Преобразование тригонометрических функций - правило прямого угла.

Преобразование тригонометрических функций - правило прямого угла не ищите в учебниках. Такого математического правила нет ни в одном учебнике математики. Это придумал я в результате нудного ковыряния в формулах приведения тригонометрических функций. Оказывается, если отбросить знаки тригонометрических функций, всё становится простым и понятным. На уроках математики всего того, что вы прочтете ниже, я не советую рассказывать - преподаватели математики могут обидеться, что вы знаете больше них. А вот для проверки правильности своих решений правило прямого угла вам очень даже пригодится.

Первым делом разделим все тригонометрические функции на три пары перпендикулярно симметричных функций: синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс. Понятие перпендикулярной симметрии тригонометрических функций в математике отсутствует, хотя именно на её свойствах основано действие правила прямого угла и формул приведения тригонометрических функций. О перпендикулярной симметрии мы поговорим в другой раз. А пока принимайте на веру мои слова, ведь вся математика построена исключительно на вере в правильность принятых определений)))

Вот теперь можно сформулировать правило прямого угла:

если к величине угла альфа любой тригонометрической функции прибавить прямой угол, название тригонометрической функции изменится на перпендикулярно симметричное при условии сохранения угла альфа в качестве аргумента тригонометрический функции. Изменение знаков полученных тригонометрических функций необходимо рассматривать дополнительно.

Получилось очень заумно и не понятно (на всякий случай писал специально для математиков). Не надо пугаться, учить дословно этот бред не нужно, главное - понять принцип действия. Давайте посмотрим, как это правило выглядит на картинке.

Правило прямого угла

На рисунке вы видите три совершенно одинаковых крестика со стрелочками. Стрелочки указывают на названия тригонометрических функций. Сгруппированы тригонометрические функции по признаку перпендикулярной симметрии.

Как это работает? Выбираете нужную вам тригонометрическую функцию и движетесь по часовой или против часовой стрелки вокруг центра крестика на нужное вам количество прямых углов. В конце движения стрелочка показывает, какое название тригонометрической функции получится в результате. При каждом добавлении или вычитании прямого угла название тригонометрической функции меняется. Формулы приведения дают нам конечный результат, правило прямого угла позволяет проследить процесс получения этого результата. Например:

Правило прямого угла пример sin

Правило прямого угла пример tg

Правило прямого угла пример sec

Вертикальные черточки означают модуль тригонометрический функции, то есть без учета изменений знаков. Данный принцип действует как для сложения, так и для вычитания прямых углов. Каждый раз, прибавляя или отнимая прямой угол, нужно менять название функции.

Как видно из приведенных выше рисунков, результат преобразования не зависит от того, в каком месте вы возьмете тригонометрическую функцию (слева или справа, сверху или снизу) и в каком направлении вы будете отсчитывать прямые углы (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Вот это и есть настоящая математика - результат не зависит от порядка выполняемых нами действий.

Общий принцип следующий: если количество прибавляемых или вычитаемых прямых углов нечетно - название тригонометрической функции меняется, если количество прямых углов четно (то есть делится на два) - название функции не меняется.

Принцип изменения названия тригонометрических функций очень похож на правило умножения положительных и отрицательных чисел. Помните? Минус на минус дает плюс, плюс на минус дает минус. Только у нас один прямой угол меняет название функции, два прямых угла не меняют название. Как этим пользоваться на практике, рассмотрим на примерах в следующий раз.

Как определять знаки полученных тригонометрических функций? Включайте свою сообразительность, берите тригонометрический круг - и вперед. Я подумаю, можно ли здесь ввести какой-то общий принцип, но результата не гарантирую. Секрет знаков тригонометрических функций заключается в том, что настоящие тригонометрические функции знаков не имеют - их придумали математики. Мы с вами тоже можем ввести в математику цвет, вкус, запах, политическую или религиозную принадлежность тригонометрических функций. Что скажет по этому поводу математика? Вы сами это придумали, сами с этим и разбирайтесь - чем бы дитя не тешилось, лишь бы не плакало.

Если у вас есть вопросы по применению правила прямого угла, пишите в комментариях.

Вы ищете:

Не понимаю формулы приведения - прочтите эту страничку, возможно что-то прояснится.

Больше о новых взглядах на математику и её проблемах смотрите на странице "Новая математика"

Котангенс формулы приведения

Котангенс формулы приведения - последняя картинка из серии картинок формул приведения тригонометрических функций.

Котангенс формулы приведения

Я не буду сильно много писать о формулах приведения котангенса, для формул синуса, косинуса и тангенса написано достаточно, не буду повторяться. Скажу пару слов о другом.

Наверное, как всякая блондинка, я очень туго соображаю. В процессе подготовки к публикации формул приведения котангенса, до меня наконец-то дошло, что всю эту гору формул можно заменить одним простым правилом, касающимся названий тригонометрических функций и изобразить это правило в виде очень простой и наглядной картинки - ведь в настоящей математике всё должно быть очень просто и наглядно. Сейчас нарисую. В следующей публикации встречайте новое математическое правило прямого угла для преобразования тригонометрических функций. Надеюсь, это правило поможет вам лучше понимать формулы приведения котангенса.

