Тригонометрия и деление на ноль

Почему меня так удивил результат деления нуля на ноль при преобразовании формулы площади трапеции? В этой статье постараюсь вам объяснить.

Я давно изучаю тригонометрию. Те тригонометрические преобразования, которые я вам сейчас покажу, лично для меня находятся где-то в основании математики. В тех утерянных страницах учебников по математике, которые предшествовали натуральным числам. Или которые нам ещё только предстоит написать. Вопрос ко всем вам: без понимания чего не могло возникнуть само понятие счета?

Тригонометрия

Это маленькое лирическое отступление для тех математиков, которые давно уже забыли тригонометрию. Какой уважающий себя математик будет заниматься такой давно известной ерундой, как тригонометрия? Специально для них я напоминаю:

Тригонометрия формулы

Школьники хорошо знают эти тригонометрические формулы. Они проверены практическим применением на протяжении сотен лет. Многие поколения математиков без особых проблем применяли эти тригонометрические преобразования. У меня нет никаких основания сомневаться в правильности этих тригонометрических формул.

Но в этих формулах заложена одна маленькая задача, решение которой оказалась не по зубам всем поколениям математиков. Называется эта задача «деление на ноль». Сейчас мы посмотрим, как она выглядит в тригонометрических формулах.

Деление на ноль

Теперь мы будем подставлять значения тригонометрических функций при разных значениях углов в приведенные тригонометрические формулы. Никаких особых проблем при этом не возникает, за исключением углов, равных 0 и 90 градусов. Посмотрим, что при этом получается:

Тригонометрия и деление на ноль

Тригонометрические формулы однозначно показывают, что:

1. В результате деления нуля на ноль получается единица.

2. Деление числа (единица) на ноль возможно.

Утверждение под номером 1 мне уже очень давно известно. Если приведенные формулы – это алгебра, то с геометрическим и физическим смыслом деления нуля на ноль у меня нет никаких проблем. Возможно, я об этом уже писал. Не помню. Если не писал, тогда напишу.

В возможность деления числа на ноль я долго не верил. Совсем недавно я решил и эту задачу. Сейчас нужно всё красиво оформить и опубликовать. К сожалению, всё мое время занято зарабатыванием денег для существования, а не решением математических задач.

Кстати, в возможность деления на ноль я верю очень давно. Именно эта вера заставила меня заняться тригонометрией. Я не знал тригонометрию ни в школе, ни в институте. Именно понимание тригонометрии позволяет найти решение задачи по делению на ноль. Достаточно знать, что и где искать. Что нужно искать, вы уже знаете. Где нужно искать, я вам скоро покажу вместе с основными принципами деления на ноль.

Порядок выполнения математических действий
и результат деления на ноль

Теперь вернемся к маленькой проблеме, состоящей в том, что деление нуля на ноль имеет разные результаты в разных формулах: в тригонометрических формулах и в формуле преобразования площади трапеции. Вполне возможно, что результат зависит не от математических действий, а от порядка выполнения умножения и деления.

Напомню, что по правилам математики умножение и деление выполняются в том порядке, в котором они записаны в математическом выражении. Кто записывает математическое выражение? Математик. На каком основании? А вот это уже вопрос интересный. В идеальном случае порядок математических действий должен определяться физическим процессом, который описывает математическое выражение. По факту же, в каком порядке математик захочет, в таком и запишет. Но давайте посмотрим, что я имею ввиду:

Математические действия и деление на ноль

На мой взгляд, такой вариант лучше вписывается в математические правила. Но определяющим фактором будет результат практического применения этих теорий в будущем. Почему результат деления единицы на ноль я обозначил «х»? Каким бы он ни был, в результате умножения на ноль мы получим ноль.

Вывод

Авторитетно заявлять я не имею ни морального, ни юридического права. У меня нет ни авторитета, ни математического образования и к математике я не имею никакого отношения. Математика – это моё хобби. Но это является моим главным преимуществом. Я могу говорить всё, что считаю нужным. Ни с учебного заведения, ни с работы меня за это никто не выгонит. Поэтому, как существо разумное, я вам скажу следующее.

Математики совершенно правы, когда говорят, что деление на ноль невозможно. В рамках теории чисел эту задачу никто не смог решить и вряд ли сможет. Теория множеств вообще к математике никакого отношения не имеет. Какие ещё инструменты есть у математиков для решения задачи по делению на ноль? Геометрия? Или что-то ещё?

