Великое научное открытие в бесконечной гостинице

Автор Николай Хижняк

Блондинка приехала в этот город по своим делам, поэтому визит к хозяину гостиницы она отложила на потом. Это обстоятельство спасло Математика от немедленного увольнения из гостиницы. Тем временем жизнь в гостинице стабилизировалась: блондинка занималась своими делами, космозоологи продолжали переселяться из номера в номер. А как иначе? Космозоологов и номеров в гостинице бесконечное множество, значит, и процесс переселения будет длиться бесконечно.

Через пару дней Математика осенила идея – он сделал великое научное открытие! Тем более, у него есть реальный пример из жизни. Он тут же, не дожидаясь обеденного перерыва, отнес заявку на открытие в Комитет по Научным Открытиям, который находился как раз через дорогу. Если открытие Математика признают, он получит звание Кандидат в Доктора Математических Наук и денежное содержание – можно будет не работать. Потом нужно будет ещё чего-нибудь открыть и получить звание Доктор Математических Наук, а там уже и до звания Великий Ученый – рукой подать…

К величайшему изумлению Математика, Комиссия по Научным Открытиям, состоящая исключительно из Великих Ученых, прибыла немедленно, как только получила заявку на открытие. Такая оперативность великих бюрократов объясняется очень просто. По Правилам Подачи Заявок обед для членов Комиссии оплачивает заявитель. В заявке обязательно указывается место работы заявителя – а это оказалась гостиница через дорогу, в которой есть очень хороший ресторан. А время как раз приближалось к обеду… Какой Великий Ученый откажется пожрать на халяву, да еще в хорошем ресторане? Именно по этому, впервые за всю историю существования, Комиссия прибыла на место в полном составе, в аккурат к обеду. Математику ещё очень повезло, что Великие Ученые, из которых состоит Комиссия, не привели с собой своих помощников и секретарш – все великие руководители думают, прежде всего, о себе, любимых, и не думают о своих подчиненных.

Сразу после застолья, Комиссия отправилась к месту открытия. Стоя перед дверью номера Блондинки с номером один, Математик произнес вступительную речь и коротко рассказал о своих действиях. Члены Комиссии толпились в коридоре, их толстые тела требовали тишины и покоя после сытного обеда, а тут какой-то выскочка морочит Великие головы своим открытием…

- Кто это там всё время ходит по коридору? – раздраженно спросил один из членов Комиссии, гладя на переселенческую суету космозоологов. Все головы Великих Ученых удивленно повернулись в сторону ворчуна, ведь говорить на обычном языке в их среде считалось дурным тоном.
- Не обращайте внимания, - не понимая почему, Математик почувствовал опасность, исходящую от процесса переселения. От греха подальше, он завел Комиссию в номер к Блондинке.

– Что это за стадо жирных баранов ко мне приперлось? – с возмущением спросила Блондинка.

Комиссия непонимающе уставилась на Блондинку, потом перевела свой взгляд на Математика, требуя пояснений. Великие Ученые из уважаемой Комиссии настолько привыкли говорить между собой на языке определений, что они уже с трудом понимали обычную человеческую речь. Недолго думая, Математик перевел слова Блондинки на язык математиков:

– Она приветствует конечное множество Великих Ученых… – далее Математик говорил уже на чисто научном языке.

Блондинка смотрела на присутствующих, как на инопланетян, для которых гид-землянин проводит экскурсию по её убогому гостиничному номеру.

- … Перед тем, как вы сюда вселились, этот номер был занят?

Блондинка не сразу поняла, что обращаются именно к ней. Её носик, до этого любопытно вытянутый, возмущенно вздернулся:

- Да! При мне из этого номера выгнали какого-то мужика и всунули меня! Что за дела?! До этого я всегда жила в апартаментах «Для друзей хозяина гостиницы», а сейчас меня засунули в эту вонючую дыру, в которой до меня жил непонятно кто и в которой даже помыться нормально нельзя!

