Свойства пропорций продолжение

Дальше свойства пропорций продолжают величайшие открытия современности: крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой средний; средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний. Блин, я забыл написать слово "каждый". Что теперь будет с математикой? Ужас!

Всё это вы должны вызубрить на зубок и тараторить на уроке, как по писанному. Печальная участь. Можно ли вам как-то помочь? Легко. Как выглядит пропорция в её классическом виде, помните? Разукрасим пропорцию, как детки разукрашку.

Красивая пропорция

Зелененькими у нас получились крайние члены пропорции. Прям, как зеленые человечки. Нет, не те, крымские дрессированные обезьяны, а те, которые из летающий тарелок. Они мне более симпатичны - с автоматами калашникова их никогда не видели, значит и явных намерений убивать у них нет. Синенькими у нас оказались средние члены пропорции. Холодно им, аж посинели. Вот и залезли они в средину пропорции - погреться. А теперь посмотрим на свойства крайних и средних членов пропорции, о которых так любят спрашивать математики.

Крайние и средние члены пропорции

Вот какой чудненький пейзаж получился. Или это портрет? Точно, групповой портрет членов банды пропорции. Прям виньетка. Что с бандой будет дальше? Как всегда - средние члены сбегут за границу, крайними окажутся крайние члены. Или я что-то напутал? Правильно, в математике крайние крайними не бывают. В математике, как на кладбище, все равны.

Ну вот, думаю, теперь запомнить свойство членов пропорции вам будет гораздо проще. Синенькие дружат с синенькими, зелененькие - с зелененькими. А можно даже этого не запоминать? Можно. Если вы будете знать ещё одну страшную тайну математиков. Нет, не про коэффициент пропорциональности. Здесь мы обойдемся без него.

Страшная тайна заключается в том, что это не свойства пропорции. Это свойства равенства и умножения. Если мы переносим один из сомножителей через знак равенства, то он из числителя попадает в знаменатель. Если мы из знаменателя переносим... Блин, а кого мы переносим? Знаменательный сомножитель. Во, как красиво я придумал. Ведь в знаменателе может прятаться целая банда членов алгебраического выражения! Так вот, при пересечении знака равенства, знаменательный сомножитель попадает в числитель.

Это как изменение знаков плюс-минус в равенстве со сложением и вычитанием. Только при равенстве с умножением и делением меняются числитель-знаменатель. Типа, перебежчики через границу. Там они были чужими, здесь - свои. Или на оборот. Разведчик и шпион - это один человек. Как мы его будем называть, зависит от того, с какой стороны границы мы на него смотрим. Если он рядом - значит шпион и враг. Если он по ту сторону границы - значит он разведчик и герой. Вот такая она, математика. Нет для неё ни своих, ни чужих. Вы не поверите, но в России и в Америке математика абсолютно одинакова. Ну, разве что маразмом слегка по разному приправлена.

Лично я не запоминаю тот бред, который придумали математики. Для меня достаточно знать, как математики дразнят свои члены. Пардон, называют члены своих пропорций. Я выясняю, чяво старцам надобно, и дальше просто пользуюсь математикой. Например, они хотят узнать, чему равен последний крайний член пропорции. Как не считай, хоть по часовой стрелке, хоть против, хоть зигзагом - это будет буква "d". А дальше я просто тасую буквы, как карты в колоде, в поиске нужной мне комбинации. Показываю в замедленной съемке.

Преобразование пропорции

Вот такая трехходовка у нас получилась, как сказали бы шахматисты. Когда вас вызовут к доске и попросят назвать свойства пропорций, ни один учитель не будет знать, что вы делаете во время молчания: вспоминаете священный текст из учебника или в уме буковки переставляете. Я всегда пользуюсь исключительно методом перестановки, свои священные определения математики пусть сами учат. Похоже, их математикой пользоваться никогда не учили.

Теперь нам осталось рассмотреть последнее свойство пропорции. А там всё ещё интереснее. 

Графический метод решения системы уравнений

График второго уравнения

Одним из методов решения системы уравнений является графический метод. Для всех жаждущих халявы даю ссылку на страницу, где можно получить графический метод решения системы уравнений сразу и бесплатно (лично меня Интернет по ссылке не пускает, причину я указал в конце страницы). Учитесь пользоваться благами цивилизации и не морочьте мне голову:))) Приводите уравнения к церковно-приходскому (пардон, каноническому) виду, вставляете коэффициенты уравнения в ячейки и нажимаете волшебную кнопочку "Ввод". В результате вы получите решение системы уравнений, к которому прилагается графический метод решения. Есть два существенных замечания.