Я считаю, что главная ошибка математиков заключается в глобальном подходе к решению задач. Математики всегда всё обобщают и расширяют. Правильный научный подход предполагает так же умение разобщать и сужать. Без этого наука превращается в заурядную религию. Современные математики не способны даже слагаемые пальцем посчитать при перестановке слагаемых в сумме. Ну и что, что эта сумма бесконечная? Законы математики всегда, везде и для всех одинаковы. У меня ещё очень много вопросов к математикам по типу «Почему именно так, а не иначе?». Надеюсь, я успею их сформулировать.

Больше интересных математических идей на странице "Моя математика"

Площадь трапеции и деление на ноль

Трапеция

На своем англоязычном сайте я однажды уже рассматривал формулу диагоналей трапеции. При переходе от трапеции к прямоугольнику у меня получилось неопределенное выражение – ноль, деленный на ноль под знаком квадратного корня.

Сейчас я предлагаю рассмотреть другую формулу. В 7-м веке индийский математик Бхаскара I вывел формулу для определения площади трапеции с последовательными сторонами a, b, c, d:

Формула площади трапеции

Сведения об авторе этой формулы я взял из англоязычной страницы Википедии. Там и раньше была более интересная математика, а уж сегодня... Сегодня вся россия под руководством путина занята тем, что повторяет "подвиг" гитлеровской Германии и им не до математики.

Прямоугольник

Если к этой формуле применить условия, описывающие прямоугольник, можно получить очень интересный результат деления нуля на ноль:

Формулы преобразования трапеции в прямоугольник

Ноль, деленный на ноль, равен нулю. Я категорически против такого результата. Однажды я применял подобный фокус в другой формуле и у меня получилось, что ноль, деленный на ноль, равен единице. С таким результатом я согласен. Но. Никогда никому не верь, даже себе, ты тоже можешь ошибаться. Тут у меня возникла следующая идея.

Результат деления нуля на ноль зависит от математического действия, при котором оно возникает. При умножении результат равен единице, при сложении результат равен нулю.

На будущее нужно будет это запомнить и ничему не удивляться.

Параллелограмм

Вернемся к нашей формуле площади трапеции. Я вспомнил ещё одну геометрическую фигуру, у которой параллельные стороны равны – это параллелограмм.

Параллелограмм и его площадь

В этой формуле присутствует синус угла между основанием параллелограмма и его боковой стороной. После преобразования формулы для площади трапеции этот сомножитель вообще отсутствует.

Формула площади параллелограмма легко преобразуется в площадь прямоугольника. Синус угла 90 градусов равен 1. Третий сомножитель в формуле площади параллелограмма исчезает, мы получаем формулу площади прямоугольника.

Деление на ноль

Такой явный баг в формуле площади трапеции говорит о том, что рассматривать результат деления нуля на ноль как правильный категорически не рекомендуется. Формула площади трапеции может применяться только для трапеции и за границами трапеции она не применима. Такая себе «русская математика» только «для внутреннего потребления» трапециями.

После некоторых размышлений, я нашел и второй вариант, подтверждающий мою догадку о результате деления нуля на ноль. Формулу площади трапеции мы преобразовали в формулу площади прямоугольника. После этого формулу площади прямоугольника мы можем без труда преобразовать в формулу площади параллелограмма. Вот как это делается.

Преобразование площади прямоугольника в площадь параллелограмма

Вот теперь всё стало на свои места. Снимаю шляпу перед индийским математиком, который учит нас правильно понимать деление на ноль.

Не стесняйтесь проверять математику на прочность. Вы найдете для себя очень много интересного. Математика из сложной науки превратится для вас в обычный инструмент познания.

В заключение могу повторить вывод из предыдущей статьи: хитрые уловки математиков могут привести к ложным результатам. Для примера посмотрите мою статью «Перестановка слагаемых в бесконечных суммах».

Больше интересных математичесих идей на странице "Моя математика"

Числовые спирали и простые числа

Числовые спирали и простые числа

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Все простые числа вида Р находятся в начале числовых лучей на всех числовых спиралях, за исключением простого числа а, расположенного на главной оси а-спирали. Взаимное расположение простых чисел будет меняться в зависимости от числа а, которое лежит в основе построения спирали. Расположение простых чисел на разных числовых спиралях показано на рисунках ниже.

