтветитьУдалитьа как определить знак больше или меньше нуля?
если синус 100градусов умноженный на косинус 300градусов??
Синус 100 градусов находится вверху, в вверху синусы положительные, значит это больше нуля. Косинус 300 градусов находится слева, где косинусы положительные, значит и эта штука больше нуля. Плюс умноженный на плюс дает плюс. Результат будет больше нуля.
ОтветитьУдалитьвроде разобрался)) спасибо... Вопрос: получается все что левее вертикали с отрицательным знаком?
ОтветитьУдалитьДля косинусов - да. Для синусов - всё, что ниже ватерлинии Х )))
ОтветитьУдалитьмерси) кружок давно искал) может добавите рисунки синусоиды и косинусоиды?
ОтветитьУдалитьОбязательно добавлю. Ведь можно и умереть, так и не потрогав руками живую синусоиду, а это не хорошо :)))
ОтветитьУдалить5пи/4???
ОтветитьУдалить5пи/4=5*180/4=900/4=225 градусов
ОтветитьУдалитькак найти косинус в квадрате альфа если известно синус альфа??по какой формуле?
ОтветитьУдалитьИз основного тригонометрического тождества
ОтветитьУдалитьsin^2 a + cos^2 a = 1 отсюда находим
cos^2 a = 1 - sin^2 a
Здравствуйте подскажите, пожалуйста, как упростить такое выражение: 91Пи/4. Очень-очень поможете
ОтветитьУдалитьОчень просто. Нужно выбросить все 2Пи. Их здесь аж 45 штук. По этому
ОтветитьУдалить91Пи/4=(91-2*45)Пи/4=(91-90)Пи/4=1Пи/4=Пи/4
спасибо вам большое
ОтветитьУдалитьздравствуйте, подскажите, пожалуйста, cos 87 (87-натуральное число, не в градусах), и какой это будет угол (это уже в градусах)
ОтветитьУдалить87радиан*180/Пи=градусы
ОтветитьУдалить87*180/3,1415=4984,88 градусов
получается, угол 4984.88, а косинус 3.14?
ОтветитьУдалитьЭто косинус Пи, который равен минус единице. Вверху на картинке он есть. Если просчитать по формуле конвертационного пункта обмена радиан на градусы, то получим 180 градусов :)
ОтветитьУдалить3,14*180/3,14=180
спасибо, и последнее) простите за навязчивость) из вашего числа 4985 градусов получается, что угол примерно 300 градусов (305) , а косинус 1\2) это правильно?
ОтветитьУдалитьмой комментарий для тех кто оскорбляет блондинок. если вы считаете что блондинкам не нужно это объяснять то зачем вы тогда на этот сайт суетесь?
ОтветитьУдалитья вполне согласна что не важно брюнетка ты или блондинка математика дана для всех и ее могут понять все если объяснить. этим и занимается создатель сайта.
а вы, те кто постоянно пользуются этим сайтом, молодцы что пытаетесь понять математику.
сайт прекрасный. я сама преподаватель математики и некоторым ученикам его рекомендую для самостоятельного изучения.
Благодарю преподавателя математики за отзыв. Этот сайт действительно для тех, кто хочет понять математику, а не просто зубрить то, что написано в книжках.
ОтветитьУдалитьПо поводу косинуса я не понял. Если речь идет об одном значении угла и его косинусе, то
cos87 радиан = cos304,88 градусов = 0,56975
Сперва выполняются математические преобразования гадкого утенка радиан в прекрасного лебедя градусов, а уже после этого добываем из этой птицы косинус - так и правильно и вкуснее :) Или наоборот, превращаем градусы в радианы и только потом занимаемся поиском косинуса.
По-моему, заучивание этого - неблагодарный труд... Проще понять и потом просто просчитывать -_-
ОтветитьУдалитьэто шикарно, смешно и понятно))) спасибо большое, блондинкам нравится)))
ОтветитьУдалитьтут недавно был такой красивый анимированный тригонометрический круг (спёртый с какого то сайта)...
ОтветитьУдалитьКуды делся? ссылку можно?
Спёртый с чужого сайта круг сюды не поместился, пришлось запихнуть в другое место анимированный тригонометрический круг
ОтветитьУдалитьНайдите sin α, если cos α = 0,6 и π < α < 2π
ОтветитьУдалитьИспользуем теорему Пифагора для тригонометрии - сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Поскольку угол задан в нижних четвертях, где синус отрицательный, к полученному результату приписываем знак минус.