1. Если перед каким-то коэффициентом стоит знак минус, значит вводить нужно число со знаком минус.

2х-у+5=0
2х-у=-5
(2)х+(-1)у=(-5)

2. Эта железяка не работает с нулевыми коэффициентами. Программа брезгливо игнорирует уравнения, в которых хотя бы один коэффициент равен нулю. Она считает себя слишком умной, что бы решать такие примитивные уравнения. Интересно, как к такой числовой дискриминации относится общество защиты нуля?

Сейчас мы сами решим графическим методом систему уравнений, один из коэффициентов которого равен нулю. И так, у нас есть система уравнений:

х+у=5
у=-х

В каноническом виде, удобоваримом для норовистой программы, эта система будет выглядеть так:

х+у=5
х+у=0

Система коэффициентов в этих уравнениях выглядит следующим образом:

(1)х+(1)у=(5)
(1)х+(1)у=(0)

Вот мы и нарвались на систему уравнений, в которой один из коэффициентов равен нулю. Но математикам нужно показать графическое решение этой системы. Без картинки они не поверят, что мы добросовестно пытались решить. Что делать?

Берем в руки главную математическую святыню - декартову систему координат - и пробуем её разукрасить своими каракулями. Такая себе разукрашка для взрослых.   

Декартова система координат

Теперь нам нужно определить точки пересечения первой прямой с осями координат. Для этого подставляем в первое уравнение значение икс, равное нулю, и получаем значение игрек.

х=0
х+у=5
0+у=5
у=5

Координаты первой точки 0 по иксам и 5 по игреку.

Теперь определяем координате второй точки. Приравниваем к нулю игрек и подставляем в уравнение.

у=0
х+у=5
х+0=5
х=5

Координаты второй точки 5 по иксу и 0 по игреку. Носим эти точки на декартову систему координат и проводим через них прямую. Мы получим график первого уравнения.

График первого уравнения

Для построения графика второго уравнения проделываем тот же фокус - сперва икс, потом игрек приравниваем к нулю.

х=0
х+у=0
0+у=0
у=0

Упс! При иксе, равном нулю, игрек то же равен нулю. Вот досада! Оказывается, наш график проходит через пуп Вселенной. Точнее, через пуп математики - центр декартовой системы координат. Координаты этой точки 0 и 0.

Ничего. Вторую точку графика мы можем получить, приравняв икс к единице.

х=1
х+у=0
1+у=0
у=-1

Вторая точка имеет координаты 1 и -1. Строим второй график.

График второго уравнения

Как видите, у нас получились две параллельные прямые, которые не имеют точки пересечения. В подобных случаях математики учат нас говорить: "Система уравнений не имеет решений". Рисуем в тетрадке два графика, переписываем глубокомысленный вывод и подаем всё это пред светлы очи учителя.

P.S. А, может, тупая железяка не так уже и глупа? Она не заморачивается с системами уравнений, у которых нет решений или решений бесконечное множество. Это только тупые математики заставляют всю эту муть решать. По-умному, прежде, чем записывать систему уравнений, нужно выполнить анализ самих уравнений. Могут ли данные уравнения образовывать систему уравнений? Тогда все системы уравнений будут иметь решения. А варианты "нет решений" и "бесконечное множество решений" будут отсеиваться на этапе анализа. Представьте, на сколько меньше глупостей будет в математике. А теперь подумайте, стоит ли тупо повторять то, чему вас когда-то учили?



Машина Времени, песня "Однажды мир прогнётся под нас". Парадокс состоит в том, что в этом мире меняется всё, кроме религии, математики и нас самих - диких, лживых, кровожадных тварей, гитлеровская и путинская армии тому пример. И всё же я верю в лучшее - диких тварей мы уничтожим, математику сделаем проще и понятней, а сами превратимся в богов, создающих новые вселенные.

Задача про маляров

Задача про маляров

Сейчас мы с вами решим задачу про маляров. Звучит эта задача так:

Один маляр может покрасить зал за 6 дней. Двое маляров смогут этот же зал покрасить за 2 дня. За сколько дней покрасит зал второй маляр?