Простые числа на 2-спирали

Простые числа на 3-спирали

Простые числа на 4-спирали

Простые числа на 5-спирали

Составные числа находятся на лучах спиралей, построенных на числах, являющихся делителями этих чисел. На остальных спиралях они расположены в начале числовых лучей. Например, число 6 находится на продолжении 3-луча 2-спирали и является результатом умножения числа 3 на число 2. Это же число 6 находится на продолжении 2-луча 3-спирали и является результатом умножения числа 2 на число 3.

Рассмотрение числовых спиралей будет продолжено в последующих публикациях.

Числовые спирали и системы счисления

Числовые спирали и системы счисления

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Числа на числовых спиралях могут быть представлены в разных системах счисления. Для примера рассмотрим числа на главной оси некоторых спиралей в разных системах счисления. Таблица 1 показывает числа на главной оси 2-спирали в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Главная ось 2-спирали

В таблице 2 представлены числа на главной оси 10-спирали в тех же системах счисления.

Главная ось 10-спирали

Аналогично, в таблице 3 представлены числа на главной оси 16-спирали.

Главная ось 16-спирали

Как видно из таблиц выше, каждая а-спираль в системе счисления с основанием а будет состоять из отдельных витков с числами, имеющими одинаковое количество разрядов в позиционной системе счисления. Каждый следующий виток числовой спирали для числа а в системе счисления с основанием а добавляет один разряд в позиционной системе записи чисел. Каждый n-виток состоит из чисел, записываемых при помощи n+1 количества разрядов.

Если ввести правило, что единичные дуги на одном витке должны быть одинаковой длины, тогда числовая спираль превратится в набор концентрических окружностей. Каждая окружность будет содержать числа с одинаковым количеством разрядов. Введение подобного правила нарушает визуальную непрерывность натуральных чисел.

Таким образом, каждая а-спираль является графическим отображением натуральных чисел в системе счисления с основанием а, которая записана в выбранной нами системе счисления. По умолчанию мы применяем десятичную систему счисления.

Продолжение: Числовые спирали и простые числа.

Анализ числовых спиралей

Анализ числовых спиралей

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Движение вдоль витков любой а-спирали является таблицей сложения с последовательным добавлением одной единицы к предыдущему числу, начиная с единицы. Движение вдоль лучей любой а-спирали является таблицей умножения с последовательным умножением числа, расположенного в начале луча, на число а. Эти два движения перпендикулярны, что свидетельствует о принципиальном различии сложения и умножения.

Если провести ось симметрии через главную ось любой а-спирали, тогда симметричные числа на витках образуют суммы разложения. Для любого a.n-витка эта сумма разложения равна aⁿ+aⁿ⁺¹. Для примера суммы разложения показаны на 4.1-витке. Количество таких сумм, учитывая сумму чисел aⁿ и aⁿ⁺¹ на главной оси, равно m_n/2.

Суммы разложения

Данное свойство числовых спиралей позволяет вычислить сумму натуральных чисел, расположенных на одном а.n-витке. Для этого необходимо сумму разложения умножить на количество таких сумм, используя формулу (1), добавить число, расположенное на оси симметрии, которое равно половине суммы разложения и вычесть число aⁿ⁺¹, которое относится к следующему витку:

Сумма чисел на витке

Формула (3) позволяет вывести уже давно известную формулу для определения суммы всех натуральных чисел от единицы до любого числа а. Для этого необходимо определить сумму чисел на нулевом витке а-спирали и добавить само число а:

Сумма натуральных чисел

Если построить числовую спираль для бесконечно большого числа (∞-спираль), начало этой спирали будет отличаться от числового луча только отсутствием нуля. Нулевой виток будет состоять из бесконечно большого количества единичных дуг, каждая единичная дуга будет ограничена лучами с бесконечно малым значением угла. Кривизна витка станет проявляться в районе очень больших чисел от начала спирали.

Продолжение: Числовые спирали и системы счисления.

Описание числовых спиралей

Описание числовых спиралей

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

2-спираль

2-спираль

На 2-спирали главная ось образуется последовательными степенями числа 2. Все нечетные числа располагаются в начале числовых N-лучей, все четные числа расположены на N-лучах спирали.

