Чего нет у тригонометрических функций

Автор Николай Хижняк

Не научные, но фантастические приключения блондинок с элементами реализма. Продолжение рассказа о том, что такое математика и физика.

- А разве у тригонометрических функций чего-то может не быть? – удивились блондинки.

- Да, сейчас я вам перечислю то, чего нет у тригонометрических функций, но нас уверяют, что оно есть, – это знаки, периодичность и углы больше 90 градусов.

- Куда же они деваются? – пошли в наступление блондинки.

- Их там никогда не было. Где у прямоугольного треугольника знаки плюс и минус? Где периодичность гипотенузы? Как у прямоугольного треугольника может появиться угол больше 90 градусов, когда один такой угол уже есть, а сумма углов треугольника не может быть больше 180 градусов? При всём этом тригонометрические функции на прямоугольном треугольнике определяются легко и просто. Собственно, это и есть математическое доказательство отсутствия у тригонометрических функций знаков, периодичности и тупых углов.

- Я что-то не поняла, кто тупой – вы или математики? – лицо блондинки, задавшей этот вопрос, выражало святую невинность.

- Девочки, вы не правильно формулируете вопрос. Здесь речь идет не о дураках и умных, а о верующих и не верующих.

- Упс, – выдохнула блондинка, – причем здесь вера?

- Очень даже причем. Вам в школе и в институте рассказывали что-то о тригонометрических функциях, и вы в это поверили. Сейчас вы продолжаете верить своим учителям математики, а ваши учителя верят в математические определения. Я в определения не верю и вам не советую. Я верю только в результат. Тригонометрические функции на треугольнике дают совсем не тот результат, о котором говорится в определении тригонометрических функций. Математики, как и все верующие, видят только те результаты, которые подкрепляют их веру, и полностью игнорируют то, что противоречит их вере.

- Так это что получается? – озадаченно спросила одна из блондинок, – Математика – это религия, а не наука?

- Получается так. Ни христианам, ни мусульманам, даже при помощи самого кровавого террора, не удалось сделать то, что сделали математики – они завоевали весь мир. Сегодня даже мусульмане, благодаря математикам, смотрят на окружающую действительность сквозь Святой Крест Декартовой Системы Координат. Кстати, от средневековой Инквизиции всем нам пламенный привет.

- А причем здесь Инквизиция? – удивились блондинки.

- История математики – это не только даты и фамилии ученых, но и события с их последствиями. Подробнее об истории математики я вам расскажу как-нибудь в другой раз. Сейчас давайте со стороны посмотрим на результат. Что такое математические определения? Это те же Библейские тексты, в которые нужно верить. Что такое теория множеств? Это наследие легендарного Библейского Ноя – каждой твари по паре. Что такое математические функции? Это то, что мы видим сквозь Святой Крест Декартовой Системы Координат. Что такое комплексное пространство? Это Царство Небесное. Ни комплексного пространства, ни Царства Небесного никто никогда не видел, но все верят, что они есть. Во всяком случае, в этом нас уверяют проповедники математики и религии. Как видите, в исторической борьбе с наукой победила средневековая европейская Инквизиция при помощи математики. Думаю, о такой безоговорочной победе не только над учеными, но и над конкурентами, инквизиторы даже в самых сладких снах не мечтали.

- Ужас, – только и смогли сказать блондинки.

- Та математика, которой учат нас математики – это математика рабов Божьих. «Пусть нам дано…», «Возьмем…» любимые выражения математиков. Эти выражения подразумевают, что всё создано Богом для нас и мы можем этим только пользоваться. Мы же с вами будим изучать математику Богов. Нам самим придется решать, что у нас есть, и какой результат мы можем из этого получить. В чем разница? – подавленные блондинки никак не отреагировали на провокационный вопрос, - Вот пример из тригонометрии. Об обратных тригонометрических функциях вы помните?

- Ну так, смутно, – вяло признались блондинки.

- Это когда по числу нас заставляли искать угол. При этом математики нам всегда говорят, какую именно обратную тригонометрическую функцию мы должны использовать: арксинус, арктангенс… А что делать, если мы имеем только число и нам нужно получить угол? Сперва нужно определить тип тригонометрической зависимости, в результате которой появилось это число, а уже потом искать угол. В окружающей природе нигде нет бирочек с названиями тригонометрических функций.

- Так нам что, бирочки придется развешивать? – уныло спросила одна из блондинок.

- В каком-то смысле – да. Вы же хотите быть богинями? – решил я поднять настроение блондинок.

- Да как-то уже не очень… – честно призналась одна блондинка, вторая задумчиво спросила, – А как математикам удается решать все те задачи, которые им подсовывают, если математика – это религия?

- Здесь ничего сложного нет. Когда есть условие задачи, когда приблизительно известен нужный результат, то составить решение, соответствующее принятым определениям не составляет большого труда. Тем более что математикам, в отличие от религиозных проповедников, разрешается самим дописывать новые определения, не противоречащие старым. Математики сами пишут свою Библию, в которую потом верят сами и заставляют верить других. Так вот я в эту математическую Библию не верю. Вернемся к началу нашего разговора о дураках и умных. Я не считаю математиков дураками. Просто я и математики верим в разные вещи. Являюсь ли дураком я сам? Это решайте вы.