- В апартаментах «Для друзей хозяина гостиницы» таджики делают ремонт, - не моргнув глазом, соврал Математик.

«Так вот куда её нужно было поселить!» - пронеслась мысль в его голове. Но менять что-либо было уже поздно. Услышав сочетание слов «таджики» и «ремонт», Блондинка погрустнела и обиженно отвернулась к окну, как будто у неё только что отняли любимую мечту.

Из всей пламенной речи Блондинки Великие Ученые поняли только два слова: «да» и «апартаменты», чего было вполне достаточно для подтверждения факта научного открытия. Высокое положение в научно-бюрократической иерархии позволяло им поставить знак равенства между словами «гостиница» и «апартаменты» и выбросить одно из них за ненадобностью.

На этом официальный не дружественный визит в номер под номером один завершился. После этого последовали допросы свидетелей научного открытия из номера два, три и так далее. На номере четыре Комиссия решила остановиться и признать факт научного открытия. Действительно, не могут же столь занятые руководители до бесконечности шататься по чужим номерам, тем более, что ни в одном из номеров их так и не угостили. Покидая коридор с номерами «для космозоологов» Комиссия вновь услышала всё тот же раздраженный голос:

- Нет, ну всё-таки, кто там всё время ходит по коридору?!

- Мало ли, кто там ходит. На то он и коридор, что бы по нему ходили – буркнул в ответ Математик. Комиссия равнодушно пропустила реплику мимо ушей.

Факт великого научного открытия в «Бесконечной гостинице» был подтвержден Комиссией по Научным открытиям. Ученая степень Кандидата в Доктора Математических Наук была присвоена Математику в тот же день, а вечером состоялась грандиозная попойка всё в том же ресторане, с участием всё тех же лиц плюс конечное множество лиц новых, всё так же за счет Математика.

Но математики никогда и никому не рассказывают о том, чем же завершилась эта история. А закончилось всё решением математических проблем в бесконечной гостинице.

Великое переселение народов в бесконечной гостинице

Автор Николай Хижняк

По мотивам примера к теории бесконечных множеств.

Жил-был однажды Математик, который считал, что он очень хорошо разбирается в математике. На самом же деле он ничего толком в математике не понимал, из-за чего у него были вечные проблемы с работой. Когда Математика в очередной раз выперли с работы, он пошел по центральной улице города в поисках другой работы. Совершенно случайно на глаза ему попались два работника, которые над дверями гостиницы цепляли транспарант «Приветствуем участников Межгалактического съезда космозоологов!». Взглянув на название «Бесконечная гостиница», Математик остановился. Кто лучше математика может разобраться с бесконечностью? Никто. Математик уверенно вошел в дверь гостиницы.

Свободных рабочих мест в гостинице не оказалось, но Математику предложили место ученика менеджера, поскольку он очень живо описал свои выдающиеся математические способности и достижения на предыдущих местах работы. О том, что Математик просто врет, в гостинице не догадывались.

Первое задание было очень простым – расселить участников съезда космозоологов по номерам. Единственной проблемой было то, что во всех вселенных существовало бесконечное число галактик и на съезд приехало бесконечное количество космозоологов. Но ведь и гостиница была бесконечной. Поэтому Математик легко расселил бесконечное число космозоологв в бесконечное количество номеров.

- Так, участников съезда я расселил. Теперь все номера в гостинице заняты. Значит, мне можно отдыхать, - рассудил Математик и отправился в поисках таблички «Свободных мест нет!».

В холле гостиницы Математик увидел нежное очарование с сумочкой в руках, беспомощно озирающееся по сторонам в поиске сотрудников гостиницы. Математик немедленно направился к новой постоялице.

- Здравствуйте, меня зовут Блондинка. Я друг хозяина гостиницы. Прикажите доставить мой багаж в номер, - произнесло нежное очарование прежде, чем Математик успел открыть рот.