Предупреждаю сразу - я не знаю, как правильно решать эту задачу. Кроме преподавателя, этого никто не знает. Решение зависит от того, какую тему вы сейчас проходите. Я могу в принципе решить эту задачу. Первый вариант решения задачи про маляров я выполню по действиям.

1. Какую часть зала красит первый маляр за один день?

1:6=1/6

2. Какую часть зала первый маляр покрасит за два дня?

2*1/6=2/6=1/3

3. Какую часть зала за два дня покрасит второй маляр?

1-(1/3)=(3-1)/3=2/3

4. Какую часть зала покрасит второй маляр за один день?

(2/3):2=(2/3):(2/1)=(2/3)*(1/2)=(2*1)/(3*2)=2/6=1/3

5. За сколько дней второй маляр покрасит покрасит зал?

1:(1/3)=1*(3/1)=(1*3)/1=3/1=3

Ответ: Второй маляр покрасит зал за 3 дня.

Эту же задачу можно решить через икс или через систему уравнений с двумя неизвестными. Но я сомневаюсь, что взрослым дядькам и теткам из старших классов преподаватели будут задавать такие простые задачки про маляров.

Здесь самое интересное не ход решения, а смысл решения этой задачи. Решать задачу ради оценки - это глупо. Сама математика возникла из практических потребностей человека. Вот практическое применение полученного решения - это уже гораздо интереснее. Какие же практические выводы можно сделать из решения этой задачи про маляров? А вот какие.

1. Второй маляр должен получать зарплату в два раза большую, чем первый маляр. Ведь он работает в два раза лучше.

2. В шею нужно гнать таких работников, как первый маляр. Лучше иметь одного хорошего работника, чем двух плохих. Помните народную мудрость: "За одного битого двух не битых дают"?

Свойства пропорций

Рассмотрим то, что математики называют "свойства пропорций". Для начала посмотрим картинку, где свойства пропорций расписаны, как пасхальные яйца.

Свойства пропорций

Под первым номером стоит следующее свойство пропорций: произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции. У меня возникает естественный вопрос - это свойство принадлежит равенству, умножению или пропорции? Лично я считаю, что пропорции оказались в этой очереди только потому, что они содержат знак равенства и умножение (оно же деление без фонограммы). Вспомните такое свойство равенства: если левую и правую часть равенства умножить на одно и то же число, равенство не изменится. Берем пропорцию, умножаем, сокращаем, смотрим, что в остатке.

Свойство равенства

Как видите, первое свойство пропорций можно получить без всяких перестановок членов пропорции. Да, результат показывает, что произведения крайних и средних членов пропорции равны. Собственно, это и есть математика. Если результат правильный, существует много путей получения такого результата. Достаточно просто воспользоваться математикой. Давайте ещё раз посмотрим на первое свойство пропорций через коэффициент пропорциональности.

Первое свойство пропорций

Получилось абсолютное равенство, замаскированное под пропорцию. В противном случае у нас не будет ни равенства, ни пропорции. Только вот произведение состоит не из двух, а из трех сомножителей: числителя, знаменателя и коэффициента пропорциональности. Для превращения этого равенства в пропорцию мы используем переместительные (коммутативные) и сочетательные (ассоциативные) свойства умножения. Вопрос по ходу: коммутативные и ассоциативные свойства математических действий - это разные свойства или одно свойство под разными именами? То, что математики очень любят одно и то же называть разными словами, мы уже знаем. Что бы нас запутать и запутаться самим. Но зато математики знают очень много умных слов. Им есть чему нас, неуков, учить.

Это мы из пропорции получили умножение трех чисел. Теперь попробуем выполнить противоположную процедуру - из умножения трех чисел получим пропорцию. Давайте понаблюдаем за этим "божественным актом сотворения"пропорции.

Берем три числа x, y, z (без всякой задней мысли о неизвестных, просто чтобы с привычными a, b, c, d, k не путать), умножаем их между собой, сравниваем, коммутируем-ассоциируем и создаем пропорции.