Блондинки молча смотрели на меня, пытаясь оценить мои умственные способности. Задача для них была явно не простой.

- Давайте на этом будем заканчивать, – сказал я, – В следующий раз мы с вами познакомимся с тригонометрическими функциями. Тогда вам будет гораздо проще понять, откуда берутся те вещи, которых нет у тригонометрических функций…

- А разве треугольник – это не тригонометрические функции? – удивленно спросили блондинки.

- Нет. Треугольник – это место, в котором тригонометрические функции добросовестно работают, как и в тригонометрическом круге. Но рождаются и живут тригонометрические функции совсем в другом месте.

Закончить наш разговор о тригонометрических функциях мы так и не смогли. Девочкам быстро надоели мои заумные рассуждения и я вынужден был сменить тему. Дальше у нас сам собою возник вопрос зачем нужна математика?

Таблица интегралов 4

Перечень всех формул неопределенных интегралов (147 штук) можно найти здесь.

Представленная на этой странице таблица интегралов содержит формулы неопределенных интегралов показательных и тригонометрических функций, гиперболических и логарифмических функций. Правила решения некоторых интегралов описаны прямо в таблице. Очень часто встречается случай, когда терпение и труд всё перетрут. Монотонно применяете одну и ту же формулу до тех пор, пока применять больше нечего.

Что ещё можно сказать о некоторых неопределенных интегралах? Как видно из формул 94 и 95, тригонометрические функции синус и косинус интегрированию не подаются. При попытке их интегрирования срабатывают формулы приведения тригонометрических функций. На этом рэкетирский наезд интегралов заканчивается. А вот тангенсу и котангенсу приходится искать крышу у натуральных логарифмов. Гиперболические функции, какими бы крутыми они себя не считали, ведут себя точно так же. Кем при этом являются интегралы - представителя налоговых органов или организованной преступности? А какая разница? Результат-то для подынтегральных функций одинаковый. Вот такая вот аппроксимация интегралов на окружающую действительность у меня получилась.

И ещё один вопрос от досужего дилетанта. Я всё не мог понять, что меня смущает в соседстве обратных тригонометрических функций и логарифмических функций. Оказывается - единицы измерения. Логарифмические функции - это преобразование числа в число. Обратные тригонометрические функции - это преобразование числа в угол. У чисел и углов разные единицы измерения. Когда же мы переходим к определенным интегралам, углы обратных тригонометрических функций превращаются в единицы измерения площади. В математическом анализе принято тупо игнорировать существование единиц измерения. Не самое научное поведение. В этом плане детская арифметика (не та, которая в школе жонглирует числами, а та, которая в детском садике) на порядок выше матана - там даже складывать числа с разными единицами измерения нельзя.

Так что же такое математические функции с точки зрения банальной эрудиции? Это преобразования числовых коэффициентов при различных единицах измерения. Тогда возникает необходимость четкого разграничения тригонометрических функций и числовых последовательностей, возникающих в результате тригонометрических преобразований. Что бы не писать каждый раз "сие есть волк, а не собака". Не стоит забывать, что окружающий нас мир - это не математическая лавка, где на каждом предмете или явлении есть бирка с математической функцией.

Таблица интегралов 3

На этой странице представлена таблица интегралов, содержащих квадратное уравнение в его почти классическом виде и пузатая мелочь, состоящая из дробного отношения суммы или разности с участием неизвестного под знаком квадратного корня. Почему вид квадратного уравнения почти классический? В школе такое уравнение обычно записывают, начиная с квадрата икс, потом просто икс и заканчивают свободным членом уравнения. В интегралах почему-то такое квадратное уравнение записывается в арабском стиле. Наверное, математики, занимающиеся интегралами, и математики, занимающиеся квадратными уравнениями, исповедуют разные религии.

Больше интегралов, а именно 147 формул, можно найти здесь

Что еще примечательного в этих таблицах интегралов? В интеграле под номером 78 даны два решения, зависящие от внешних факторов (коэффициентов) уравнения. Что интересно, в одном случае в результате получается арктангенс, в другом случае - натуральный логарифм. Просматривая все таблицы логарифмов, можно заметить, что эти две математические функции идут рядом, как близнецы-братья, во многих формулах. Интересно, что именно связывает эти две функции? Ведь они живут не в одном дворе и даже не на соседних улицах. Они принадлежат разным разным разделам математики - логарифмам и тригонометрии. Или это мне так кажется?

Формулы 86 и 87 снова ставят рядом логарифмы и тригонометрию. В этот раз натуральный логарифм решил примазаться к арксинусу. Нет, между тригонометрией и логарифмами наверняка что-то есть. Может, это любовь такая математическая?

Как же интегрируются сами влюбленные? Смотрите  интегралы показательных, тригонометрических и логарифмических функций.