На 2.0-витке находится одна единичная дуга размером 360°, в начале этого витка находится число 1. Это единственная числовая спираль, у которой на нулевом витке нет других чисел, кроме единицы. Количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (2).

2.1-виток разбивается на две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – 2 и 3. Здесь и на остальных витках количество чисел и единичных дуг определяется по формуле (1).

Вычисления для 2-спирали

2.2-виток образуют четыре единичные дуги размером 90°, на котором располагаются числа 4, 5, 6, 7. Число 6 расположено на продолжении 3-луча.

2.3-виток образуют 8 единичных дуг размером 45°. На этом витке распложены числа с 8 по 15 включительно. Числа 10, 12 и 14 расположены на продолжении 5-луча, 3-луча и 7-луча соответственно.

Дальнейшее расположение натуральных чисел на 2-спирали можно проследить на рисунке выше.

3-спираль

3-спираль

Главную ось 3-спирали образуют последовательные степени числа 3. На 3.0-витке находится две единичные дуги размером 180° и на нем расположено два числа – это 1 и 2. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (2).

3.1-виток разбивается на шесть единичных дуг размером 60°, на нем располагаются числа 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Количество единичных дуг и чисел определяется по формуле (1). Число 6 находится на продолжении 2-луча и является результатом умножения числа 2 на число 3.

Вычисления для 3-спирали

3.2-виток образуют восемнадцать единичных дуг размером 20°, на нем располагаются числа с 9 по 26.

4-спираль

4-спираль

Главную ось 4-спирали образуют последовательные степени числа 4. На 4.0-витке находится три единичные дуги размером 120° и на нем расположено три числа – 1, 2 и 3.

4.1-виток разбивается на двенадцать единичных дуг размером 30°.

Вычисления для 4-спирали

4.2-виток разбивается на сорок восемь единичных дуг размером 7,5°.

Каждый виток 4-спирали содержит в себе два сжатых витка 2-спирали. Сжатие происходит неравномерно и задается структурой нулевого витка 4-спирали. Нулевой и четные витки 2-спирали сжимаются до 1/3 витка 4-спирали, первый и нечетные витки – до 2/3. Такое неравномерное сжатие обеспечивает равенство единичных угловых сегментов всех витков в структуре 4-спирали.

Подобное неравномерное сжатие происходит и на остальных спиралях, построенных на числах, равных степени числа а, больше первой степени. Так, для 8-спирали (а=2³), каждый виток которой содержит три витка 2-спирали, пропорции равны: 1/7, 2/7, 4/7.

5-спираль

5-спираль

Главную ось 5-спирали образуют последовательные степени числа 5. На 5.0-витке находится четыре единичные дуги размером 90° и на нем расположено четыре числа – 1, 2, 3 и 4.

5.1-виток разбивается на двадцать единичных дуг размером 18°.

Вычисления для 5-спирали

5.2-виток разбивается на сто единичных дуг размером 3,6°.

Подобным образом можно построить числовую спираль для любого натурального числа.

Продолжение: Анализ числовых спиралей.

Числовые спирали

Числовые спирали

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Начало: Числовые спирали введение

Если для визуального отображения натуральных чисел использовать произвольную спираль и единицы измерения углов, тогда все числа можно упорядочить по следующим правилам:

1. На главной оси а-спирали располагаются числа вида aⁿ в порядке возрастания, где а>1, n≥0.

2. Главная ось совпадает с нулевым лучом единиц измерения углов и имеет следующий вид:

Главная ось числовой спирали

3. Главная ось делит спираль на отдельные витки размером в 360°, которые целесообразно нумеровать по показателю степени числа а, расположенного в начале каждого витка. Например, а.0-виток, а.1-виток, а.n-виток. Расстояние между витками спирали произвольное.

4. Каждый виток а-спирали разбивается лучами на равное количество единичных угловых секторов, которые делят виток на единичные дуги. Каждая единичная дуга имеет произвольную длину и соответствует одной числовой единице. Единичные дуги разделяют два соседних натуральных числа, которые располагаются на пересечениях лучей и витков спирали.

5. Количество единичных секторов и количество натуральных чисел m_n для каждого а.n-витка определяется по формуле (1).

6. Для нулевых витков всех а-спиралей количество единичных секторов и натуральных чисел определяется по формуле (2).

Формулы числовых спиралей

7. Каждая единичная дуга из витка m_n на следующем витке m_n+1 делится на а единичных дуг новыми лучами.