- Извините, но у нас нет свободных мест. Вам придется поискать другую гостиницу, – холодно ответил Математик.

- Это же «Бесконечная гостиница»? – удивленно спросила Блондинка, на что Математик утвердительно кивнул, - Владелец этой гостиницы является моим другом. Я всегда останавливаюсь здесь и в другую гостиницу я не пойду. Будьте так любезны, пригласите сюда вашего хозяина, - обиженный носик взметнулся вверх и чуть в сторону. Голубые газа продолжали следить за реакцией Математика.

Такого поворота событий Математик никак не ожидал. Весь его предыдущий опыт говорил о том, что когда дело доходит до хозяина, с работы выгоняют. Поэтому данную ситуацию нужно разруливать немедленно. Расположения номеров в гостинице Математик не знал. Бегать сейчас по всей действительно бесконечной гостинице в поисках свободных номеров? Это сколько же времени понадобится? Гениальное решение пришло само собой.

- Ну, зачем же по таким пустякам беспокоить вашего друга? Давайте я сейчас провожу вас в номер, ваши вещи принесут позже, - Математик нежно взял Блондинку под локоток и повел из холла вглубь гостиницы от скандала подальше.

Перед дверью комнаты номер один они остановились. Математик попросил Блондинку подождать в коридоре, а сам шмыгнул в дверь номера.

- Я дико перед вами извиняюсь, но у нас произошло маленькое недоразумение, - обратился Математик к постояльцу номера номер один, - Вы бы не могли прямо сейчас переселиться в соседний номер под номером два?

Космозоолог, который проживал в этом номере, удивленно пожал плечами и начал собирать свои вещи. За всю жизнь он впервые столкнулся с такой странной просьбой. Но если служащий гостиницы просит – значит так надо.

- Да, попросите постояльца из номера два переселиться в номер под номером три. И пусть все остальные постояльцы номеров переселятся в номер, следующий по счету – уточнил свою инструкцию по великому переселению народов Математик.

Через минуту дверь комнаты номер один отворилась, из неё вышел космозоолог с вещами в руках и направился по коридору в сторону номера под номером два. Тут же в дверях возник Математик и предложил Блондинке войти в номер под номером один.

Что же было дальше? А дальше было великое научное открытие в бесконечной гостинице.

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1=24см, угол C1AA1=45 градусам, AC1 составляет угол в 30 градусов с плоскостью боковой грани. Таково условие задачи. На картинке это выглядит так.

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда

Картинка немного неудачная получилась - на скорую руку делалась.

Для нахождения объема нам нужно знать длину, ширину и высоту параллелепипеда и перемножить их между собой. Используя тригонометрические функции, по углу 45 градусов можно найти высоту АА1 и длину диагонали А1С1 основания, по углу 30 градусов можно найти ширину C1D1. Дальше применяем теорему Пифагора - ведь у нас параллелепипед, у которого все углы прямые. Из треугольника А1C1D1 находим длину А1D1.

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда

Находим высоту параллелепипеда. Диагональ - это гипотенуза прямоугольного треугольника АА1С1, длинна которой нам известна. Угол между гипотенузой и прилежащим катетом нам так же известен - 45 градусов. Отношение прилежащего катета к гипотенузе - это косинус. Всё необходимое для нахождения высоты параллелепипеда у нас имеется:

АА1 = 24 х cos45 = 24 x 0,7071 = 16,97 см

Теперь нам нужно найти длину диагонали верхнего основания параллелепипеда. Угол в 45 градусов говорит нам о том, что мы имеем дело с равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты которого равны. Можно просто переписать полученное выше значение высоты, но я себе не доверяю, я верю только математике. Поэтому проверим полученный результат. Отношение гипотенузы к противолежащему катету - это синус. Находим длину диагонали верхнего основания:

А1C1 = 24 х sin45 = 24 x 0,7071 = 16,97 см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AD1C1. Нам известна длина гипотенузы 24 см и угол 30 градусов. Нам нужно найти противолежащий катет этого треугольника, который одновременно является шириной параллелепипеда. Нужную нам длину находим через синус угла 30 градусов:

