Первозданная математика для блондинок, не ворованная. Математикой должны заниматься блондинки - они врать не умеют. Математика, геометрия, тригонометрия без фанатизма и стереотипов.
инженер-исследователь: У меня была очень интересная ситуация, связанная именно со спектром, а именно меня интересовало представление спектра излучения абсолютно чёрного тела в r,g,b, т.е. какова должна быть интенсивность излучений красного, зелёного и синего цветов, чтобы имитировать излучение абсолютно чёрного тела с температурой t. Когда я разобрался в этой задаче, то попытался вывести обратную формулу - нахождение цветовой температуры по спектру t(r,g,b). Рассмотрев эту формулу, я обнаружил, что цветовая температура может быть и сверхбесконечной и даже комплексной, и даже быть результатом деления на нуль при цвете вечерних сумерек! Всё дело в том, что цветовая температура имеет физический смысл только у источников тепловой природы, причём спектрально нейтральных, а у других источников она физического смысла не имеет и по этому может принимать бессмысленные значения!
Николай Хижняк: Вот, потихоньку начинаем добираться до прописной истины - бессмысленная математика не может давать осмысленный результат))) Вот простой пример того, что операция умножения, как и деление на ноль, невозможна, поскольку её результат лишен смысла: если два рубля умножить на два рубля то получим четыре рубля в квадрате. Вы умеете пользоваться рублями в квадрате?))))
Больше о новых взглядах на математику и её проблемах смотрите на странице "Новая математика"
инженер-исследователь: О принципиальном различии рациональных и иррациональных чисел можно составить представление взглянув на кривые заданные параметрически по формуле:
x=sin(a*t); y=cos(t), где x и y - абсцисса и ордината , t - параметр.
Если a - число рациональное, то у нас всегда выйдет либо замкнутая, либо конечная кривая, если a - иррационально, то кривая будет незамкнутой и при стремящемся к бесконечности t, будет пытаться заполнить некоторую плоскую фигуру. При создании сложных математических моделей наблюдается подобная чувствительность к рациональности или иррациональности начальных параметров, причём часто эту чувствительность не удаётся устранить выбором соответствующих единиц измерения (скажем, невозможно подобрать такие единицы длины, в которых и радиус и диаметр одной и той же окружности были бы числами рациональными - хоть одна величина будет иррациональной), т.е. здесь ситуация аналогична . При этом, как правило, математическая модель оказывается столь сложной, что без ЭВМ к ней подойти невозможно, а ЭВМ воспринимает только рациональные числа (теоретически можно разработать схемы кодировки и иррациональных чисел, но к сожалению, кодируемые ими числа будут скорее исключениями, в мире иррациональных чисел и не любое число так закодируешь), поэтому ошибки счёта в таких случаях демонстрируют - мусор на входе - мусор на выходе. Для борьбы с этим явлением используются приближённые формулы, которые хотя и не столь точно отображают реальность, но не так чувствительны к округлению величин на входе.
В моём случае из-за округления всех входящих величин до рациональных чисел в ряде знаменателей образовались нули. Если бы не это округление, в знаменателях у меня образовались бы числа, по модулю очень маленькие, но не нули! Также деления на нуль мне удалось бы избежать, если бы я воспользовался бы приближённой моделью, где вообще действия деления отсутствуют. Здесь можно увидеть парадоксальное явление - более приближённая модель отображает мир более адекватно,чем более точная!
Николай Хижняк: Парадокс приближенной модели, на мой взгляд, заключается в том, что мы не знаем математики и не умеем математикой пользоваться. Давайте оглянемся на историю наших представлений о числах. Всё, как в школьной программе: сперва мы освоили натуральные числа, потом рациональные, затем иррациональные… И сегодня мы продолжаем делить числа по каким-то признакам.
Давайте я вам объясню, как числа вижу я. Наиболее наглядным аналогом чисел будет электромагнитное излучение. Белый свет, при прохождении через треугольную призму, образует цветовой спектр. Это электромагнитные волны, которые разделены в зависимости от длины волны. Определенной длине волны соответствует определенный цвет, при этом цветовой спектр является НЕПРЕРЫВНЫМ. Вся совокупность волн разной длины образует белый свет. В световом спектре мы не выделяем натуральные волны, рациональные или иррациональные волны. Для меня число в общем виде – это белый свет, то есть все числа не зависимо от их вида. Конкретные числа я вижу как непрерывный спектр после разложения через треугольную призму.