8. В начале каждого луча (N-луч), на пересечении с витком, расположено натуральное число N вида P_a, простое по отношению к числу а.

9. На продолжении N-лучей, в точках пересечения с последующими витками, располагаются натуральные числа, кратные числу а, образующему главную ось а-спирали.

Продолжение: Описание числовых спиралей.

Числовые спирали введение

Числовые спирали

https://doi.org/10.5281/zenodo.15024975

Аннотация

Числовые спирали – это представление натуральных чисел на спирали в единицах измерения углов. Соблюдение определенных правил размещения чисел позволяет получить бесконечную спиральную таблицу умножения для любого натурального числа а>1. Внешний вид и структура конкретной а-спирали будут одинаковыми для любых единиц измерения углов в любых системах счисления натуральных чисел.

Введение

Визуальное изображение натуральных чисел известно давно и имеет вид числового луча.

Числовой луч

Для визуализации чисел на числовом луче используются единицы измерения длины. Числовой луч начинается с нуля, поскольку иначе невозможно изобразить единичный отрезок как единицу измерения. Расстояния между числами одинаковые и равны единичному отрезку.

В 1963 году Станислав Улам предложил изображение натуральных чисел в виде спирали. Сегодня это визуальное представление натуральных чисел известно как скатерть (или спираль) Улама.

Скатерть Улама

Двумерная плоскость разбита на квадраты одинакового размера. В центре спирали находится единица, вокруг неё в каждый квадрат вписывается одно натуральное число по спирали. Данная спираль построена без применения каких-либо единиц измерения, ноль отсутствует.

В 1994 году Роберт Сакс расположил натуральные числа по Архимедовой спирали и получил спираль, известную сегодня как спираль Сакса (в Википедии описана в разделе "Вариации скатерти Улама").

Спираль Сакса

Для построения спирали Сакс использовал единицы измерения углов для поворота и единицы измерения длины для определения расстояния от центра спирали до каждого натурального числа. В центре спирали расположен ноль единиц измерения длины, на нулевом луче единиц измерения углов Сакс расположил квадраты натуральных чисел.

Продолжение: Числовые спирали.

1 в степени 0

Раньше я никогда не обращал внимания на странное равенство – 1 в степени 0 равно 1 в степени 1. Любое число в степени 0 равно единице. Любое число в первой степени равно такому же числу. Если число равно единице, получается интересное равенство.

1 в степени 0

В процессе изучения теории чисел я дошёл до того места, где общепринятый вариант возведения единицы в нулевую степень нарушает логику определённых правил. Логически правильный результат получается, если единица в нулевой степени равна нулю.

1 в степени 0, 1 в степени 1

Введение одного условия в общие правила привело к изменению многих очевидных утверждений, которые без этого условия не вызывали бы никаких сомнений. Почему я так жестоко поступаю с математикой? Ради результата, когда это является логическим завершением области распространения общих правил. Чем глубже я погружаюсь в неизведанное, тем больше нового и интересного нахожу. В такой ситуации очень сложно закончить работу над чем-то, что еще вчера казалось простым и понятным.

Я очень плохо знаю математику, которая мне не интересна. Знаете ли вы разделы математики, в которых единица в нулевой степени равна нулю?

Простое число Х

Простое число X

Илон Маск опубликовал на своей странице в сети "X" опубликовал простое число Х. Это простое число Илона Маска состоит из 1800 цифр. Вы сами в этом можете убедиться, если не забыли таблицу умножения. Количество строк и столбцов (в десятках) обозначено синим цветом на рисунке выше.

Пользователи Reddit затеяли увлекательную дискуссию по поводу этого простого числа. Мне понравились эти комментарии, перевод которых я привожу ниже:

Осторожно: в конце десятого ряда есть хитрая цифра 7.

Совершенно очевидно, что кто-то попробовал несколько настроек, пока не нашел конфигурацию, которая действительно дает простое число. Но да, цифра 7 является наиболее заметной и, конечно же, последним внесенным изменением - по сути, это тот момент, когда автор отказался от более красивого решения :)

Насколько я понимаю, есть специальная программа для рисования цифрами всякого рода бяк в огромных числах. Наверное, есть другая программа для проверки чисел на простоту, типа числа-лузеры, которые даже делителей нормальных не имеют, не говоря про остальное. Вот представьте, вы нарисовали циферками такой гламурненький рисунок в числе. Решили его проверить на простоту, а у этого числа, оказывается, не только куча делителей, а ещё и свой Инстаграм, и кругленький счет в заграничном банке, и целое море других прибамбасов. Как-то так.