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Тригонометрический круг синус и косинус

Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат - одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая - вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы - cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы - sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы - на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат - там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Найти решение:

Синусы и косинусы круг - здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах - равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах - на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов - равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность - я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности - вылитая тригонометрия. Кстати, круг - это бублик, а окружность - это дырка внутри бублика. Поэтому правильно говорить "тригонометрический круг", а не "тригонометрическая окружность". Еще раз, для запоминания, предлагаю такую ассоциацию: платье в горошек - платье в кружочек - платье в окружность.

Тригонометрический круг рисунок - есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию - почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников "Перед вами всемирно известное полотно "Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках" - картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения ..." Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов - именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи - в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону - синус - это вверх, в сторону - это косинус.

Для тех, кто хочет знать больше про тригонометрический круг, Гугл в помощь:

Умножение столбиком

В порядке оказания "скорой решательной помощи", сейчас мы рассмотрим одним глазом умножение столбиком. Не весь процесс целиком, а маленькие технические детали. Наши умные калькуляторы очень легко справляются с умножением разных чисел, но они не выдают распечатку умножения столбиком этих же чисел. Очень жаль. Рецепт приготовления чисел не в микроволновке (на калькуляторе), а на костре (ручками на бумажке в столбик) иногда вызывает затруднения.

Сейчас мы приготовим два блюда из чисел и умножения тем древним способом, которым пользовались наши предки в те далекие времена, когда электричества ещё не было (ведь все калькуляторы работают от электричества). Умножим столбиком две пары чисел:

0,15 * 20

120 * 60

Числа очень простые, но вот все эти нолики и запятые, как сырые дрова, мешают разгореться костру наших знаний. Для победы силы разума над древними суевериями, прежде всего, числа нужно расположить фотогенично. Не для того, чтобы сделать красивую фотку на память, а для того, чтобы нам было проще считать. Для этого хвосты из нулей в конце чисел нужно просто игнорировать. Они есть, но мы их не видим. Очки мы надели такие - противонулевые. Когда мы подобным образом разделали наши числа, можно приступать к приготовлению блюда - располагаем одно число под другим, выравнивая столбик по правому краю чисел. Нолики у наших чисел остаются (вы же не станете отрывать хвост у своего любимого домашнего животного, даже ради умножения его столбиком). Если нолики не хотят выстраиваться ровно, не обращайте на них внимания.

Умножение столбиком

В результате нам нужно умножить в столбик числа 15 на 2 и 12 на 6 (я думаю, любой уважающий себя математик с этой задачей справится). После умножения столбиком мы получим числа 30 и 72. Всё! Наше блюдо готово! Но, прежде чем подавать его на стол учителя, результат необходимо украсить нулями или запятыми. Другими словами, нужно навести порядок в нулях и запятых. Не пугайтесь! Это гораздо проще, чем наводить порядок на кухне.

Снимаем наши противонулевые очки и занимаемся нулями. Если числа при умножении в столбик мы складываем, то хвостики из нулей складывать нельзя. Их нужно просто перенести в низ и приписать к полученному результату. В первом примере у нас остался один нолик от числа 20, во втором примере у нас аж два нолика - один от числа 120, второй от числа 60. Если вам попадутся числа, у которых в конце по мешочку ноликов, то высыпайте в результат сперва один мешочек, потом второй. Смотрим, что получилось у нас:

15 * 2 = 30 плюс нолик = 300

12 * 6 = 72 плюс два нолика = 7200

Теперь берем бинокль и начинаем выискивать запятые. Во втором примере ничего похожего на запятую не наблюдается. Значит, со вторым примером мы покончили - блюдо учителю на стол! А вот в первом примере нам удалось обнаружить эту маленькую пакость. И что теперь делать? Ведь всё было так красиво... Придется эту бяку, словно пучок петрушки, воткнуть в наш результат. Иначе учитель обидится. Остается решить, куда именно втыкать. Правило очень простое - сколько знаков после запятой было до умножения, столько же знаков после запятой отделяется после умножения. Если запятые прокрались в оба числа, тогда блюдо подается с двойным гарниром - отделяется столько знаков, сколько их было в двух числах, вместе взятых. А у нас мы имеем:

0,15 - это два знака после запятой

300 минус два знака после запятой = 3,00 = 3

Всё! Задание выполнено. Можете брать в руки калькулятор и проверять. Я же, для проверки, займусь любимым делом математиков - пожонглирую числами. Следите внимательно за каждым моим движением:)

0,15 * 20 = (15 : 100) * 20 = 20 * 15 : 100 = 2 * 10 * 15 : 100 = 2 * 15 * 10 : 100 = 30 * 10 : 100 = 3 * 10 * 10 : 100 = 3 * 100 : 100 = 3 * 1 = 3

120 * 60 = 12 * 10 * 60 = 12 * 10 * 6 * 10 = 12 * 6 * 10 * 10 = (10 + 2) * 6 * 10 * 10 = (10 * 6 + 2 * 6) * 10 * 10 = (60 + 2 * 6) * 10 * 10 = (60 + 12) * 10 * 10 = (60 + 12) * 100 = 72 * 100 = 7200

Что не говорите, а математическое жонглирование - прикольная штука. Как видите, даже без калькулятора и умножения столбиком, можно довольно просто получить результат (жаль, не всегда так получается).