Все волны электромагнитного излучения имеют одинаковые свойства, не зависимо от длины волны. Точно так же происходит и в области чисел – не зависимо от способа получения, все числа обладают одинаковыми свойствами. Изменяя скорость движения источника света, мы изменяем длину волны электромагнитного излучения (красное или фиолетовое смещение), при этом весь спектр по-прежнему остается непрерывным. То, что было излучением одной длины волны, стало излучением с другим значением длины волны. Место этого излучения заняло излучение с другими параметрами. Подобный процесс происходит и при математических действиях – рациональные числа превращаются в иррациональные, иррациональные числа могут превращаться в целые числа, но вся совокупность чисел по-прежнему остается неизменной.
Продолжу аналогию между числами и электромагнитными волнами. Точность вычислений в числах – это расстояние от призмы до конкретной точки, в которой мы измеряем длину волны излучения. Все наши потуги определить миллион-миллиардный знак после запятой у конкретного иррационального числа – это похоже на измерение длины волны в точке на бесконечном расстоянии от призмы. Со стороны это выглядит полным идиотизмом – мы очень долго тащимся со своими измерительными приборами, тащимся, тащимся, потом в изнеможении падаем и бросаем вперед приборы со словами: «Там еще никто не измерял!». В известном анекдоте при этом была брошена вперед шапка и было сказано: «… а вот там я бурячки посажу!».
Точность вычислений – это тот инструмент, который должен стирать все различия между числами. К любому целому числу можно приписать бесконечное количество нулей после запятой, но у нас хватает ума не делать этого. Если наши программисты не умеют решать проблему рациональных и иррациональных чисел при математических действиях, то это проблемы программистов и математиков, а не проблемы чисел. Вот маленький пример нашего идиотизма. Фирма снимала комнату под офис на четвертом этаже. Эта комната имела номер 407. Затем они переехали в другую комнату под номером 308 на третий этаж. Но переехали они вместе С НОМЕРОМ КОМНАТЫ. Эти вундеркинды сидят в новой комнате, а на дверях прицепили старый номер 407. Естественно, нормальным посетителям в голову не приходит искать эту фирму по всем этажам, когда они видят на четвертом этаже закрытую дверь без опознавательных знаков между комнатами 406 и 408 (все остальные номера комнат никуда не исчезали).
Поскольку я начал рассуждать о сходстве свойств чисел и электромагнитного магнитного излучения, попутно выведу один физический закон. Пусть физики проверяют его правильность. Особо хочу подчеркнуть тот факт, что при изменении скорости движения источника света изменяется длина волны излучения, скорость света при этом не меняется.
Как известно, числа имеют одно свойство, общее для всех чисел:
при умножении числа на обратное число результат остается неизменным и равняется единице (за исключением числа ноль);
при сложении положительного и отрицательного числа результат остается неизменным и равняется нулю (за исключением числа ноль, которое не имеет знака).
Особо хочу подчеркнуть, что в данных законах речь идет не о двух разных числах имеющих разные значения по модулю, а об одном числе, имеющем одно значение.
В переложении на физику этот закон можно сформулировать так:
произведение скорости источника света на длину волны электромагнитного излучения – величина постоянная и равняется скорости света.
Если этот закон справедлив, то это позволит нам определять абсолютную скорость движения любого источника электромагнитного излучения в нашей Вселенной. Что это нам даст? Мы сможем перейти от относительной геоцентрической модели Вселенной к абсолютной. Лично меня интересует только один вопрос: наша Вселенная вертится? Как вы помните, с вопросом о вращении Земли в нашей истории тоже были проблемы.
Естественно, мой экспромт вызывает гораздо больше вопросов, чем дает ответов. Но вопросы эти довольно интересные:
1. Применимо ли понятие «абсолютная система координат» к нашей Вселенной?
2. В каких единицах измерения необходимо измерять указанные физические величины?
3. Что такое скорость света – где, как и почему она возникает? Чем определяется именно такая величина скорости света?
4. Существует ли такая длина волны электромагнитного излучения, которая отличается от всех остальных? Если да, то чем именно она отличается?
Я не задаю вопрос «Может ли равняться нулю скорость источника электромагнитного излучения и, следовательно, скорости света?», поскольку я могу дать на него математически обоснованный ответ.
Если удастся получить правильные ответы на поставленные вопросы, то сам факт существования или отсутствия в природе сформулированного мною закона нам будет уже безразличен. Об окружающем мире мы будем знать гораздо больше, чем знаем сегодня.