Тангенс формулы приведения

Тангенс формулы приведения - продолжаем расписывать таблицу формул приведения для тригонометрической функции тангенс tg. Традиционно, в первой строчке написана формула тангенса для отрицательного угла. Поскольку тангенс считается нечетной тригонометрической функцией, то при изменении знака угла изменяется знак значения тригонометрической функции тангенс. На языке математиков эта фраза звучит, конечно, совсем иначе. Можете открыть учебник и почитать. Как и синус, тангенс является заразной функцией и передает вирус под названием "знак минус" от угла к значению тангенса.

Тангенс формулы приведения

Над надписью "Математика для блондинок" расположены два блока по четыре формулы, наглядно подтверждающие когда-то выученное нами правило - от перестановки слагаемых результат не изменяется. Это правило работает и в тригонометрических функциях. В частности, для тангенса, а ещё точнее - для суммы углов. Это правило выполняется во всех тригонометрических функциях.

Ещё одна интересная особенность тригонометрической функции тангенс - если к углу альфа прибавить другой угол или отнять другой угол, то значения тангенса полученных угла не будут отличаться. Два последних блока по 4 формулы являются наглядным доказательством. Если я не прав - поправьте меня в комментариях. Наверное, тангенс является морально устойчивой тригонометрической функцией и не реагирует на разного рода приставания к его углам - с хорошими (знак плюс, сумма) или с плохими (знак минус, разность) намерениями.

В завершение нашей небольшой экскурсии по формулам приведения тангенса, нужно ответить на самый главный вопрос - что делать с результатом? А результат, тангенс или котангенс угла альфа, можно обменять на числа (как доллар на рубли) в обменном пункте тригонометрических функций - это таблицы тангенсов и котангенсов. Точно также, как и доллар, полученный результат в виде тангенса или котангенса угла альфа можно не менять на числа, а сохранить на будущее - а вдруг он сократится в тригонометрическом выражении.

Прямоугольный угол

Прямоугольный угол - это весьма оригинальное сочетание слов "прямоугольный" и "угол". Появилось оно, скорее всего, в результате весьма эффективного метода работы - это метод кройки и шитья. Как получить фразу "прямоугольный угол" в домашних условиях? Очень просто. Берем любую устойчивую фразу со словом "прямоугольный", например, "прямоугольный треугольник" или "прямоугольная трапеция" и ножничками отрезаем от этой фразы второе слово. Выбрасываем отрезанное слово в мусор за ненадобностью. Затем берем фразу "прямой угол" и отрезаем от неё первое слово и так же выбрасываем в мусор. К первому слову первой фразы ниточками пришиваем второе слово второй фразы. Можно прилепить скотчем или приклеить клеем. У нас получилась фраза "прямоугольный угол". Кстати, мы таким способом на работе часто чертежи делаем: из одного чертежа вырезаем нужный фрагмент, наклеиваем на другой чертеж в нужное место, прогоняем через ксерокс - новый чертеж готов. Прямо как прямоугольный угол.

Если же вы решили в Интернете найти прямоугольный угол, вынужден вас разочаровать - даже здесь такие звери не водятся. Вам нужно сперва определиться, что же именно вы имеете в виду под прямоугольным углом. Как я уже говорил, за этим могут скрываться прямой угол, прямоугольный треугольник, прямоугольная трапеция и ещё целое море разных прямоугольных штучек.

Если же вы желаете увидеть, как выглядит прямой угол и случайно набрали фразу прямоугольный угол, то посмотреть на него можно прямо здесь и сейчас на картинке ниже.

Прямой угол

Учителям математики нужно объявить выговор за то, что сотни людей в день рыщут по интернету в поисках прямоугольного угла. В математике, даже в устах блондинки, это будет звучать примерно, как "косметическая косметика" или "автомобильный автомобиль". Советую фразу прямоугольный угол в слух не произносить, а посмотреть в учебнике или в шпаргалке, как правильно называется то, что вы ищете.

Синус формулы приведения

Синус формулы приведения - это продолжение расшифровки китайской грамоты таблицы формул приведения тригонометрических функций. По аналогии с формулами приведения косинуса, в самом верху написана формула преобразования синуса отрицательных углов. Если возле угла альфа будет стоять знак минус, значит нужно взять тригонометрическую таблицу синусов, найти там значение синуса для угла альфа без знака минус, прежде чем записать это значение в тетрадку, нужно поставить знак минус, и только после этого знака минус можно писать циферки из таблички. Вся эта не простая процедура означает, что мы имеем дело с нечетной тригонометрической функцией. У нечетных тригонометрических функций знак минус от угла передается значению тригонометрической функции, как заразная инфекция, против которой даже вакцинация бессильна.

Синус формулы приведения

Как вы видите на картинке, формулы начинаются с перевода углов из радиан в градусы. Для углов в градусах и радианах формулы будут выглядеть абсолютно одинаково, за исключением того, что вместо циферок с пи будут другие циферки с градусами. В формулах приведения даны суммы и разности углов в разных комбинациях. В зависимости от выражения в скобках, все формулы приведения синуса sin в результате дают положительные или отрицательные значения синуса или косинуса угла альфа. При этом угол альфа не обязательно должен быть в пределах от нуля до 90 градусов (или пи/2). Значение угла альфа может быть любым. Формулы приведения можно применять многократно к полученным результатам. Тот же угол альфа из диапазона 0 - 90 градусов по формулам приведения можно преобразовать в угол большей величины.

Полученные по формулам приведения значения тригонометрических функций угла альфа можно взять из таблицы синусов (ссылка выше) или таблицы косинусов.