C1D1 = 24 х sin30 = 24 x 0,5 = 12 см

Теперь нам осталось найти длину параллелограмма. Из треугольника A1D1C1, у которого нам известны длина гипотенузы и длина одного катета, находим длину второго катета по теореме Пифагора:

A1D1 = √ (16,97^2 - 12^2) = √ (287,98 - 144) = 12

Все необходимые данные для вычисления объема V прямоугольного параллелепипеда у нас есть, и нам остается только перемножить между собой длину, ширину и высоту этого геометрического чуда:

V = 16,97 х 12 х 12 = 2443,68 см^3

Всё, эту задачу по геометрии мы решили. Какой вывод можно сделать из полученного результата? Между нами, блондинками, говоря, до стандартных параметров красоты, 90 х 60 х 90 = 486000 сантиметров кубических, этому параллелепипеду ещё очень далеко, даже не смотря на то, что он прямоугольный.

Что такое тригонометрический круг?

Что такое тригонометрический круг? Ещё его называют тригонометрическая окружность. Вопрос довольно интересный. Не будем вдаваться в подробности различий понятий "круг" и "окружность". Хотя, для блондинок поясню, что круг - это монета или дырка от бублика, окружность - это обручальное кольцо или бублик. Исходя из классического определения тригонометрических функций, правильнее говорить "тригонометрическая окружность", поскольку речь идет о наборе точек и их координатах, а не о плоской фигуре и её площади. Но в Интернете гораздо чаще ищут именно "тригонометрический круг", наверное потому, что так меньше букв набирать надо.

Прежде, чем мы перейдем к формулировке определений тригонометрических функций с использованием портрета тангенса, нам нужно понять, чем тригонометрический круг отличается от всех остальных кругов. В своих рассуждениях мы будем использовать один математический фокус, смысл которого основан именно на этих отличиях.

Возьмем рисунок окружности из определения тригонометрических функций. Выглядит он вот так.

Обычная окружность

На рисунке изображена обычная окружность произвольного радиуса. Поскольку в центре окружности нахально развалилась декартова система координат, то все точки этой окружности имеют вертикальные и горизонтальные координаты. Радиус окружности и координаты точек выражаются числами. Точки пересечения осей координат и окружности определяются величиной радиуса окружности и численно ему равны.

Для того, чтобы превратить обычную окружность в тригонометрическую, нужно все элементы окружности разделить на радиус окружности. Буквы "X" и "Y" являются ярлычками системы координат, обозначающими её навязчивое присутствие на нашем рисунке. Эти буквы на радиус не делятся, как и буква "В", обозначающая точку на окружности. Точка "0" (ноль) в результате деления на радиус так и останется точкой "0" (помните, ноль, деленный на любое число, равняется нулю?). Угол альфа можно разделить на число, но нельзя разделить на радиус окружности (кстати, вот вам готовое доказательство того, что деление не имеет смысла)))), поэтому угол лучше не трогать, во избежание крупных неприятностей (из всех присутствующих на картинке, угол - самый крутой элемент, он присутствует во всех тригонометрических функциях в своем естественном виде). У нас остаются только радиус окружности и координаты точки "В", которые мы можем разделить на величину радиуса окружности.

Понятно, что при делении радиуса окружности на точно такой же радиус, мы в результате получим единицу. А вот при делении координат точки окружности на радиус мы получим значения синуса и косинуса угла альфа (по определению тригонометрических функций). Вот как выглядят наши преобразования на картинке.

Обычная окружность делим на радиус

Теперь нам остается только заменить все радиусы на единички а координаты точки на синус и косинус угла альфа и у нас получится тригонометрическая окружность. Мы даже можем сформулировать определение единичной окружности (пусть вундеркинды учат):

окружность с радиусом, равным единице, называется тригонометрической окружностью, если в центре окружности находится центр декартовой системы координат.