инженер-исследователь: Как-то я обнаружил странный эффект. Мне пришлось писать программу для ЭВМ, которая должна была моделировать действие некоторой сложной установки. Уравнения, описывающие работу отдельных её узлов были известны досконально, оставалось из них собрать модель работы единого целого и тут меня ждал сюрприз - машина, при любых начальных параметрах, сообщала об ошибке деления на нуль. Далее я исследовал ту часть программы, где наблюдалось это явление и обнаружил, что деление на нуль неизбежно, если входящие параметры выражаются рациональными числами, но при иррациональных начальных параметрах, модель даёт весьма реальные результаты. Проблема заключалась в том, что компьютер округлял все иррациональные числа до рациональных, что и приводило к нежелательному эффекту деления на нуль. Позже я обнаружил целый ряд ситуаций, когда вычисление по приближённым формулам, полученным в докомпьютерную эпоху, для того чтобы упростить инженерные расчёты, дают куда более соответствующие реальности результаты, чем вычисления по точным моделям на ЭВМ. Обычно, в таких случаях, учёные и инженеры, обнаружившие этот эффект, предполагали неполноту наших знаний о механизмах, моделируемых процессов, но я исследовав эти случаи обнаружил, что в них математическая модель чувствительна к роду величин начальных параметров и, если все эти параметры выражаются рациональными числами, то она даёт результат принципиально отличный от ситуации, когда хоть один параметр иррационален. В таких случаях, главным источником бед является то, что ЭВМ, может оперировать только рациональными числами, что и заставляет машину давать неверные результаты.
Здесь можно вспомнить , принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число. Судя по всему, очень многие функции, описывающие природу, обладают близким свойством, а именно если все их аргументы - рациональные числа, то функция принимает одно значение, но если хоть один аргумент иррационален, то совсем другое. Другой вопрос, что во Вселенной, за всё время существования, ни разу не реализовывалась ситуация, когда все аргументы этих функций выражались рациональными числами!
Николай Хижняк: Честно говоря, я ещё не дорос до необходимости делить числа на рациональные и иррациональные. Я их пока делю на реальные и выдуманные. Реальные - это те числа, которые имеют отражение в природе. Выдуманные - это те числа, при помощи которых взрослые дяди играют в виртуальные игры (как и положено играм, они очень напоминают реальность).
Если происхождение чисел влияет на результат - это не математика, это виртуальные игры в числа. В математике существует очень мощная защита от дураков. Деление на ноль - это второй уровень такой защиты. Первый уровень мы победоносно взломали, даже не заметив его существования.
Вот реальный пример защиты от дураков. Вспомните площадь четырехугольника - она равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Какой угол брать? Любой - синус альфа равен синусу (180 градусов минус альфа). В каком бы порядке мы не брали диагонали и какой бы угол не взяли, значение площади четырехугольника всегда будет одним и тем же. Эту задачку мы правильно решили.
Теперь представьте, что кто-то считает, что синус (180 градусов минус альфа) равен косинусу альфа. Пользуясь приведенной формулой площади они получают два разных значения площади для двух разных углов между диагоналями. Они начинают свято верить в то, что каждый четырехугольник имеет две площади. У них будет своя математика, ничем не хуже нашей, но жить они будут в другом мире - их математика будет давать другое описание окружающей действительности.
Маленький исторический экскурс. Если бы сегодня мы продолжали считать, что земля держится на трех китах, то я вас уверяю, у нас уже была бы газовая смесь под названием "Дыхание кита". При взаимодействии горных пород с этой газовой смесью камень превращался бы в жидкую лаву. Эта газовая смесь была бы "научным" доказательством существования китов под землей и очень хорошо бы иллюстрировала окружающую действительность - киты выдыхают, камень плавится, на земле извергаются вулканы и вытекает лава.
Что касается наших программистов, то, будь я Богом, я бы никогда не доверил им программировать мою новую вселенную. Наша же Вселенная работает по законам математики, для которой, судя по всему, рациональных чисел просто нет. Есть числа - и природе этого вполне достаточно)))
У многих, в том числе и у блондинок, изучающих математику, сейчас каникулы. Но – не у всех. Есть люди, в том числе и блондинки, которые по-прежнему продолжают заниматься изучением математики. У вас никогда не возникал вопрос, чем в математике интересуются взрослые дядьки? Вот, во время каникул, я предлагаю вам взглянуть краешком глаза на некоторых из них, в том числе и на меня. Материалы эти взяты из источников, находящихся в свободном доступе или публикуются с любезного разрешения авторов. Все эти публикации размещены в рубрике «Легенды о математике». Общим для них является то, что в этих публикациях так или иначе затронуты некоторые проблемы математики. Реальные это проблемы или надуманные – решайте сами.