Но вернемся к нашему простому числу X. Сейчас я уберу с рисунка все циферки 1 и посмотрим, что осталось.

Простое число X без 1

Как видите, количество восьмерок в линиях не соответствует идеальному шаблону. Ладно верхняя и нижняя части перекладины буквы "Х", где восьмерок в одном ряду 11, в другом 12. Будем считать, что "художник так видит". Но то 5, то 4 восьмерки в разных рядах... Не камильфо. А еще эта цифра 7. Да, даже Илон Маск бессилен против математики.

Меня интересует такой вопрос: сколько денег заплатил Илон Маск математику за эту работу? Лично я не пожалел бы самой большой суммы. Что может быть больше СУММЫ ВСЕХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛ? Ничего. Кому я должен -$1/12? Кстати, почему эту сумму можно использовать в физике, но нельзя использовать для оплаты труда математиков? Вы только представьте, платите математикам самую большую из всех возможных сумм и все проблемы с повышением зарплаты навсегда решены. Вот где волшебная сила математики зарыта. Кстати, это решение российской госдуре очень даже понравится, дарю.

Почему 13?

Нет, сегодня я не буду вам рассказывать, почему число 13 считается несчастливым. Все числа одинаковы. Это мы сами считаем некоторые числа счастливыми или несчастливыми, положительными или отрицательными. Сегодня речь пойдет о сумме двух чисел на циферблате часов. Почему сложение двух цифр на циферблате часов равно 13? Мы видим на циферблате шесть пар таких чисел. Объяснение очень простое.

Почему 13?

Если мы прибавим 1 к одному слагаемому и вычтем 1 из другого слагаемого, сумма останется неизменной. Такой фокус можно повторять много раз и результат сложения не изменится. Это свойство сложения (или свойство чисел?) можно наблюдать не только на циферблате часов, но и на числовой оси.

Сумма на числовой оси

В качестве исходной суммы на числовой прямой можно взять два соседних числа (верхняя картинка) или два числа, расположенных рядом с выбранным нами числом (нижняя картинка). Такие суммы я назвал «суммы разложения». На подобном свойстве чисел можно придумать много разных математических фокусов, типа "загадайте любое число...", а дальше пляски шаманов с бубнами вокруг загаданного числа. Цель - пусть человек сам скажет достаточно информации для отгадывания задуманного числа. Надеюсь, делить на 2 в уме многие научились.

Отрицательные числа: игра в числа

Вы все видели игру в шахматы. Взрослые люди выходят на сцену, садятся за стол друг напротив друга и начинают игру.

Давайте организуем подобную игру между математиками. Назовем её "Игра в числа". Правило очень простое – побеждает тот математик, который правильно нарисует числовую ось.

Два математика выходят на сцену, садятся за стол напротив друг друга. Между игроками находится лист бумаги. На листе уже нарисована ОДНА прямая линия. Задача игроков — превратить эту линию в числовую ось. Звучит гонг, игра началась.

Игроки рисуют ноль, помещают стрелку в направлении положительных чисел и выбирают размер одной единицы. После этого на игровом поле появляются положительные и отрицательные числа. Игра закончена.

Отрицательные числа: игра в числа

Как и следовало ожидать, игра завершилась вничью. Оба математика правильно нарисовали числовые оси. В полном соответствии с определениями, как их учили. Дальше победителя можно определить либо по количеству научных публикаций, либо переходом от математики к боксерскому поединку.

Что мы получили в результате этой "Игры в числа"? Все числа оказались одновременно и положительные, и отрицательные. Знак числа зависит от того, с какой стороны мы смотрим на числовую ось. Ведь положительные числа всегда расположены справа от нуля, а отрицательные - слева.

Секрет этого фокуса заключается в том, что в природе числа не имеют знака. Знаки плюс и минус являются отражением нашего собственного мнения о том или ином числе. Это мнение может быть разным у двух разных людей.

Отрицательные числа: это долг

Автор Николай Хижняк

Нельзя отнять жизнь у мертвого.