Это определение далеко не полное и не учитывает целое море нюансов, на которые математики обычно не обращают внимания. Но об этом мы лучше поговорим при изучении свойств тригонометрических функций. А пока посмотрим на картинку, как выглядит тригонометрическая окружность во всей своей красе.

Тригонометрический круг

Собственно, это и есть тригонометрический круг. Если на него поместить значения разных углов и соответствующие им значения синуса и косинуса, то мы получим тригонометрический круг синуса и косинуса.

Теперь о том фокусе, который мы будем проделывать во время формулирования определений тригонометрических функций. Здесь мы радиус окружности заменили на единицу, а там мы будем поступать наоборот - будем единицу заменять радиусом окружности. То есть, от тригонометрической окружности переходить к окружности произвольного радиуса, как того требует учебник по математике.

Тригонометрические функции определение через треугольник

Тригонометрические функции можно определять на прямоугольном треугольнике. На картинке вы можете видеть определения всех тригонометрических функций через элементы прямоугольного треугольника.

Тригонометрические функции определение на треугольнике

Это ещё одна икона для вывешивания на стену и заучивания текста. Мы этим заниматься не будем. Лучше посмотрим, как можно совместить прямоугольный треугольник и окружность. Для этого совместим две картинки: окружность из классического определения тригонометрических функций и наш треугольник. Поместим треугольник рядом с окружностью. Вот как это выглядит.

Треугольник и окружность

Как видите, картинки практически одинаковые, а вот составные элементы в них называются по-разному. Одинаково обозначены только угол альфа и точка "В". Теперь наложим треугольник прямо на окружность. Все графические изображения, принятые для окружности, мы сохраним, а прямоугольный треугольник подчеркнем красными линиями с внутренней стороны (типа обведем контур треугольника губной помадой).

Треугольник в окружности

Как видно из рисунка, гипотенуза прямоугольного треугольника превращается в радиус окружности, катеты становятся равными координатам точки. Это как в человеческом языке - одно и то же понятие в разных языках обозначается разными словами. Это различие в произношении не дает нам понимать иностранные языки. Приблизительно то же самое происходит в математике. Некоторые считают определение тригонометрических функций на прямоугольном треугольнике примитивным. Если вы хотите понимать математику, запомните следующее: в математике не бывает примитивных вещей. Бывают примитивные существа, считающие себя очень умными. Именно желание казаться умнее других, привело к тому, что математики сами почти ничего не понимают в математике.

Специально процитирую фразу из Википедии, где говорится об определении тригонометрических функций на треугольнике: "Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники". Честно говоря, подобное дремучее невежество математиков меня просто шокирует. Для какого треугольника определяются тригонометрические функции? Правильно, для ПРЯМОУГОЛЬНОГО. Пусть хоть один математик покажет мне ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК С ТУПЫМ УГЛОМ. Клянусь вам, как только я увижу это геометрическое чудо, я тут же переверну портрет тангенса вверх ногами и повешусь на косинусе. Неужели ни один математик не понимает, что решение "элементарных задач про тупоугольные треугольники" при помощи тригонометрических функций ВСЕГДА сводится к разбиению одного тупоугольного треугольника на два прямоугольных треугольника? Научитесь задачи формулировать, а не эти ваши ребусы типа "а угадай, какую фигню я придумал".

Сейчас я вам покажу самый примитивный пример существования тригонометрии в жизни. Примитивнее, наверное, уже не бывает.

Тригонометрические функции в жизни

Посмотрите на фото - сколько человеческих тел безмятежно расположилось на горизонтальной плоскости скалы, в то же время на вертикальной плоскости нет ни одного человека. Почему? Да потому, что тригонометрические функции для перпендикулярного направления имеют совсем другие значения. Для нас с вами основным смыслом тригонометрических функций является то, что именно тригонометрические функции определяют наши возможности.