инженер-исследователь: Как-то на досуге я задумался об экспериментальных основаниях математики. Физики, химики, биологи и т.д. любят говорить, что их науки экспериментальные, а на какой экспериментальной базе держится математика?
Первое, что мне пришло в голову - работа со счётным материалом. Вспомним, как учат маленьких детей: "Прибавим к двум палочкам три палочки и получим пять палочек!" - чем не математический эксперимент. Второе, что мне пришло в голову - геометрия, через которую определяются тригонометрические функции и через которую можно относительно легко определить первые две производные и интеграл - вот и все экспериментальные основания математики. Самое удивительное здесь то, что основанная на такой, относительно небольшой экспериментальной базе, наука, способна принимать участие в описании даже очень экзотических явлений и процессов, но при этом возникает вопрос: "А не столкнёмся ли мы с явлениями математически неописуемыми, для которых наука со столь ограниченной экспериментальной базой окажется очень слабой?"
Николай Хижняк: Неплохо вас заносит ))) Если двигаться и дальше в этом же направлении, далеко зайдете. Лично я, двигаясь в эту сторону, в данный момент застрял на тригонометрических функциях )))
Экспериментальная база математики гораздо меньше, чем вам кажется. Там всего один критерий. Ну, может еще парочку кто-то наскребет при ОЧЧЧЧЕНЬ большом желании (диссертации нужно же будет на чем-то защищать)))) Я этот критерий начал применять и вот какие результаты получаются:
Это только самые первые шаги, которые особо не влияют на математическое мировоззрение. Если углубляться дальше... Башню элементарно может снести )))
Кстати, о палочках. Очень интересный вопрос: почему один плюс один равняется два? Где математическое доказательство? В «Principia Mathematica» Бертрана Рассела и на 362-й странице??? Это, конечно же, бред. Равенство 1+1=2 должно доказываться ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО без всяких рассуждений. Я до этого ещё не добрался, пока барахтаюсь в тригонометрических функциях. Чувствую, что без них очень трудно во всём разобраться. Кстати, равенство 1+1=1 доказывается гораздо проще, экспериментально, и логика в этом равенстве есть неоспоримая. Откуда же тогда взялось равенство 1+1=2 ??? Я знаю даже грань, которая эти два равенства разделяет, но где искать экспериментальные подтверждения?
Что же касается вашего последнего вопроса, уверяю, ваши страхи напрасны. Могущество математики заключается в очень узкой ограниченности её экспериментальной базы. В природе не существует явлений, которые нельзя описать математически.
На следующее утро, по дороге на работу, хозяин бесконечной гостиницы случайно заметил в газетном киоске свежую газету с фотографией своей «Бесконечной гостиницы» на первой полосе. Огромные буквы заголовка кричали: «Сенсация! Величайшее научное открытие в «Бесконечной гостинице»!!!». Естественно, хозяина гостиницы не мог не заинтересовать вопрос: кто это, без его ведома, и что именно открыл в принадлежащей ему гостинице?
У себя в кабинете хозяин гостиницы внимательно прочел статью, в которой подробно рассказывалось о том, как ученые издеваются над постояльцами его гостиницы. «Идиоты! Им только пасочки в песочнице лепить!» - закричал он и выскочил из кабинета.
Когда Математик, теперь уже со степенью Кандидат в Доктора Математических Наук, увидел разъяренного хозяина гостиницы, быстро направлявшегося прямо к нему, он сразу понял, что сейчас произойдет великое научное закрытие. Дело происходило в холле гостиницы, поэтому всё кончилось очень быстро. Хозяин гостиницы схватил Математика за воротник, развернул в сторону входной двери и мощным пинком под зад, как бильярдный шар в лузу, отправил остепененное тело в сторону входной двери. Кто-то из служащих гостиницы, в самый последний момент, предусмотрительно открыл входную дверь, так что дверь при этом не пострадала (это уточнение специально для членов Общества Защиты Дверей). Вот так скромно закончилась карьера Математика в гостиничном бизнесе, не смотря на то, что именно здесь он себе состряпал ученую степень.
Как развивались дальше события в «Бесконечной гостинице»? После своего лучшего удара, хозяин гостиницы отправился на поиски Блондинки. Это была задача потруднее, чем расселение бесконечного числа посетителей в бесконечной гостинице. Хозяин гостиницы не знал, кто к нему приехал. В газетном отчете о величайшем научном эксперименте было сказано «друг». Совершенно естественно, он начал разыскивать всех своих друзей, разбросанных по всем галактикам. Когда выяснилось, что никто из них в его гостинице не останавливался, он уже хотел было списать слово «друг» на обычное журналистское вранье. Но тут его осенило – под словом «друг» может скрываться подруга. После этой догадки хозяин гостиницы уже ни сколько не сомневался, что в подобную историю могла попасть только Блондинка. Поиск возможной подруги он начал именно с неё:
- Привет, котеночек, – отозвалась Блондинка
- Ты где? – спросил хозяин гостиницы.