В одном из научно-популярных фильмов математика приводит пример с отрицательными числами: «У вас есть минус одна рыба. Вы пошли на рыбалку, поймали одну рыбу и у вас ничего не осталось. Удивительный результат!».

Математическая запись этой истории выглядит так:

-1 + 1 = 0

Теперь предположим, что я рыбак. Вот как я вижу эту историю. Кто-то говорит, что у меня минус одна рыбина. Фактически же у меня ничего нет. Как я это могу записать? Я пишу ноль.

0

Я иду на рыбалку, мне удалось поймать одну рыбу. Теперь у меня есть одна рыба. Я прибавляю единицу.

0 + 1 = 1

После этого появляется тот, кто утверждал, что у меня минус одна рыба, и забирает мою рыбу себе. Прям как россияне в Украине.

0 + 1 - 1 = 0

Упс! Где здесь отрицательные числа? Это самый заурядный рэкет - "русский мир" пришел в мой дом.

Теперь давайте посмотрим, что значит взять в долг. Мне срочно нужны деньги, 1 доллар. Что у меня есть сейчас? Ничего, ноль.

0

Хороший человек (или злой банк) дал мне 1 доллар. Что у меня есть сейчас? У меня есть реальный положительный 1 доллар, который я могу потратить, как захочу. Но нет, я не буду тратить его зря. Я сохраню его как музейный экспонат.

0 + 1 = 1

Через некоторое время я заработал 1 доллар. Сколько у меня денег?

1 + 1 = 2

Я честный человек и оплачиваю свои долги. Сколько денег у меня останется?

2 - 1 = 1

Я одолжил деньги, вернул их, и у меня остался 1 доллар. Или у меня останется то, что я купил. Что это было? Были ли это отрицательные числа? Нет. Это была машина времени, позволяющая мне сегодня купить то, на что я смогу заработать только завтра.

Главное правило такое: нельзя взять в долг то, чего нет. Попробуйте взять в долг машину времени, вечный двигатель или летающую тарелку. Это невозможно сделать, потому что этих вещей для нас не существует. И сколько бы минусов мы не обещали, все равно этих вещей мы не получим. Нельзя отнять жизнь у мертвого.

Дальше я предлагаю провести соревнования по игре в числа.

Таблица простых чисел

Простые числа - это натуральные числа, которые делятся только на единицу и сами на себя. Простые числа играют видную роль в теории чисел. Основная теорема арифметики говорит о том, что любое целое число больше единицы либо является простым, либо его можно представить в виде произведения простых чисел. Спорить с содержанием этой теоремы не вижу оснований, а вот к названию лично у меня очень большой вопрос. Если это "основная теорема" арифметики, то у меня закрадываются подозрения, что начало учебника по арифметике наши математики выкурили в виде самокруток ещё в дошкольном возрасте, а в школе начали изучать то, что осталось.

Ниже представлена таблица простых чисел от 2 до 20000. Эта таблица простых чисел может вам пригодиться при сокращении дробей.

Таблица простых чисел от 2 до 1000

Таблица простых чисел от 1000 до 10000

Таблица простых чисел от 10000 до 15000

Таблица простых чисел от 15000 до 20000

Простые числа — любимая игрушка математиков. По состоянию на январь 2019 года самое большое простое число, известное математикам, имело 24 862 048 десятичных цифр. Эта игра с простыми числами настолько увлекательна, что даже я пристрастился к этой игре. Что я могу сказать по этому поводу? Игра в простые числа очень трудоемка и утомительна, но результаты могут быть очень интересными. Я придумал свои правила игры, о которых скоро вам расскажу. Надеюсь, это будет интересно математикам.

Сперва мне понадобились простые числа до 20 000. Я добавил эти таблицы сюда. Потом мне нужны были простые числа до 1 000 000. Потом я плюнул на это грязное дело потому, что мне надоело. Если вам вдруг понадобится, то здесь вы найдете простые числа до 21 000 000.

Каковы результаты моих "научных" изысканий? Ничего интересного, результат оказался всем давно известным - чем дальше в лес, тем больше дров по числовой прямой от нуля, тем реже встречаются простые числа. Разве что на ноль мне удалось взглянуть с неожиданной стороны. Всё красиво оформлю и поделюсь с вами.