Рождение пропорций

У нас получились три разные пропорции, созданные из трех разных сомножителей. В качестве коэффициентов пропорциональности в этих пропорциях выступает один из сомножителей. Интересно, эти три пропорции являются близнецами, тройняшками или дальними родственниками? Что-то общее у них должно быть. Например, произведение членов этих трех пропорций (средних или крайних - без разницы) равны между собой. Но это ещё ни о чем не говорит. Существует бесконечное множество других пропорций, произведение членов которых равны произведению членов этой, почти святой, троицы)))

Знают математики о принципах рождения пропорций? Понятия не имею. В учебниках я этого не видел. Возможно, где-то в какой-то диссертации это и описано, но искать крупицу истины в океане математического мусора? Вы меня извините, но пусть математики научатся сами искать то, что умные люди создают. Речь не обо мне. Я говорю о тех многочисленных вещах, которые математики в упор не хотят видеть. Например, вы когда нибудь видели денежные купюры или монеты со знаком минус? И я не видел. А что нам математики рассказывают об отрицательных числах? Что они есть. Выводы делайте сами.

Дальше мы поговорим о втором и третьем свойствах пропорций. А пока, Adele поет песню "Skyfall" без всякой фонограммы.

Пропорции

Наконец-то мы добрались до пропорций. В математике пропорции - это самые настоящие пляски шаманов с бубнами. Это нам так говорят, что шаман своими плясками может вызывать дождь. На самом деле шаман смотрит на приметы и только тогда решает, плясать ему или не плясать. Но давайте посмотрим, что математики пишут о пропорциях.

Пропорции

И так, пропорцией математики называют равенство двух отношений. Это Святое Определение пропорции. Тупо учим и говорим его математикам. Если какой-нибудь садист от математики спросит вас "Что такое четвертое пропорциональное?" нужно отвечать "Это один из членов пропорции". А теперь отодвинем проповедников математики в сторону и попробуем сами разобраться, что же это такое - пропорции?

Еще раз. Пропорция - это равенство двух отношений. А что такое отношение? Отношение - это простая дробь. Простая дробь - это рациональное число. Рациональное число - это деление. Деление - это отношение... Короче. Получается, что Маша - это Ксюша, Ксюша - это Люба, Люба - это Таня... Как зовут девочку? А фиг вас поймешь. Вот теперь пора вывести мошенников от математики на чистую воду.

Берем математическую библию и внимательно читаем: "Рациональные числа записываются в виде дробей неоднозначно. Так, дроби

Рациональное число

выражают одно и то же рациональное число. Поэтому для записи рациональных чисел употребляют лишь несократимые дроби.

Одно и то же рациональное число может быть записано разными вариантами одной дроби. Математики нас учат сокращать дроби. Как заправские шулеры, в этот момент они прячут туз в рукав. Сокращение дроби - это туз в рукаве. Когда математики достают свой туз из рукава? Когда начинают нам рассказывать о пропорциях.

Пропорция - это одно и то же рациональное число, записанное дважды со знаком равенства.

Пропорция - это банальное расширение дроби. Что такое расширение дроби? Это умножение числителя и знаменателя на одно и то же число.

Дальше у нас будут курсы кройки и шитья. Видите на картинке рядочек дробей? Сейчас мы их запишем чуточку по другому. Дальше берем ножницы, вырезаем две дроби и один знак равенства. Сшиваем это в кучку - всё, пропорция готова.

Расширение дроби и пропорция

Что мы делаем дальше? В старину брали гусиное перо, обмакивали его в чернила и ставили кляксу на одном из чисел в пропорции. Всё, классическая задача на пропорции готова, можно переписывать в учебник. Сейчас аэрозольные баллончики гораздо легче найти, чем гусиные перья и чернила.

Задачи на пропорции

Но в Святом Математическом Писании есть четыре буквы, обозначающие пропорции. Как быть с ними? Возьмем и мы в руки любимые цацки математиков и посмотрим, как из одной дроби получаются две.

Пропорция

Как видите, для наведения тени на плетень математики тупо подменяют две понятные буковки одной непонятной. На этом и держатся страх учеников перед неведомым и могущество пропорций в руках математиков. Ну чем не шаманы?

Что такое буква "k" в наших формулах? Это коэффициент пропорциональности. Именно он превращает одну дробь в пропорцию. Для числителя и знаменателя этот коэффициент пропорциональности одинаковый. Если эти коэффициенты будут разными - никакой пропорции не получится. Это и есть главный секрет математических пропорций.

Коэффициент пропорциональности

Почему в математическом справочнике нет ни слова о коэффициенте пропорциональности? Либо математики сами об этом не знают, либо шаманы свято хранят свои тайны. Ведь с коэффициентом пропорциональности все волшебные свойства пропорций испаряются, как дым. Дым над водой - "Smoke On The Water" группа Deep Purple