- Я здесь – вполне логично ответила Блондинка.
Хозяин гостиницы не стал выяснять, в какой галактике и на какой планете она находится, он спросил конкретно:
- Ты в какой гостинице остановилась?
- В твоей, – честно признался загадочный «друг хозяина гостиницы».
Выцарапать Блондинку с крутой тусовки оказалось делом не простым. Хозяину гостиницы пришлось срочно организовать банкет в честь Блондинки в собственном ресторане «Бесконечной гостиницы», только после этого вся тусовка, вместе с Блондинкой, согласилась ехать в гостиницу.
Хозяину гостиницы предстояло сделать то, что с самого начала обязан был сделать Математик – поселить Блондинку в один из бесконечного множества апартаментов «Для друзей хозяина гостиницы». Блондинка, из кокетства, немного повозмущалась тупостью и враньем сотрудника гостиницы, но блаженно притихла, когда хозяин гостиницы понес её в апартаменты на собственных руках. В этих апартаментах наши герои могли бы и остаться, но у хозяина гостиницы было еще одно срочное дело.
По бесконечному коридору с номерами «Для космозоологов», как того и следовало ожидать, очередной постоялец из номера под номером «эн» перебирался в номер под номером «эн плюс один». Извинившись за причиненные неудобства, хозяин гостиницы предложил постояльцу лично провести его в новый номер. Хозяин гостиницы не был математиком, поэтому не стал запускать принцип домино в обратном направлении, переселяя всех постояльцев обратно, он вежливо провел постояльца в номер под номером один. Великое переселение народов в бесконечной гостинице на этом благополучно завершилось.
Конечно же, вы правильно догадались, что после всей этой математической неразберихи Блондинка вышла замуж за хозяина гостиницы, жили они долго и счастливо и было у них много умных и красивых деток... Но это ещё не конец нашей истории.
После такого издевательства над собой, Блондинка серьезно занялась математикой. Она внимательно прочла газетную статью о научном открытии, и у неё возник естественный вопрос: почему всё так красиво и просто получилось у математиков, и так отвратительно выглядело в действительности? Мало-помалу она начала осваивать азы математики. А поскольку Блондинка была блондинкой, то освоить язык определений, которым пользовались математики, ей было не под силу. Поэтому она начала выбрасывать из математического языка всё лишнее.
Упростив язык математики до минимума, Блондинка, к своему великому изумлению, начала понимать математику. Для начала, она опубликовала «Легенду о Синусе и Косинусе», потом придумала определение натуральных и целых чисел, основанные на математике. Блондинке это очень понравилось. После этого она сгребла в одну кучу все формулы приведения и заменила их одним правилом прямого угла. Но это всё было не больше, чем баловство. Первая серьезная работа Блондинки называлась «О симметрии математических действий». Собственно, с этого началось восхождение Блондинки на научный Олимп.
Естественно, Блондинка не могла забыть ту историю, невольной участницей которой она стала. Вскоре она ответила на вопрос, в чем ошибка теории множеств: «Не надо ставить знак равенства между множеством чисел и всеми остальными множествами, если не хотите оставаться в дураках». Математики были в ужасе от Блондинки. Особенно после её фразы: «Вместо того, чтобы заниматься делом, они (то есть математики) играют в ими же когда-то придуманные игры».
Физики были от Блондинки в восторге. Она им показала, как выводится Уравнение Вселенной, по каким формулам Бог или Природа создали эту Вселенную, продемонстрировала ту математику, по которой всё во Вселенной работает. Именно при поддержке физиков Блондинка взобралась на самую вершину научной лестницы – она возглавила Высший Ученый Совет.
Очень многие Великие Ученые были против Блондинки, потому что она была не такой, как все. Они, когда-то молодые и талантливые, были перемолоты системой в научно-бюрократический фарш, поэтому поступали с остальными точно так же. Подковерная возня вокруг науки и научных званий полностью убивала в них ученых. Высокомерные и самодовольные бюрократы - вот во что превращались бывшие вундеркинды под конец своей научной карьеры. Исключения из правил были редкостью.
Совершенно естественно, что Блондинка сломала научную бюрократическую машину, так бережно создаваемую Великими Учеными на протяжении тысячелетий. А что с неё возьмешь? На то она и блондинка, что бы машины ломать. Вот теперь всё.