Отрицательные числа: вычитание

Математики рассказывают нам о положительных и отрицательных числах. Только после этого они говорят об абсолютном значении числа (модуле числа). Я не доверяю математикам. Я считаю, что в природе всё обстоит с точность до наоборот - есть только числа с их абсолютными значениями, а уже потом к этим числам мы можем добавить знак "плюс" или "минус.

Существуют ли в природе отрицательные числа? Что означают знаки плюс и минус в математике? Мы попробуем разобраться в этом.

Математики говорят, что отрицательные числа появляются в арифметике при вычитании, когда из меньшего числа вычитается большее число. Меня тоже так учили.

Если мы всегда будем вычитать из большего числа меньшее число, тогда отрицательные числа никогда не возникнут. Это правило ничем не лучше и не хуже того правила, которому нас учат математики. Вы можете себе представить математику без отрицательных чисел? Математикам такое даже в страшном сне не приснится. А вот что получается на самом деле.

Вычитание

Минусы отвалились, как засохшая грязь. Остается кристально чистое сложение положительных чисел. Этот пример наглядно показывает, что отрицательные числа нельзя получить при помощи вычитания.

Я все сделал правильно. Меня так учили в школе. Если минус x равно минус единице, то x равно единице.

-х = -1

х = 1

В чем секрет этого фокуса? Математики неправильно решают задачу на вычитание. Если нам известен результат сложения и одно из слагаемых, то второе слагаемое мы можем найти при помощи вычитания. Для этого из известной нам суммы нужно вычесть известное нам слагаемое. А сумма всегда больше, чем любое из слагаемых. Если мы из слагаемого вычтем сумму, тогда знак минус нам укажет на то, что мы запутались.

Давайте посмотрим, как выглядят мои преобразования выражения на числовой оси.

Вычитание на числовой оси

В левой части рисунка показана неподвижная числовая ось. Ноль числовой оси остается на месте, отрезки, как блохи, скачут около нуля. В правой части рисунка отрезки неподвижны, а числовая ось мечется вдоль них. Ноль перемещается в пределах отрезков. При этом во всех случаях знак числа меняется при переходе через ноль. В алгебре это равносильно перемещению числа через знак равенства - знак числа меняется на противоположный. В дальнейшем мы ещё вернемся к числовой оси с целью более внимательного её рассмотрения. Знак равенства и ноль - это математическая граница, при пересечении которой шпионы становятся разведчиками, а разведчики - шпионами.

С вычитанием мы разобрались. Никакие отрицательные числа при вычитании не возникают. Дальше мы посмотрим, возникают ли отрицательные числа, если мы берем в долг.

Синус и косинус таблица

Лига лени: Оно вам надо?

Это самая необычная таблица синусов и косинусов. Идея сделать такую таблицу пришла ко мне в процессе написания этих статей:

Почему синус 30 градусов равен одной второй?

Чему равен синус 60 градусов?

Синус и косинус 45 градусов

Я настоятельно рекомендую вам прочитать эти статьи. Тогда вы узнаете, как легко вычислить значения синуса и косинуса самостоятельно. Из этих трех статей я сделал одну таблицу синусов и косинусов.

Синус и косинус таблица

Теперь разбор полетов моей фантазии. Есть много разных способов запомнить значения синуса и косинуса основных углов. Предлагаемый мною способ для тех, кто любит считать. Прежде всего, нужно хорошо запомнить, что косинус - это в сторону, по оси икс. Синус - это вверх, по оси игрек. Дальше изучаем таблицу.

В таблице показано, какие стороны треугольника нужно принять за единицу, чтобы было проще считать. Для 0 и 90 градусов треугольников не существует, это обычные отрезки. Значения синуса и косинуса для этих углов равны либо нулю, либо единице. Всё зависит от положения отрезка - либо вверх, либо в сторону.

Третий столбец таблицы показывает, как использовать теорему Пифагора для вычисления нужного значения синуса или косинуса. Для косинуса 30 градусов и синуса 60 градусов вычисления одинаковы. Для косинуса 45 градусов и синуса 45 градусов вычисление другое. Всё разнообразие таблицы сводится к наглядным картинкам и двум разным вычислениям, которые не трудно запомнить.

Внизу таблицы есть подсказки, как вычислить значения тангенса и котангенса, если вы знаете значения синуса и косинуса. Если вы забыли, как делить одну дробь на другую, воспользуйтесь еще одной подсказкой. Вам нужно умножить первую дробь на обратную вторую дробь.