ОтветитьУдалитьСпасибо, огромное)))) мой учитель и то хуже объясняет)больше унижает чем объясняет, вы просто гений;*
ОтветитьУдалитьчему равен косинус пи?
ОтветитьУдалитьКосинус пи, он же косинус 180 градусов, равен минус единице.
Удалитьпожалуйста, скажите мне где на единичной окружности будет находиться arccos1/3?
ОтветитьУдалитьАрккосинус 1/3 - это значение угла, при котором косинус расняется 1/3. Этот угол находится где-то между 60 и 90 градусов. Точнее, этот угол равен 70 градусов 28 минут плюс навороты периодичности синуса. В данном случае прямой и переносный смысл наворотов совпадает - если вращать единичный отрезок, числовое значение синуса, равное 1/3, будет повторяться с завидным постоянством.
Удалитьспасибо вам:)
ОтветитьУдалитья понимаю что "для блондинок"-это рекламный ход,надеюсь все остальные тоже понимают это.
я не очень разбиралась в этом,запуталась,а ваш простой тригонометр и ещё более простое объяснение помогло мне!
спасибо за то что вы делаете.
Когда первая блондинка-математик получит Нобелевскую премию за вклад в развитие физики, тогда можно будет считать, что этот сайт со своей задачей справился :)))
Удалитьздравствуйте. объясните мне как найти точку 7пи/2 на круге
ОтветитьУдалитьНужно разделить это на шаманские пляски по кругу и математику. Полный круг - это 2пи. Разложим эту дробь на составляющие:
Удалить7пи/2 = (4+3)пи/2 = 4пи/2+3пи/2 = 2пи+3пи/2 = 3пи/2
Полный круг, равный 2пи, выбрасываем в мусор - если вы выйдете из дома и накинете полный круг вокруг квартала, вы снова окажетесь в той же точке, где и были - дома.
На тригонометрическом круге это выглядит так - начинаем вести пальцем по кругу от точки ноль, обводим весь круг и снова наш палец попадает в точку ноль - это мы отсчитали 2пи. Этот мартышкин труд, сколько бы он не продолжался, на конечный результат не влияет.
Важным является только остаток - наши 3пи/2. Если провести пальцем по кругу три четверти окружности, мы окажемся в самой нижней точке окружности. Вот она нам нам и нужна. На тригонометрической окружности точки 7пи/2 и 3пи/2 совпадают.
Огромное вас спасибо! Без вашего сайта ничего бы не поняла! Я вообще самая блондинистая блондинка :D
ОтветитьУдалитьСамая блондинистая из блондинок - это Математика. Она вообще ничего не понимает в том, что мы с нею делаем:)))
УдалитьОгромное спасибо!)Я даже распечатала этот круг и он в школе всегда со мной)Без вашего сайта не понимала ничего и выучить было сложнее)
ОтветитьУдалитьКогда что-то начинаешь понимать - зубрить его уже не надо:)))
УдалитьСпасибо что разъяснили, но по вашей таблице тангенс корень из 3 равен 60 градусов, а 30 градусов это 1/корень из 3
ОтветитьУдалитьПрошу прощения, я был не прав. Значит я сам не умею этой таблицей пользоваться - как обычно, перепутал. Только в этот раз не синус с косинусом, а тангенс с котангенсом:)))
УдалитьА можно обьяснить как найти точку -5пи на 2?
ОтветитьУдалитьНужно отбросить полный оборот, равный 2пи, тогда остаток нам укажет на нужную точку. Распишу для положительного и отрицательного углов.
Удалить5пи/2=(4+1)пи/2=2пи+пи/2
-5пи/2=-(4+1)пи/2=-2пи-пи/2
Отбрасываем один оборот. Для положительных углов вычитаем 2пи, для отрицательных углов прибавляем 2пи.
2пи+пи/2-2пи=пи/2
-2пи-пи/2+2пи=-пи/2
Для отрицательного значения угла можем прибавить еще один оборот.
-пи/2+2пи=3пи/2
В итоге получаем:
5пи/2=пи/2
-5пи/2=-пи/2=3пи/2
Для положительного значения эта тоска находится вверху круга, для отрицательного значения угла эта тоска находится внизу круга.